1、试验模态分析与测试技术第一章单自由度模态分析理论11 引言引言模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。虽然机械阻抗的概念早在20世纪30年代就已经形成，但发展成为今天这样较为完整的理论与方法，却经历了较长的岁月。近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。12单自由度频响函数分析单自由度频响函数分析 单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此常常作为
2、振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。下面我们分别对粘性阻尼和结构阻尼系统的频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。一、粘性阻尼系统一、粘性阻尼系统对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即 dfcx fmx,ck（11）式中：及 均为时间 的函数。xft对于自由振动（），上式可以写为：0f 0mxcxkx其解的形式为:stxXesX式中：为复数；为不依赖时间的量。（13）mxcxkxf系统的力学模型如图所示。其振动运动方程为：（12）（14
3、）对（12）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得2()()()mscsk x sf ss()x s()x t()f s()f t式中：为拉氏变换因子；为 的拉氏变换，而 则为 的拉氏变换。对自由振动而言，可得20mscsk由上式可解得 的两个根，s221,204122cckmsjmm 20km式中：，系统的无阻尼固有频率；为阻尼比。00(2)(2)c cckmcm 为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼，0.01 0.1对 的阻尼称为欠阻尼。1（15）（16）（17）（18）则模态解的形式为：20001()ittitatx tXeeee 这是带复固有频率的振动单模态，可分为两部分：X0t
4、衰减振荡周期指数衰减()x t2021T tXe0虚部(或振动部分)，频率为：2001 实部(或衰减部分)，阻尼比为：0a前面的 ，为共轭复数，他们的实部为衰减因子，反映系统的阻尼；其虚部表现有阻尼系统的固有频率。模态模型两部分 的物理意义表示在典型自由响应图中，（如图）1s2s)(H（15）式中的 具有刚度特性，故称为系统的动刚度动刚度。在一定的激励作用下，其数值与系统的响应 成反比。他具有阻止系统振动的性质。因此称为系统的机械阻抗机械阻抗，简称阻抗（与电学中的阻抗有类似之处），现令 2()mscsk()x s2()Z smscsk其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数机械导纳，简称导纳
5、，又称传递函数，21()H smscsk（19）（110）若对（12）式在付氏域进行变换，即 ，则阻抗与导纳公式可写为：sj2()Zkmcj21()Hkmcj式中 又称为频率响应函数，简称频响函数频率响应函数，简称频响函数。()H 位移导纳，传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度动柔度。在实际应用上（对稳定线性弹簧质量系统而言）这三个名称并不严格加以区别。（111）（112）由（110）式及（112）式可见，传递函数与频响函数均为复数。（112）式还可以表示为222()()()()()kmcHjkmckmc2222112(1)(2)(1)(2)jkc式中，称为称为频率比频率比。0（
6、113）由（111）式可见，系统的位移阻抗由三部分组成，即质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为质量阻抗;阻尼阻抗;刚度阻抗 2mj kk他们的位移导纳分别为各自的倒数，即质量导纳 刚度导纳 刚度导纳 21m1j k1k上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。若系统的输出若系统的输出为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。对于不同的阻尼器，其阻抗与导纳的表达式亦不同。表1给出了单自由度系统各元件的各种阻抗与导纳的表1达式。表一 单自由度系统元件的阻抗与导纳系统元件位移速度加速度线性弹簧粘性阻尼刚体质量结构阻尼器dZdHvZvHaZaH
