1、 2-1 2-1 时域数学模型（微分方程）时域数学模型（微分方程）2-2 2-2 复域数学模型（传递函数）复域数学模型（传递函数）2-3 2-3 系统的结构图与信号流图系统的结构图与信号流图本章内容及重点：本章内容及重点：主要内容：建模：微分方程和传递函数，主要内容：建模：微分方程和传递函数，结构图和信号流图结构图和信号流图重点：掌握建立系统微分方程和传递函数模型重点：掌握建立系统微分方程和传递函数模型的方法，掌握从结构图和信号流图计算系统传的方法，掌握从结构图和信号流图计算系统传递函数的方法和步骤。递函数的方法和步骤。1.1.定义：数学模型是指系统内部物理量（或变量）定义：数学模型是指系统内
2、部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运脱各种不同类型系统的外部特征，研
3、究其内在的共性运动规律。动规律。一一.数学模型的有关问题：数学模型的有关问题：建模建模3.3.建模方法建模方法 微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）传递函数（或结构图）频率特性频率特性 状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型）5.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性4.4.常用数学模型常用数学模型 系系统统辨辨
4、识识课课研研究究实实验验法法本本课课研研究究分分析析法法微分方程的列写步骤：微分方程的列写步骤：1 1）确定系统的输入、输出变量）确定系统的输入、输出变量,引入适当中间变量；引入适当中间变量；2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理或化学规律，写出各微分方程；的物理或化学规律，写出各微分方程；3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量之间的微分方程；）消去中间变量，写出输入、输出变量之间的微分方程；4 4）整理变换成标准形式。）整理变换成标准形式。二二.时域数学模型（微分方程）时域数学模型（微分方程）试列写质量试列写质量
5、m m在外力在外力F F作用下位移作用下位移y(t)y(t)的运动方程。的运动方程。dttdyftF)()(1)()(2tkytF)()()()(2122tFtFtFdttydm )()()()(22tFtkydttdyfdttydm )()()()(tutRitudttdiLrc dttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 例例1 1 图为机械位移系统。图为机械位移系统。R RL LC Ci(t)i(t)u ur r(t)(t)u uc c(t)(t)F F y(ty(t)k k f fm m 例例2 2 如图如图RLCRLC电路，试列写以电路
6、，试列写以u ur r(t)(t)为输入量，为输入量，u uc c(t)(t)为输出量为输出量的网络微分方程。的网络微分方程。整理得整理得:解解:阻尼器的阻尼力阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力弹簧弹性力:解解:传递函数的定义传递函数的定义)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数，用输入量的拉氏变换之比，称为传递函数，用G(s)G(s)表示。表示。三三.复域
7、数学模型（传递函数）复域数学模型（传递函数）1.1.一般形式：一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：设线性定常系统（元件）的微分方程是：其中：其中：c(t)c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)r(t)为系统输入，则零初始条为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCSG 11101110)()(
8、)()()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 例例 如图如图RLCRLC电路，试列写网络传递函数电路，试列写网络传递函数 U Uc c(s)/U(s)/Ur r(s).(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc )()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrcR RL LC Ci(t)i(t)u ur r(t)(t)u uc c(t)(t)LsLsR R1/sC1/sCI(s)I(s)U Ur r(s)(s)U Uc c(s)(s)解解:1):1)零初始条件下取拉氏
9、变换：零初始条件下取拉氏变换：传递函数：传递函数：2)2)变换到复频域来求。变换到复频域来求。11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc 1)1)传递函数是复变量传递函数是复变量S S的有理真分式函数，分子多项式的次的有理真分式函数，分子多项式的次数数m m 低于或等于分母多项的次数低于或等于分母多项的次数n n，所有系数均为实数；，所有系数均为实数；2)2)传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；3)3)传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；4)4)传递函数的拉氏反变换
10、是系统的脉冲响应。传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。5)5)传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。态特性；零初始条件含义要明确。2.2.传递函数的性质传递函数的性质 1.1.定义：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：定义：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()(n1jjm1ii)sT1(s)s1(K)s(G K K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递
11、系数或增益，在频率法中使用较多。3.3.传递函数的零点和极点形式传递函数的零点和极点形式 0 0 j j S S平面平面 零、极点分布图。零、极点分布图。传递函数分子多项式与分母多传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：项式也可分解为如下形式：传递函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根z zi i称为传递函数的零点；分母多项式称为传递函数的零点；分母多项式的根的根p pj j称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。K K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。例例 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为它
12、们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点极点决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点零点影响各模态在响应中影响各模态在响应中所占比重。所占比重。)2)(1(24)(1 ssssG)2)(1(25.1)(2 ssssGtteessssLtc211321)2)(1(24)(tteessssLtc2125.05.01)2)(1(25.1)(2.2.传递函数的零点和极点对输出的影响传递函数的零点和极点对输出的影响 n比例环节比例环节:G(s)=K n积分环节积分环节:G(s)=1/sn微分环节微分环节 G(s)=s11)(TssG1)(ssG 222222121)(nnnssTssTs
13、G 3.3.典型环节的传递函数典型环节的传递函数 惯性环节惯性环节:一阶微分环节一阶微分环节:振荡环节振荡环节:1 1）比例环节）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示的代数方程式来表示式中式中 环节的放大系数，为一常数。环节的放大系数，为一常数。K传递函数为：传递函数为：()()y tK r t()()()Y sG sKR s特点：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。输入输出量成比例，无失真和时间延迟。3.3.典型环节的传递函数典型环节的传递函数 实例：实例：电子放大器，齿轮，电阻电子放大器，齿轮，电阻(电位器电位器)，感应，感应式变送
14、器等。式变送器等。2 2）惯性环节）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示系数非齐次微分方程式来表示()()()dy tTy tK r tdt传递函数为：传递函数为：()()()1Y sKG sR sTs式中式中 T T 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入含一个储能元件，对突变的输入,其输出不其输出不能立即发现，输出无振荡。能立即发现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。这一环节。Xr(S)Xc(S)11Ts11)
