1、人教版数学八年级上册人教版数学八年级上册1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体体会图形的变化在解决最值问题中的作会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想用，感悟转化思想学习目标学习目标利用对称知识解决最短路径问题利用对称知识解决最短路径问题 “两点的所有连线中，两点的所有连线中，线段最短线段最短”“”“连接直线外一点与直线上各连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题等的问题，我们称之为最短路径问题.ABPlABCD 现实现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识
2、生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的探究数学史上著名的“牧马人饮马问题牧马人饮马问题”及及“造桥选址问题造桥选址问题”.探究新知探究新知 如如图，牧马人图，牧马人从从A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：作图问题：在直线在直线l上求作一点上求作一点C,使使AC+BC最短问题最短问题.实际问题ABl 现在现在假设点假设点A,B分别是直线分别是直线l异侧异侧的两个点，如何在的两个点，如何在l
3、上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A，点，点B的距离的和最短？的距离的和最短？根据根据“两点之间，线段最两点之间，线段最短短”，可知这个交点即为所求，可知这个交点即为所求.解解：连接连接AB,与直线与直线l相交于一点相交于一点C.问题问题1：AlBC 如果如果点点A,B分别是直线分别是直线l同侧同侧的两个点，又应该如何的两个点，又应该如何解解决所走路径最短的问题？决所走路径最短的问题？【思考思考】对于对于问题问题2，如何将，如何将点点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，处，满足直线满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等
4、？ABl利用轴对称，作出点利用轴对称，作出点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B.问题问题2：作法：作法：（1）作点作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C 则点则点C 即为所求即为所求 ABlB C你你能用所学的知识证明能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C(与点与点C 不重合不重合)，连接连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在在ABC中中，ABAC+BC，AC+B
5、CAC+BC即即AC+BC 最短最短问题问题3：ABlB CC 例例1 如图，已知点如图，已知点D、点、点E分别是等边三角形分别是等边三角形ABC中中BC、AB边边的中点，的中点，AD=5，点，点F是是AD边上的动点，则边上的动点，则BF+EF的最小值为的最小值为（）（）A7.5 B5 C4 D不能确定不能确定 解析：解析：ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D是是BC边的中点，即边的中点，即点点B与点与点C关于直线关于直线AD对称对称.点点F在在AD上，故上，故BF=CF.即即BF+EF的最小值可转化为求的最小值可转化为求CF+EF的最小值，的最小值，故连接故连接CE即可，即可，线段线段C
6、E的长即为的长即为BF+EF的最小值的最小值.而而CE=AD.B考点探究考点探究1 1 最短路径问题最短路径问题的应的应用用 此此类求类求线段和的最小值问题线段和的最小值问题，找准对称，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长一线段的长，再，再根据已知条件求解根据已知条件求解.方法点拨方法点拨1.如图，直线如图，直线l是一条河，是一条河，P、Q是两个村庄是两个村庄.欲在欲在l上的某处修上的某处修建一个水泵站，向建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（
7、图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM巩固练习巩固练习如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由解析：作出点B关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点P，点P就是所求的点.证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C如图，A
8、和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.AC+BC=AC+BC即AC+CD+DB AM+MN+BN，能利用轴对称解决简单的最短路径问题.C（0，1）D（0，0）如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两
9、地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，在ACE中，AC+CEAE,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点PAM+MN+BN长度改变了.2.如图，如图，A、B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a的同侧
10、，为了方便的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）确定该点（保留作图痕迹）.解：解：如图如图，P点即为该点点即为该点.例例2 如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（的坐标分别为（1，4）和）和（3，0），点），点C是是y轴上的一个动点，且轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条三点不在同一条直线上，当直线上，当ABC的周长最小时点的周长最小时点C的坐标是（）的