7、kmcjkg1jkgkgkg2kgj2jkg1mm1j mj m21m2mjccj1cc1j cj c2k2kjkkj1kk大家可以发现表1的规律，若由左边项求右边项时，对阻抗则除 。对导纳则乘 ；若由右边项求左边项时，则对阻抗则乘 ，对导纳则除 。jjjj2()Zkm21()Hkm 对无阻尼系统，可由（111）及（112）式很方便地求出其阻抗与导纳的表达式：（13b）；（13c）二、结构阻尼（滞后阻尼）系统二、结构阻尼（滞后阻尼）系统对于实际金属结构，常常不能用粘性阻尼来描述他们的衰减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属本身材料的内部摩擦（内耗）内部摩擦（内耗）及各部件连接界面（如螺部件连接界
8、面（如螺钉、铆钉、忖垫等）钉、铆钉、忖垫等）之间的相对滑移相对滑移。因此结构阻尼主要由材料内部阻尼与滑移阻尼两部分组成。结构阻尼的阻尼力 与振动位移成正比，相对比位移超前900，即与速度方向相反，即df式中 为结构阻尼系数，他与刚度 成正比，kdfjx（114）gk（115）g式中 为结构损耗因子，或称结构阻尼比，是无量纲因子。对结构阻尼系统而言，运动方程可写成mxkxj xf由（115）式，上式可改写为(1)mxjg kxf（116）对上式两边进行拉氏变换，可得2(1)()()msjg k x sf s(117）因此传递函数及频响函数分别为221()(1)1()(1)H smsjg kHjg
9、 km （118）将上式写为实部与虚部，222222211()(1)(1)gHjkgg（119）（116）式中的 称为复刚度称为复刚度。(1)jg k由（113）式与（119）式比较可见，对粘性阻尼和结构阻尼，频响函数表达式具有相似的形式，只要将只要将 与与 相相互置换互置换，便可得到各自的频响函数表达式。2g其中：为加速度频响函数；为速度频响函数；为位移频响函数.以上所述的频响函数是位移位移 为对象推导而得。频响函数还可以用速度与加速度来表示。x22()()()()()avddHj HjHH （120）()aH()vH()dH 在实际应用中，由于测量加速度比较方便（主要是传感器的原因），故加
10、速度导纳应用比较普遍。与上述三种导纳相对应的有三种阻抗，即位移阻抗（又称动柔度）、速度阻抗（又称机械阻抗）、加速度阻抗（又称视在质量）。他们是相应导纳的倒数。1.3 单自由度系统频响函数数据曲线单自由度系统频响函数数据曲线表现方式、特性及描述表现方式、特性及描述 有了单自由度系统基本位移导纳频率函数表达式之后，我们转而注意这些数据数据的各种显示或表达方法。首先讨论频响函数基本形式的变化，然后探索用图形表示其特性的不同方法，最后，探讨所形成的图形中某些有用的几何性质。1.3.1频响函数数据的图形表示频响函数数据的图形表示 频响函数数据绘图的复杂性在于导出的频响函数是复函数，他们有三个量，即频率频
11、率、复函数的实部实部、虚部虚部。而这些量不能全部展示在一张标准的xy图上。因为平面曲线只能表示两个变量，从而描述频响函数就有各种不同的组合。下面我们讨论三种最常见的表达形式：（1）、频响函数的模（幅值）作为频率的函数（简称幅频图）图；相位作为频率的函数图（简称相频图）（又称波德图B0de）。（2）、频响函数的实部作为频率的函数图（简称实频图）；虚部作为频率的函数图（简称虚频图）。（3）、实部作为虚部的函数图（尼奎斯特图Nyquist）,（一个不含频率信息的图）。相位3601800位移导纳141050频率Hz(a)无阻尼单自由度系统的 导纳图0 20 40 60 80 100 我们下面来讨论一下
12、这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：典型的无阻尼单自由度系统位移导纳的经典波德图（如图(a)所示）。该系统响应的速度导纳和加速度导纳分别见如图(b),(c)。（见所发的图）相位3601800速度导纳1510500 20 40 60 80 100频率Hz(b)无阻尼单自由度系统的 导纳图相位3601800加速度导纳210频率Hz(c)无阻尼单自由度系统的 导纳图0 20 40 60 80 100 由于振动数据很多，表示频响函数特性的可能问题之一，是数据分布在较宽的数据范围内，无论使用上述频响特性图的何种形式，总有一些数据不能包括在内。采用对数坐标可解决这个问题。(a)无阻尼单自由度系统的
13、对数对数 导纳图10kg100kg1000kg位移导纳（0Db=1m/N）-100-120-140-1601 10 100频率105N/m106N/m107N/m10000kg我们下面来讨论一下这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：现将上面列出的三个频响函数图的频率轴和幅值轴都采用对数坐标，并重新画出曲线图（如图）。10kg100kg1000kg速度导纳（0DB=1m/N）-60-80-100-1201 10 100频率(b)无阻尼单自由度系统的对数对数 导纳图107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度导纳（0DB=1m/
