1、1拐点拐点函数的单调性与曲线的函数的单调性与曲线的第四节第四节一、单调性的判别法一、单调性的判别法点点二、曲线的凹凸性及拐二、曲线的凹凸性及拐三、小结及作业三、小结及作业2一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA3证证),(,21baxx
2、,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得).(),)()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx由由,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf从而从而.,)(上上单单调调增增加加在在故故baxfy,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf从而从而.,)(上上单单调调减减少少在在故故baxfy 4上的单调性。上的单调性。在在讨论讨论,sin 20 xxy例1例1解解),2,0(,0cos1 xxy因为因为上单调增加。上单调增加。在在所以所以2,0 sin xxy例例2 2解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 x
3、eyx.1xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加).,(:D定义域定义域5例例3 3解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf).,(:D定定义义域域32(),(0)3fxxx.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0)(xf时时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在 0,()(xf故单调区间为故单调区间为，0,().,0 32xy 6注意注意 (1)(1)函数的单调性是一个区间上的性质要用导函数的单调性是一个区间上的性质要用导数在这
4、一区间上的符号来判定，而不能用一点处的数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性导数符号来判别一个区间上的单调性（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的能是的 点及导数不存在的点点及导数不存在的点0)(xf7上不单调上不单调在在如如,sin 20 xy 2 23 2且且上上单单调调但但在在,2,23,23,2,2,0 .0)23()2(ff.0点不可导但改变单调性点不可导但改变单调性在在再如再如xxy8 （3）讨论函数单调性
5、的步骤：讨论函数单调性的步骤：）1 确定函数的定义域；确定函数的定义域；2 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；3 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论.（4）区间内个别点导数为零）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在x3xy 9例例4 4 确定函数确定函数31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间.解解12186)(2 xxxf),2)(1(6 xx令令,0)(xf得得.2,1 xxx)(xf)(xf)1,(
6、2001)2,1(),2(21故故)(xf的单调增区间为的单调增区间为,)1,().,2()(xf的单调减区间为的单调减区间为).2,1(10例例5证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，上连续上连续在在因因,),0)(上上单单调调增增加加在在故故 xf,0)0(f又又时时，因因此此当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx即即式式利利用用单单调调性性可可证证明明不不等等)5(,0)0()(fxf11例6例6时时，当当20 x.21sin2xxex证证明明证明证明),21(sin)(
7、2xxexfx作作.20 x,cos)(,0)0(xxexffx.0cos)(,0)0(xexffx因此因此 单调减少单调减少,0)0()(fxf单单调调减减少少，)(xf,0)0()(fxf 单调减少单调减少,0)0()(fxf也就是也就是 0)21(sin2xxex.21sin2xxex)(xf ,1sin)(,0)0(xexffx)(xf12例7例7.0123只有一个实根只有一个实根证明证明xxx证明证明1)(23 xxxxf令令123)(2 xxxf,032)31(32x上严格单调增加，上严格单调增加，在在故故),()(xf.根根所所以以方方程程最最多多有有一一个个实实,01)0(f又
8、又051248)2(f上上至至少少有有一一实实根根，在在从从而而0,2)(xf.即即方方程程只只有有一一个个实实根根13问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC点点二、曲线的凹凸性及拐二、曲线的凹凸性及拐141.1.曲线的凹凸与拐点的定义曲线的凹凸与拐点的定义定义定义 1 1.设函数设函数)(xf 在区间在区间 上连续上连续,21Ixx(1)(1)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxx
9、f则称则称 的图形的图形)(xf是是凹凹的的;(2)(2)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称 的图形的图形)(xf函数图形上凹凸的分界点称为函数图形上凹凸的分界点称为拐点拐点.是是凸凸的的.yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyoxI152、曲线凹凸的判定、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内
10、具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 16例例1 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性.解解,43xy.212xy 当当0 x时时,0 y0 x时时0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是凹的上是凹的.x17例例2.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为为凸凸的的；曲曲线线在在0,(时，时，当当0 x,0 y.),0为为凹凹的的在在曲曲线线 .)0,0(是是曲曲线线的的拐拐点点点点注意到注意到,18例例3 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点.解解,3231 xy.3592 xyxy y0)0,(),0