11、坐标是（）A（0，3）B（0，2）C（0，1）D（0，0）解析：解析：作作B点关于点关于y轴轴对称点对称点B，连接，连接AB，交，交y轴于点轴于点C，此时，此时ABC的周长最小，然后依据点的周长最小，然后依据点A与点与点B的坐的坐标可得到标可得到BE、AE的长，然后证明的长，然后证明BCO为等腰直角为等腰直角三角形即可三角形即可BCEA探究新知探究新知 求求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，而后将其与另一固定点连线，连线
12、与动点所在直线的交连线与动点所在直线的交点点即为三角形周长最小时动点的位置即为三角形周长最小时动点的位置.方法点拨方法点拨3.如图，已知牧马营地在如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线人设计出最短的放牧路线.解：解：如图如图AP+AB即为最即为最短的放牧路线短的放牧路线.巩固练习巩固练习 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从桥造在何处可使从A到到B的路径
13、的路径AMNB最短（假定河的两岸最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM利用平移知识解决造桥选址问题利用平移知识解决造桥选址问题探究新知探究新知BA?NMNNM 如如图假定任选位置造桥图假定任选位置造桥MN，连接，连接AM和和BN，从，从A到到B的路的路径是径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使，那么怎样确定桥的位置，才能使A到到B的的路径最短呢？路径最短呢？M【思考思考】我们我们能否在不改变能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.把把A平
14、移到岸边平移到岸边.2.把把B平移到岸边平移到岸边.3.把桥平移到和把桥平移到和A相连相连.4.把桥平移到和把桥平移到和B相连相连.BABAAB1.把把A平移到岸边平移到岸边.AM+MN+BN长度改变长度改变了了.2.把把B平移到岸平移到岸边边.AM+MN+BN长度改变长度改变了了.BA3.把桥平移到和把桥平移到和A相连相连.4.把桥平移到和把桥平移到和B相连相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？BAA1MN 如如图，平移图，平移A到到A1，使，使AA1等于等于河宽，连接河宽，连接A1B交河岸于交河岸于N作桥作桥MN，此时路径此时路径AM+MN+BN最短最短.理由理由:另任作桥另任作桥M1N
15、，连接，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN转化转化为为AA1A1B，而而AM1+M1N1+BN1转化为转化为AA1A1N1+BN1.在在ANB中，因为中，因为A1N1+BN1A1B.因此因此AM1+M1N1+BN1 AM+MN+BN.ABMNECD证明：证明：由平移的性质，得由平移的性质，得 BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以所以A到到B的路径长的路径长为为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CD处，连接处，连接AC,CD,DB,CE,则则A到到B的路径
16、长的路径长为为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACE中，中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以桥的位置建在所以桥的位置建在MN处，处，A到到B的路径的路径最短最短.解决最短路径问题的方法解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择从而作出最短路径的选择.方法点拨方法点拨 4.牧马人从牧马人从A地出发，先地出发，先到草地边某一处牧马，再到到草地边某一处牧
17、马，再到河边饮马，然后回到河边饮马，然后回到B处，处，请画出最短路径请画出最短路径.A B PQ.巩固练习巩固练习 如如图，在正方形图，在正方形ABCD中，中，E，F分别为分别为AD，BC的中点，的中点，P为为对角线对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是最小值的是（）AABBDECBDDAF解析：解析：如图，连接如图，连接CP，由，由AD=CD，ADP=CDP=45，DP=DP，可得，可得ADP CDP，AP=CP，AP+PE=CP+PE，当点当点E，P，C在同一直线上时，在同一直线上时，AP+PE的最小值为的最小值为CE长长，此时，由此
18、时，由AB=CD，ABF=CDE，BF=DE，可可得得ABF CDE，AF=CE，AP+EP最小值等于线段最小值等于线段AF的的长长D连接中考连接中考1.如图，直线如图，直线m同侧有同侧有A、B两点，两点，A、A关于直线关于直线m对称，对称，A、B关关于直线于直线n对称，直线对称，直线m与与AB和和n分别交于分别交于P、Q，下面的说法正确，下面的说法正确的是（的是（）AP是是m上到上到A、B距离之和最短距离之和最短的点，的点，Q是是m上到上到A、B距离相等的点距离相等的点.BQ是是m上到上到A、B距离之和最短距离之和最短的点，的点，P是是m上到上到A、B距离相等的距离相等的点点.CP、Q都是都
19、是m上到上到A、B距离之和距离之和最短最短的的点点.DP、Q都是都是m上到上到A、B距离距离相等的相等的点点.A.课堂检测课堂检测基础题基础题2.如图，如图，AOB=30，AOB内有一定点内有一定点P，且，且OP=10在在OA上有一点上有一点Q，OB上有一点上有一点R若若PQR周长最小，则最小周长是周长最小，则最小周长是（）（）A10 B15 C20 D30 A3.如图，牧童在如图，牧童在A处放马，其家在处放马，其家在B处，处，A、B到河岸的距离分到河岸的距离分别为别为AC和和BD，且，且AC=BD,若点若点A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米，则牧童从米，则牧童从A处把马牵
