1、 By Xiaojun Wang有限单元法的基本概念和理论基础王晓军王晓军航空科学与工程学院固体力学研究所航空科学与工程学院固体力学研究所 By Xiaojun Wang有限元法的基本思想有限元法的基本思想(1)有限元法有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元单元），并通过它），并通过它们边界上的们边界上的结点结点相互联结成为组合体。相互联结成为组合体。（a）三角形单元）三角形单元（b）四边形单元）四边形单元二维结构的有限元离散二维结构的有限元离散 By Xiaojun
2、Wang（a）四面体单元）四面体单元（b）六面体单元）六面体单元三维实体的有限元离散三维实体的有限元离散有限元法的基本思想有限元法的基本思想 By Xiaojun Wang(2)有限元法用每一个有限元法用每一个单元内单元内所假设的所假设的近似函数近似函数来来分片分片地表示地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函插值函数数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相
3、同的数值，因而将它们用作数值求解的的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量基本未知量。这样一来，。这样一来，求解原来待求场函数的求解原来待求场函数的无穷自由度无穷自由度问题转换为求解场函数结点问题转换为求解场函数结点值的值的有限自由度有限自由度问题。问题。(3)有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的等效的变分原理或加权余量法变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的的结点值）的代数方程组或微分方程组代数方程组或微分方程组。此方程组称为。此方程组称为有限元有限元求解方程求解方程
4、，并表示成规范的矩阵形式。接着用，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法数值方法求解此求解此方程，从而得到问题的解答。方程，从而得到问题的解答。有限元法的基本思想有限元法的基本思想 By Xiaojun Wang某型飞机前机身某型飞机前机身Catia模型图模型图有限元法的应用实例有限元法的应用实例 By Xiaojun Wang某型飞机前机身有限元模型图某型飞机前机身有限元模型图有限元法的应用实例有限元法的应用实例 By Xiaojun Wang某型飞机全机有限元模型图某型飞机全机有限元模型图有限元法的应用实例有限元法的应用实例 By Xiaojun Wang 有限元法的基本概念有限元法的基本
5、概念 By Xiaojun Wang1 2 3 X2 Y2 结点载荷结点载荷1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 22xF 23xF 结点力结点力有限元法的基本概念有限元法的基本概念 By Xiaojun Wang非法结构离散非法结构离散有限元法的基本概念有限元法的基本概念 By Xiaojun Wang有限元法的基本概念有限元法的基本概念 By Xiaojun Wang有限元法的基本概念有限元法的基本概念用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，
6、故称为插由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则：选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）；是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。元内
7、选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。eeuNuNu,其中为形函数,为结点位移 By Xiaojun Wang有限元法的收敛准则有限元法的收敛准则 By Xiaojun Wang有限元法的收敛准则有限元法的收敛准则 By Xiaojun Wang P 力学模型力学模型(平面应力问题平面应力问题)P 有限元模型有限元模型有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤 By Xiaojun Wang y x 12()()()0 .AA在内uA uu12()()()0 .BB在上uB uu为未知场函数为未知场函数uA,B为微分算子为微分算子为体积域或面积域等为体积域或面积域等 为域为域的边界的边界场
8、问题的一般描述场问题的一般描述 By Xiaojun Wang 应力应力 作用于弹性体的作用于弹性体的外力外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种：表面力表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。来表示。体力体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号性力等。单位体
9、积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受弹性体受外力外力以后，其内部将产生以后，其内部将产生应力应力。、By Xiaojun Wang弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素称为体素 PA=dx,PB=dy,PC=dz 每一个面上的应力分解每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标应力，分别与三个坐标轴平行轴平行 正应力正应力 剪应力剪应力 Z Y X 应力应力 By Xiaojun Wang 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力一个角
10、码，例如，正应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴轴的面上同时也沿着的面上同时也沿着x轴方向作用的。轴方向作用的。加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的轴的面上而沿着面上而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。x 正应力正应力xy 剪应力剪应力应力应力 By Xiaojun Wang 应力的正负应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这
11、个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。为正，沿坐标轴正方向为负。应力应力 By Xiaojun Wang 剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相大小相等，正负号也相同同)。因此剪应力记号的
12、两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出由力矩平衡得出22022yzzydydZdXdZdXdy简化得简化得yzzyxyyxyzzyzxxz，剪应力互等剪应力互等应力应力 By Xiaojun Wang 考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：可得平衡方程：000 xyxxzyyxyzzyzxzxyyxxzzxyzzyXxyz
13、YyxzZzyx平衡微分方程平衡微分方程 By Xiaojun Wang 可以证明：如果可以证明：如果 这六个量在这六个量在P点点是已知的，就可以求得是已知的，就可以求得经过该点经过该点的任何面上的正应力和剪应的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态应力状态，它们就，它们就称为在该点的应力分量。称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标是坐标x、y
14、、z的函数。的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：xyTzxyzxyyzzxxyyzzx xyzxyyzzx、应力分量应力分量 By Xiaojun Wang 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：形状态，一般有两种方式来描述：1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个三个坐标轴上的投影坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向来表示。以沿坐标轴