11、(不存在不存在0 因此点因此点(0,0)为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点.19 改改变变凹凹凸凸性性的的点点只只可可能能是是二二阶阶导导数数为为零零及及二二阶阶导导数数不不存存在在的的点点.判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a）求出）求出 ；（b）求出使）求出使 的点及的点及 不存在的点；不存在的点；（c）检查在这些点左右两边的符号）检查在这些点左右两边的符号,从而决定曲线从而决定曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。)(xf 0)(xf)(xf 注意注意20例例4 求曲线求曲线14334 xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解 1)1)求求y,1
12、21223xxy xxy24362 ),(3632 xx2)2)求拐点求拐点,可疑点坐标可疑点坐标令令0 y得得,03221 xx对应对应3)3)列表判别列表判别271121,1 yy)0,(),0(3232),(y xy0320012711点点(0,1)及及),(271132均为拐点均为拐点.32)1,0(),(271132故该曲线在故该曲线在),32(),0,(,内是凹的内是凹的)32,0(是凸的是凸的,215例例证明不等式证明不等式).0,0(2ln)(lnlnyxyxyxyyxx证明证明,)(ln)(0zzzzf令令,ln)(1zzf),0(01)(zzzf.)(是凹函数是凹函数因此因
13、此zf).()(21)2(yfxfyxf从而从而,2ln2)lnln(21yxyxyyxx即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx故有故有22三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间定理中的区间换成其它有限或无限区间,结结论仍然成立论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;凹凸性的判定凹凸性的判定.改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;拐点的求法拐点的求法1,2.23151
14、43P习题习题1,3(2,5),4(1,2,4),5,8(1,2),9(2),11.24思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.25思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf),(x0)0(f但但)0,0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.26一、一、填空题：填空题：1 1、若函数若函数)(x
15、fy 在在（ba,）可导，则曲线）可导，则曲线)(xf在在(ba,)内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点.3 3、曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间.三、三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee )(yx .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点.练练 习习 题题27五、五、试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐
16、点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上.六、六、问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、试决定试决定22)3(xky中中k的值的值,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点.28一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),(xfbax；2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2,(),2),2,2(2e；4 4、)2ln,1(),2ln,1(.二、拐点二、拐点),21(21arctane,在在21,(内是凹的内是凹的,在在),21内是凸的内是凸的.四、拐点四、拐点)23,3
17、32(aa及及)23,332(aa.五、五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(练习题答案练习题答案29六六、29,23 ba.七七、82 k.30思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？31思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf32 )212(1kx当当 时，时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，
18、故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf33一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _._.2 2、函数函数212xxy 在区间在区间-1,1-1,1上单调上单调_，在在_上单调减上单调减.3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_，单减区间为单减区间为_._.二二、确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、xxxy6941023 ；2 2、32)(2(xaaxy (0 a)；3 3、xxy2sin .练练 习习 题题34三、三、证明下列不等式：证明下列不等式
19、：1 1、当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、当当4 x时，时，22xx；3 3、若若0 x，则，则361sinxxx .四、四、方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根.五、五、设设)(xf在在 ba,上连续，在上连续，在(ba,)内内)(xf ,试证试证 明：对于明：对于 ba,上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1）0)(xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)(xf，利用泰勒公式利用泰勒公式 35一、一、1 1、),3,1,(单调增加单调增加,3,1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加,),1,1,(3 3、1,(,),1；1,0(,1,(;1,0(),0,1 .二、二、1 1、在、在),1,21,0(),0,(内单调减少内单调减少,在在1,21上单调增加；上单调增加；2 2、在、在),32,(aa内单调增加内单调增加,在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案36 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加,在在22,32 kk上单调减少上单调减少,),2,1,0(k.四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(3)ea1 时只有时只有ex 一个实根一个实根.
