1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法公式分部积分法公式第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分表基本积分表不定积分的性质不定积分的性质山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为 m 的质点,的作tAFsi
2、n下沿直线运动,).(tv因此问题转化为:已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度mFta)(tmAsin定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)如引例中,tmAsin的原函数有,cos tmA,3cos tmA山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?3.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数.由于初等函数在其定义域上是连续
3、的由于初等函数在其定义域上是连续的,所以得所以得:初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数2.一个函数的原函数是否唯一,若不唯一它们之间有什么联系？关于(1)即原函数存在 性,我们有(下章证明下章证明)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂证证:1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx即 定理2 若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)所有的原函数可表示为F(x)+C.(C 为任意常
4、数)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定义定义 2.)(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲
5、线.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂解：当 x0 时(ln x)x1 例 2.求函数xxf1)(的不定积分 例1 合并上面两式,得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则CxFdxxf)()(Cxdxxln 1(x0)当 x0 时ln(x)xx1)1(1Cxdxx)ln(1(x0)Cxdxx|ln 1(x0)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.因所求曲线通过点(1,2),故21C,C1.于是所求曲线方程为yx21.因为Cxxdx22
6、 yxo)2,1(解 设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 yf(x)2x,即f(x)是2x 的一个原函数.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F(x)的原函数,所以 由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.)()(xfdxxfdxd或)()(xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(或记作 或记作CxFxdF)()(由于积分运算是微分运算的逆运算,由导数公式可以得到相应的积分公式.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂二、基本积分表(1)Ckxkdx(2
7、)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)CxdxxcsccotcscCkxkdx(k 是常数)Cxdxx111 Cxdxx|ln1 Cedxexx Caadxaxxln Cxxdxsincos Cxxdxcossin Cxxdxtansec2 Cxxdxcotcsc2 Cxdxxarctan112Cxdxxarcsi
8、n112 Cxxdxxsectansec Cxdxxcsccotcsc 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 例4 例 4 dxxdxx331CxCx21321131例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33 例例5.xxxdc
9、ossin22xx dsin21Cxcos21例例6.xxd3Cx3ln3山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2推论推论:若,)()(1xfkxfinii则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(Cxxdxxdxx23272125325725 例7 例8 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5()5(Cxx
10、dxxdxx23272125325725 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323 Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322 例例9 .d)5(2xexxxexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xC山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222 例例10 Cxxdxxdx
11、x|lnarctan1112Cxxdxxdxx|lnarctan1112 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222 例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111 例例11 dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313 例例12 例 13 dxxdxdxxdxx222sec)1(sectan tan x x C.dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(111
12、1 dxxdxdxxdxxx222211)111(dxxdxdxxdxx222sec)1(sectandxxdxdxxdxx222sec)1(sectan 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例 14 dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2 例14 Cxx)sin(21 dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1(212cos1 2sin2 例15 例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin12
13、22 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P 186)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂练习练习1.若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 2212.若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(?山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂3.求下列积分:.cossind)2(;)1(d)1(2222xxxxxx提示提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：作业：p-192 习题习题4-1 2 (5),(12)(14),(16),(18),(20),(22),(26);5;7