15、正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。是定值，而是坐标的函数。位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 By Xiaojun Wang 体素的变形可以分为两类：体素的变形可以分为两类：一类是一类是长度的变化长度的变化，一类是，一类是角度的变化角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变或称正应变)，用符号，用符号 来表示。沿坐标轴
16、的线应变，则加来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与
17、剪应力的正负号规定定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应相对应(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。xyz、xyyzzx、xyxy应变应变 By Xiaojun Wang考察了体素在考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得一个平面内的变形情况，可得xyvuxyxuxyvy考察体素在考察体素在XOZ和和YOZ平面内的变形情况，可得：平面内的变形情况，可得：zyzzxwvwwuzzyxz，联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。(2-3-1)xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz，应变分
18、量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系 By Xiaojun Wang 可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可
19、以用一个列向量来表示：列向量来表示：000000=000 xyzxyyzzxxyuzvyxwzyzx LuLu应变分量向量应变分量向量 By Xiaojun Wang 由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在几何方程中能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在几何方程中令：令：有：有：积分后，
20、得积分后，得式中的式中的 是积分常数是积分常数0 xyzxyyzzx000000uvwuvvwwuxyzyzzxxy，000 (2-3-3)yzzxxyu uzyv vxzw wyx 000 xyzuvw、刚体位移刚体位移 By Xiaojun Wang 如果弹性体的各面有剪应力作用，如果弹性体的各面有剪应力作用，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中式中G称为剪切模量，它与弹性模量称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数泊松系数 存在如下的关系：存在如下的关系：正应变与剪应变是各自独立的。因正应变
21、与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得，如左式，称为弹性方程或物理方求得，如左式，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律广义虎克定律。(2-3-7)111 xyxyyzyzzxzxGGG，(2-3-8)2(1)EG1()1()1()(2 3 9)111xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 应力应变关系应力应变关系物理方程物理方程 By Xiaojun Wang 将应变分量表示为应力分量
22、的函数，可称为物理方程的第一将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将其改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可种形式。若将其改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式：得物理方程的第二种形式：(1)()(1)(1 2)11(1)()(1)(1 2)11(1)()(1)(1 2)11 2(1)2(1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxEEEEEE(2-3-10)应力应变关系应力应变关系物理方程物理方程 By Xiaojun Wang 用矩阵的形式表示如下：用矩阵的形式表示如下：100011100011100011(1)1 2(
23、1)(1 2)000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)xxyyzzxyxyyzyzzxzxE (2-3-11)可简写为：可简写为：D应力应变关系应力应变关系物理方程物理方程 By Xiaojun WangD称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和和。111111(1)1 2000(1)(1 2)2(1)1 200002(1)1 2000002(1)(2-3-13)E对称D应力应变关系应力应变关系物理方程物理方程 By Xiaojun Wang变分原理变分原理 By Xiaojun Wang,dE,duuF uuxx0变分原理变分原理u
24、By Xiaojun Wang 将虚功原理用于弹性变形时，总功将虚功原理用于弹性变形时，总功W要要包括外力功包括外力功(T)和和内力功内力功(U)两部分，即：两部分，即：W=T-U ；内力功；内力功(-U)前面有一负前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得：T -U=0 即，外力虚功即，外力虚功 T =内力虚功内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外
25、力作用下处于平弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功位移上的虚功(外力功外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功功(内力功内力功)。虚功原理虚功原理其中其中 即为系统的即为系统的总总势能势能，它是弹性体变形势能和外力势能之和。上面变分为零式，它是弹性体变形势能和外力势能之和。上面变分为零式表明：在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条表明：在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，件的可能位移中，真实位
26、移使系统的总势能取驻值真实位移使系统的总势能取驻值(可证明此驻可证明此驻值为值为最小值最小值)。()0TTTdd u Fu T根据虚功原理得到：根据虚功原理得到：则则1()02TTTpdd u Fu T1()2TTTpdd u Fu T最小势能原理最小势能原理 12TTU 由由 By Xiaojun Wang 有限元平衡方程有限元平衡方程由单元位移函数由单元位移函数euNu单元内的应变和应力分别为单元内的应变和应力分别为e=Buee=D=DBu=Su和和将位移、应力和应变代入势能泛函有将位移、应力和应变代入势能泛函有1d-d-d2eTTeeTTeTT=uB DBuuN FuN T根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件 ddd=0TeTTe=B DBu-N F-N Tu By Xiaojun Wang 有限元平衡方程有限元平衡方程上式可写成上式可写成eeeK u=f其中其中deTKB DB单元平衡方程单元平衡方程单元刚度矩阵单元刚度矩阵eeevsfff单元等效结点力向量单元等效结点力向量式中式中deTvfN F体积力等效结点力体积力等效结点力deTsfN T面力等效结点力面力等效结点力集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程Ku=f