15、()()(TssRsYsG0tr(t)/y(t)y(t)r(t)3 3）积分环节）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示分方程式来表示()()y tKr t dt传递函数为：传递函数为：()()()Y sKG sR ss特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。入消失，输出具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。拟计算机中的积分器等。tr(t)0 Y(s)R(s)SKssG1)(y(t)y(t)/r(t
16、)4 4）微分环节：）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示的关系，由下式来表示()()dr ty tdt传递函数为：传递函数为：()()()Y sG ssR s式中式中 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。入信号的变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。函数即为微分环节。12)(1)()(22sssGssGssGty(t)(理想理想)y(t)(实际实际)y(t)/r(t
17、)5 5）振荡环节：）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。阶微分方程式来表示。222()()2()()dy tdy tTTy tK r tdtdt传递函数为：传递函数为：22()()()21Y sKG sR sT sTs特点：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。量交换，其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压间的传递函数。2222)(nnnsssGR(s)Y(s)2222nnnSS121)(22TssTsGnt
18、=0.2=0.5=1y(t)/r(t)6 6）延迟环节：）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来其输出量和输入量的关系，由下式来表示表示()()1()y tr tt传递函数为：传递函数为：()()()sY sG seR s式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。定的时间间隔。实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节模型就包含有延迟环节。tsesG)(r(t)y(t)y(t)/r(t)0R(s)Y(s)se以上以上6 6种是常见的基本典型环节的数
19、学模型种是常见的基本典型环节的数学模型1 1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；是一一对应的；2 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数；传递函数；3 3）环节是相对的，一定条件下可以转化；）环节是相对的，一定条件下可以转化；4 4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。线性定常微分方程的求解：经典法、线性定常微分方程的求解：经典法、拉氏变换法拉氏变换法。四四.时域响应的求解时域响应的求解 拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤：1.1.考虑初始
20、条件，对微分方程中的每一项考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量分别进行拉氏变换，得到变量s s的代数方程；的代数方程；2.2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1.0)(sUsUssUrcc 11.0)1(1)(ssssUcttceetu 1.01)(R R1 1 C C1 1i i 1
21、1(t)(t)u ur r(t)(t)u uc c(t)(t)例例 已知已知R R1 1=1=1，C C1 1=1F=1F，u uc c(0)=0.1v,(0)=0.1v,u ur r(t)=1(t)(t)=1(t)，求，求 u uc c(t)(t)解：解：)s(U)s(U)s(sUCRrcc11 1sCR1)s(U)s(U11rc 零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：例例:已知已知R R1 1=1,C=1,C1 1=1F,=1F,1)1)求零状态条件下阶跃响应求零状态条件下阶跃响应u uc c(t)(t)；2)u2)uc c(0)=0.1v(0)=0.1v，u ur r(t)=1
22、(t)(t)=1(t)，求，求 u uc c(t);(t);3 3）求脉冲响应）求脉冲响应g(t)g(t)。1111)()()(11 ssCRsUsUsGrc)1(11)()(ssssUsUrctce1)t(u 对上式进行拉氏反变换：对上式进行拉氏反变换：解解:1:1）R1 C1i1(t)ur(t)uc(t)rccuudtduCR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1.0)(sUsUssUrcc 11.0)1(1)(ssssUcttceetu 1.01)(tesLsGLtg 11)()(113）2）R1 C1i1(t)ur(t)uc(t)(传递函数的拉氏反
23、变换是系统的脉冲响应传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应)(tFkydtdyf )()(tFytkdtdyf 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：如果输入如果输入r r1 1(t)(t)输出输出y y1 1(t)(t)，输入，输入r r2 2(t)(t)输出输出y y2 2(t)(t)则输入则输入a ra r1 1(t)+b r(t)+b r2 2(t)(t)输出输出a ya y1 1(t)+by(t)+by2
24、2(t)(t)1.1.线性系统线性系统用线性微分方程描述。用线性微分方程描述。线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间 而变化的。而变化的。2.2.非线性系统：用非线性微分方程描述。非线性系统：用非线性微分方程描述。)(2tFykydtdyf 五五.线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统xdxxdfyxx 0)(22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxxxdx)x(df)x(fyyy0 xx00 3.3.非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化：用台劳级数展开
25、，略去二阶以上导数项。小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。1).1).假设：假设：x x,y y在平衡点（在平衡点（x x0 0,y y0 0)附近变化，附近变化，x x=x x0 0+x x,y y=y y0 0+y y2).2).近似处理近似处理略去高阶无穷小项略去高阶无穷小项 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。范围内，可以用
26、线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。3).3).数学方法数学方法 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。方法相似。求线性化微分方程的步骤求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。点处各变量的数值。找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。的，则可进行线
27、性化处理。将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。留下一次项，求出它的系数值。消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。值用偏差量来表示。xdx)x(df)x(fyyy0 xx00 xdxxdfyxx0)(注意：注意：（1 1）线性化方程中的常数与选择的）线性化方程中的常数与选择的静态工作点静态工作点的位置有关的位置有关,工作点不同时工作点不同时,相应的常数也不相同。相应的常数也不相同。（2 2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。当输入量变化较小时才能使用。（3 3）若非线性特性不满足连续可微的条件）若非线性特性不满足连续可微的条件,则不能采用前述则不能采用前述处理方法处理方法.（4 4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。