20、到河边饮水再回家，所走的最短距离处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是是 米米.ACBD河1000现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.Q是m上到A、B距离相等的点.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.因此AM1+M1N1+BN1 AM+MN+BN.在ANB中，因为A1N1+BN1A1B.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.BC=BC，BC=BC则点C 即为所求如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）AABBDECB
21、DDAF由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.A10 B15考点探究1 最短路径问题的应用C（0，1）D（0，0）A（0，3）B（0，2）解析：ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.Q是m上到A、B距离相等的点.5 B5（1）作点B 关于直线l 的对称点B；AC+BC=AC+BC现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AABBDECBD
22、DAFA（0，3）B（0，2）A10 B15DP=DP，可得ADP CDP，AP=CP，AP+PE=CP+PE，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.CP、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中
23、点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？可得ABF CDE，C（0，1）D（0，0）“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.由两点之间线段最短可知，5 B5考点探究1 最短路径问题的应用利用对称知识解决最短路径问题如图，牧童在A处放马，其家在
24、B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.4.如图，边长为如图，边长为1的正方形组成的网格中，的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点的顶点均在格点上，点上，点A、B的坐标分别是的坐标分别是A（3，2），），B（1，3）点）点P在在x轴上，轴上，当当PA+PB的值最小时，在图中画出点的值最小时，在图中画出点PxyOBABP 解析：解析：作出点作出点B关关于于x轴的对称点轴的对称点B，连接连接AB交交x轴于轴于点点P，点，点P就是所就是所求的点求的点.能利用轴对称解决简单的最短路径问
25、题.5 B5即AC+CD+DB AM+MN+BN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？在ANB中，因为A1N1+BN1A1B.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足
26、直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.AC+BC=AC+BC如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物
27、，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）解析：作出点B关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于点P，点P就是所求的点.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.解析：如图，连接CP，由AD=CD，ADP=CDP=45，如如图，荆州古城河在图，荆州古城河
28、在CC处直角转弯，河宽相同，从处直角转弯，河宽相同，从A处到处到B处，须经两座桥：处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最的路程最短？短？ADD CCEEB提升题提升题解：解：作作AFCD,且且AF=河宽，作河宽，作BG CE，且，且BG=河宽，连河宽，连接接GF,与河岸相交于与河岸相交于E,D.作作DD,EE即为桥即为桥.理由：理由：由作图法可知，由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则四边形则四边形AFDD为平行四边形，为平行四边形，于是于是AD=F
29、D,同理，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，由两点之间线段最短可知，GF最小最小.AD CCEEBFGD（1）如图，在）如图，在AB直线一侧直线一侧C、D两点，在两点，在AB上找一点上找一点P，使，使C、D、P三点三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由（2）如图，在）如图，在AOB内部有一点内部有一点P，是否在，是否在OA、OB上分别存在点上分别存在点E、F，使得使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由两点，并说明理由（3）如图，在）如图，在AOB内部有两点内部有两点M、N，是否在，是否在OA、OB上分别存在点上分别存在点E、F，使得，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并两点，并说明理由说明理由ABC D P O A B N O A B M 图图图图图图拓展题拓展题ABC D M C P 图图P O A B P P E F 图图N O A B M N E F 图图原 理线段公理和垂线段最短线段公理和垂线段最短最 短 路径 问 题解题方法造 桥 选址 问 题关键是将固定线段关键是将固定线段“桥桥”平移平移最短路径问题轴对称知识轴对称知识+线段公理线段公理解题方法总结新知总结新知