14、N）-20-40-60-80-1001 10 100频率(c)无阻尼单自由度系统的对数对数 导纳图坐标变换的结果可把每张图分成三部分：1、低频直线图；2、高频直线图；3、带有陡崤的幅值和相位变化的共振区。用对数对数对数坐标对数坐标的另一好处是，他把有关的频响函数特性分离成单个的质量元件和弹簧元件。从图中可以看出这些质量和刚度特性在对数坐标中呈直线。质量和刚度元件的频率响应频响函数 质 量刚 度位移导纳：速度导纳：加速度导纳：()H)(logH()vH)(logVH()aHlog()aHm21)log(2)log(mk1)log(kmi1ki)log()log(m)log()log(km1k2)
15、log(m)log()log(2k（2）、小粘性阻尼单自由度系统的一对实频和虚频图实频和虚频图见如图。我们已给出了所有三种类型的频响函数图，从这些图中可以看出共振区相位的变化情况其特点在于，一个图上曲线的零点总是另一图上的曲线峰值（最大或最小）处发生。这里必须注意，在用实频和虚频表示频响函数特性时，不能用对数坐标，因为对数坐标不能兼容正值和负值。30-3位移导纳（实部）0 20 40频 率30-5-10位移导纳（虚部）0 20 40频 率位移导纳图0.50-0.5速度导纳（虚部）0 20 40频 率(Hz)速度导纳（实部）10.50-30 20 40频 率(Hz)速度导纳图加速度导纳图加速度导
16、纳图500-50加速度导纳（实部）0 20 40频 率(Hz)100500-50加速度导纳（虚部）0 20 40频 率（Hz）（3）、尼奎斯特图尼奎斯特图即矢量端图，是被工程广泛使用并能有效地显示共振区细部的方法。如图所示。ReImReImReIma 位移导纳 b 速度导纳c 加速度导纳具有结构阻尼单自由度系统的尼奎斯特图从图中可以看出各个图形很象一个圆。事实上，除粘性阻尼的速度导纳以及结构阻尼结构阻尼的位移导纳为一个精确圆，其他则只是一个近似圆。其阻尼愈小，则图形愈圆。（如图）图中表示了单自由度粘性阻尼系统的尼奎斯特形式的频响函数图。这种图的特点是将离开共振区的点彼此靠的很近，这样就突出了共
17、振区，故尼奎斯特图对试验模态具有很大的吸引力。1.5.2单自由度系统频响函数的特性单自由度系统频响函数的特性（图形的数学形式不讲）下面讨论一下单自由度系统频响函数的两种典型情况的一些基本几何特性。（1）、粘性阻尼系统尼奎斯特速度导纳图当频率从零扫描到无穷大的时，两个轨迹都是精确的圆。现讨论粘性阻尼情况从（17）式和（113）式得速度导纳为：222222)()()()()(cmKmKicciKiHiHV(224)2222)()()Re(cmKcHV2222)()()()Im(cmKmKHV)21)(Re(cHUV)(Im(VHV 22222222222221)()(4)()(ccmKccmKVU
18、故；令和于是 （125）因此，在)Re(VH)Im(VH对 的曲线图上，当 0c21变化时，将画出半径为，圆心在 1(Re,Im0)2c处的圆，如图(b)所示。c21（2）、结构阻尼系统尼奎斯特位移导纳图对于迟滞（结构）阻尼的情况，可从方程（19）得到略有差别的频响函数表达式：222221)h()mK(ih)mK(ih)K()(H（126）22222)()()()Re(hmKmKH222)()()Im(hmKhH故 也就是说，对于一个有结构阻尼的单自由度系统来说，其位移导纳尼奎斯特图将是一个半径为 12()h，圆心在 12(0,)h见图(a)的圆。（见发的图表）（见发的图表）虽然没有得到象上述
19、粘性阻尼那样的表达式，但可以看出：222)21()21(Im(Re)hh（127）1.6 各种不同激励下频响函数的表达式各种不同激励下频响函数的表达式 频响函数（或传递函数）反映系统输入、输出之间的关系，并表示系统的固有特性。它与激励力的形式与大小（限于线性范围以内）无关。但是在不同类型激励力的作用下，它的表达形式常不同。下面我们对正弦、周期、瞬态及随机等几种激励类型，确定频响函数的表达式。一、简谐激励一、简谐激励 对于线性时不变系统，在简谐激励力作用下，系统的运动为简谐运动，并且频率与力频率相同。)()(tjFetf)()(tjXetx激励力为：位移响应为：式中，及 分别为激励与响应的相位角
