1、高一数学备课组高一数学备课组 几何概型几何概型数学是好数学是好“玩玩”的的提出问题提出问题n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点:（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的。）每个基本事件发生都是等可能的。思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？为什么？为什么？那么对于有无限多个试验结果那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应（不可数）的情况相应的概率应如何求呢如何求呢?AAAP)(其中 表示区域的几何度量，.A 表示子区域A的几何度量两种概型、概率公式的联系两种概型、概率公式的
2、联系 mP(A)n试验的基本事件总数所包含的基本事件数A事件1.古典概型的概率公式古典概型的概率公式:2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式:P构成事件A的区域长度（面积或体积）（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型可以看作是古典概型的推广几何概型可以看作是古典概型的推广求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义辨一辨辨一辨先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素a,则P(a3)=.(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM
3、|10)=.(2)(2)几何概率模型几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,P(|PM|10)=1/6(1)(1)古典概率模型古典概率模型,P(,P(a3)=7/103)=7/10 0.0020.004与面积成比例与面积成比例0.3与长度成比例与长度成比例与体积成比例与体积成比例若满足若满足2a5呢？呢？1.1.如右下图如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分分别计算它落到阴影部分的概率别计算它落到阴影部分的概率.11P238P 2.2.取一根长度为取一根长度为3 3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于
4、剪得的两段长都不小于1 1米的概率有多大？米的概率有多大？31)(AP3.3.在腰长为在腰长为2 2的等腰直角三角形内任取一点的等腰直角三角形内任取一点,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 1的概率的概率.8P4 4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率的概率.规规范范解解题题步步骤骤规规范范解解题题步步骤骤20m30m2mA解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”，如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示，75236
5、00184)(AP故请同学们归纳求几何概型请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！并与古典概型步骤作比较！)(18416262030)(600203022mmA典例分析典例分析 平面上画了一些彼此相距平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径的平行线，把一枚半径ra,你愿意玩这个游戏吗？你愿意玩这个游戏吗？例例 某公共汽车站每某公共汽车站每隔隔1515分钟有一辆汽分钟有一辆汽车到达，乘客到达车到达，乘客到达车站的时刻是任意车站的时刻是任意的，求一个乘客到的，求一个乘客到达车站后候车时间达车站后候车时间大于大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？例例 某
6、公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，乘分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。31155 D d)(的测度的测度AP解：设上辆车于时刻解：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T2 2到达，线段到达，线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T1 1T=5T=5，T T2
7、 2T=10T=10，如图所示，如图所示:答：侯车时间大于答：侯车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车，则当乘客到达车站的时刻落在线段站的时刻落在线段T T1 1T T上时，事件发生，区域上时，事件发生，区域D D的测度的测度为为1515，区域，区域d d的测度为的测度为5 5。所以所以变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T321510 D d)(的测度的测度AP分析：2 2某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，并且出发前分钟有一辆汽车到达，并
8、且出发前在车站停靠在车站停靠3 3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于个乘客到达车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？152 D d)(的测度的测度AP分析：设上辆车于时刻分析：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T0 0到达，到达，T T2 2时刻出发。线段时刻出发。线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T0 0T T2 2=3=3，TTTT0 0=10=10，如图所示，如图所示:记候车时记候
9、车时间大于间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的时刻落，则当乘客到达车站的时刻落在线段在线段T T1 1T T上时，事件上时，事件A A发生，区域发生，区域D D的测度为的测度为1515，区，区域域d d的测度为的测度为15-3-10=215-3-10=2。所以所以 T1T2TT01.某人一觉醒来某人一觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台想听电台整点报时整点报时,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.解解:设事件设事件A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟 事件事件A A发生的区域为时间段发生的区域
10、为时间段50,6050,60 6160106010)(分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于AP2.2.教室后面墙壁上的时钟掉下来教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了面板摔坏了,刻度刻度5 5至至7 7的部分没了的部分没了,如图如图:但指针运行正常但指针运行正常,若若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率求不能看到准确时间的概率.1/61/66011:()()3606P A 方法角度法T TO Oy yx xA060132:()()26rP Ar方法弧长法211233:()()6rrP Ar方法面积法.在直角
11、坐标系内在直角坐标系内,射线射线OTOT落在落在6060o o 角的终边上角的终边上,任任作一条射线作一条射线OA,OA,求射线求射线OAOA落在落在XOTXOT内的概率。内的概率。甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212点到点到5 5点之间在某地会面点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响且二人互不影响.求二人能会面的概率求二人能会面的概率.想一想想一想解解:以以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻分别表示甲乙二人到达的时刻,于是于是0 X 5,0 Y 5 即点即点 M
12、落在图中的阴影部分落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形所有的点构成一个正方形,即即有无穷多个结果有无穷多个结果.由于每人在由于每人在任一时刻到达都是等可能的任一时刻到达都是等可能的,所以落在正所以落在正 方方 形形 内内 各各 点是点是等可能的等可能的.0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是：二人会面的条件是：|,X Y 10 1 2 3 4 5yx54321.259254212252正方形的面积阴影部分的面积py-x=1y-x=-13.3.几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式1.1.几何概型的几何概型的特征特征2.几何概型的几何概型的定义定义 每个基
13、本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性 .几何概型中所有可能出现的基本事件有几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；个；()AP A4.解决几何概型的关键是解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形构造随机事件对应的几何图形.解题步骤解题步骤思考题：思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积，求图中五角星的面积.(计算结果保留计算结果保留）解：记解：记“蚂蚁最后停在五角
14、星内蚂蚁最后停在五角星内”为事件为事件A,401.02)()(2 APSSSSAP圆圆五五角角星星五五角角星星圆圆 20 yx95604060)(222 矩矩形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积AP解解:以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为试一试试一试:3.两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面点在某地会面,先到者等候另一人先到者等候另一人20分钟分钟,过时就可离去过时就可离去,试求这两人能会面的概率试求这两人能会面的概率.课堂小结 1.几何概型的特点几何概型的特点.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.公式的运用公式的运用.()AP A 构成事件 的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）本节本节核心内容核心内容是几何概型特点及概率是几何概型特点及概率 求法，求法，易错点易错点是容易找错、是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的规范的步骤和步骤和必要必要的文的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！