20、；，为激励力与响应的复数幅值。因此，位移频响函数（位移导纳）为：)(jdeFXfxH（128）FX在实际工程结构分析与测量时，应变常常是十分重要而且易于测量的一个量。应变片作为一种传感器亦经常被采用，因为它的体积小、质量轻，对试件的约束小，而且可通过它测量应变，从而计算应力。此时，系统的输入为力，输出为应变，因此应变阻抗及导纳可分别表示为：另外目前工程中还有应变导纳的概念，这对实际测量很有好处。FZ FH应变阻抗:；应变导纳:式中是对应物理量的傅立叶变换。二、周期激励二、周期激励 周期激励力具有周期性，但不一定是正弦力，例如方波、锯齿波激励力等属于此类周期激励力。此时系统的频响函数不再具有如（
21、214）式所示的简单形式。但是，众所周知，任何周期函数，总可以用傅立叶分析方法展开成一系列具有频率、幅值与相位的正弦级数。设激励力为 ，)(tf则可写成1)()(ntjnneftfTnn2，这样，便可得到力函数的各个频率分量。同理，对响应亦可写成 1)()(ntjnnextx对周期函数而言，频响函数定义为各频率点上响应与激励力之复数幅值比，)()()(tftxHn（129）响应 与 激励的级数具有相同的离散频率，他们都等于 的整数倍。)(tx)(tfT/2式中 、均包含幅值与相位两个成分。)(tx)(tf三、瞬态激励三、瞬态激励对瞬态振动而言，激励与响应均非周期函数。但是他们常常是绝对可积的力
22、函数（如脉冲力、阶跃力等），他们满足狄利克雷（D）条件，因此其傅立叶变换可由下式计算：dtetfftj)()(同理，对响应亦有dtetxxtj)()(此时，系统的频响函数定义为系统的输出（响应）与输入（激励）之傅立叶变换之比，)()()(fxH（130）我们亦可以在拉氏域中定义频率响应函数，此时频率响应函数又称为传递函数。它定义为系统的输出与输入的拉氏变换之比。)()()(sfsxsH（131）傅氏域及拉氏域的频响函数和传递函数的描述如图所示。()H()H sj传递函数与频率响应函数图O 曲面曲线()H s()H由上式可知:()()()xHf对上式进行傅立叶逆变换，得：defHtxtj)()(
23、21)(令激励为脉冲激励令激励为脉冲激励，即 0)(tf1)()()(dtetdtetfftjtj此处表示在 时作用得单位函数，又称为D函数。此时得系统响应为单位脉冲响应系统响应为单位脉冲响应，以 表示。已知 0t)(th故 deHthtxtj)(21)()(（132a）dtethHtj)()(（132b）他们互为傅立叶变换对。)(th)(th由上式可见，单位脉冲响应 为频响函数的傅氏逆变换。而的傅氏变换为频响函数四、随机激励四、随机激励(不讲不讲)随机振动是一种非确定性振动，它无法用一个确定的函数来描述，它的时间历程信号有随机的性质，它不满足狄利克雷条件。因此，无论是激励还是响应信号都不能进
24、行傅立叶变换，只能用概率统计的办法来处理。在此，引入两个很重要的描述随机信号的参量函数，即相关函数和功率谱密度相关函数和功率谱密度函数函数。前者是一个时域函数时域函数，后者则为频域函数频域函数。自相关函数定义为一个时域函数 及 之乘积的数学期望。它是时间的实偶函数时间的实偶函数，即 。在 时有最大值。)(tf)(tf0)()(RR)()()(tftfERff（133）式中：为延时；为数学期望符号。E 自相关函数与原函数不同，它满足傅立叶变换的条件。因此可以对它进行傅立叶变换。自相关函数的傅立叶变换称为自相关函数的傅立叶变换称为自功率谱密度自功率谱密度（简称自谱密度，或自功率谱），其定义为0)(
25、deRGjffff（134）自谱密度为频率的实偶函数自谱密度为频率的实偶函数，它提供了对原函数一种频域描述。)(tx相似的概念可用于两个不同的时域信号 及 上，便产生互相关函数及互功率谱密度。()f t互相关函数定义互相关函数定义为：)()()(tftxERxf（135）互功率谱密度为互相关函数的傅式变换互功率谱密度为互相关函数的傅式变换，即0)(deRGjxfxf（136）互相关函数是时间的实函数时间的实函数，但通常不是时间的偶函数不是时间的偶函数。互谱密度互谱密度与自谱密度不同，它通常是频率的复函数。是频率的复函数。它具有特定的共轭特性，即()()xffxGG)(xfG式中 为 的共轭谱密
26、度。()fxG 随机信号的时间历程、自相关函数及自功率谱密度如图所示。0()ffR()ffG随机信号（a）信号的时间历程；(c)自相关函数(c)功率谱密度abc00t()f t当系统为平稳随机过程时，线性谱关系式（121）无法描述输入、输出的统计特性。此时，频响函数可由下述方法推导而得。由式（121）得)()()(fHx后乘 ，并取数学期望)(f)()()()()(ffHEfxE)()()(ffxfGHG（137）因为 是线性系统的，并且具有确定特性，故可由数学期望符号中提出，则可得：)(H故)()()(ffxfGGH（138）)(xfG式中 及 分别为输入与输出之互功率谱及输出之自功率谱。)(ffG 式（128），（129），（130）及（138）分别给出了各种不同激励下的频响函数表达式。
