1、4.4 4.4 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性000()()()()()()()()();,dx tA t x tB t u ty tC t x tx txt tT 4.4.1 4.4.1 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 考虑连续时间线性时变系统考虑连续时间线性时变系统其中其中x为为n维状态向量，维状态向量，u为为p为输入；为输入；Td为时间为时间t的定义区间；的定义区间；t0为初始时刻，为初始时刻，t t0；A(x)、B(x)分别为分别为nn,np时变矩阵时变矩阵.()()()()()x tA t x tB t u t 10TTC0100(,)(,
2、)()()(,)dttWtttBBt 定理定理4.4.14.4.1 线性时变系统线性时变系统在定义时间区间在定义时间区间 t t0 0,t t1 1 内，状态完全能控的充内，状态完全能控的充要条件是要条件是Gram矩阵矩阵非奇异非奇异。式中。式中 为时变系统状态转移矩阵。为时变系统状态转移矩阵。0(,)t t推论（秩判据）推论（秩判据）：假设矩阵：假设矩阵A(t)和和B(t)都都是是n-1-1次连续可微的，在时间区间次连续可微的，在时间区间 t t0 0,t t1 1 上，若有上，若有011rank()()()nMtMtMtn则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵则系统是状态完全能控的，其中分块
3、矩阵0()()MtB t 1d()()()()dkkkMtA t MtMtt ,(,)1 21kn例例4.4.1.(1)4.4.1.(1)1122233100001001xtxxtxuxtx 00()()11MtB t 10021d()()()()dM tA t MtMtttt 2221144202d()()()()11d22ttMtA t M tM tttttttt 012()()()MtM tMt秩为秩为3，所以系统是完全能控，所以系统是完全能控推论（秩判据）推论（秩判据）：假设矩阵：假设矩阵A(t)和和B(t)在时间区间在时间区间Td上是上是n-1-1次连续可微的次连续可微的,若对初始时
4、刻若对初始时刻t t0 0Td,存存在有限时刻在有限时刻t t1 1Td，t1 1t0 0,使得使得011111rank()()()nMtMtMtn则系统在时刻则系统在时刻t0是状态完全能控的是状态完全能控的,其中分块矩阵其中分块矩阵0()()MtB t 1d()()()()dkkkMtA t MtMtt ,(,)1 21kn例例 4.1.1.(2)4.1.1.(2)试判断线性时变连续系统试判断线性时变连续系统 11222331000201001xtxxtxuxttx 0,3dT 00.5t 10022211221()()()()23()()()()42()21dM tA t MtMttdtt
5、ttdMtA t M tM ttdtttt 解：首先计算解：首先计算00()()11MtB t 进而，可以找到进而，可以找到 ，使有，使有110,3t 10111211()()()0131221213trank MtM tMtrank 据秩判据可知，系统在时刻据秩判据可知，系统在时刻 完全能控完全能控.00.5t 4.4.2 4.4.2 线性时变系统能观性的判据线性时变系统能观性的判据定理定理4.4.24.4.2 线性时变系统线性时变系统()()()x tA t x t()()()y tC t x t定义在时间区间定义在时间区间 t t0 0,t t1 1 内，状态完全能观测的充内，状态完全能
6、观测的充分必要条件是分必要条件是Gram矩阵矩阵TTOd100100(,)(,)()()(,)ttWttt CCt 为非奇异为非奇异。推论推论(秩判据）秩判据）：如果矩阵：如果矩阵A(t)和和C(t)满足满足n-1 1次次连续可微的条件在时间区间连续可微的条件在时间区间 t t0 0,t t1 1 内，又有内，又有rank011()()()nNtNtnNt 则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵0()()N tC t dd1()()()()kkkNtNt A tNtt，0 1 21(,)kn 例例4.4.2 4.4.2 1122233100001001xt
7、xxtxuxtx 123101xyxx101)(0tN2100d()()()()1dN tN t A tN tttt24211d()()()()122dN tN t A tN tttttt tttttttNtNtN2211101)()()(422210其秩等于其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。，所以系统是状态完全能观的。推论（秩判据）推论（秩判据）：对连续时间线性时变连续系统，：对连续时间线性时变连续系统，若若A(t)、C(t)阵均是阵均是n-1-1阶连续可导的函数矩阵，阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻则系统在时刻t0 0状态完全能观的状态完全能观的充分条件充分条件为存在为存在一个有限时
8、刻一个有限时刻 使使 110,dtT tt 011111()()()nNtN tranknNt 0()()N tC t dd1()()()()kkkNtNt A tNtt 0 1 21(,)kn 例例 4.4.2.4.4.2.（2 2）已知线性时变连续系统为）已知线性时变连续系统为 ,32123210002001xxxttttxxx2,5.0,2,00fdttT321111xxxy分析系统在分析系统在 时的能观性时的能观性 5.00t解解 首先计算首先计算 0N()111t 21002112222N()N()A()N()21N()N()A()N()1432()(21)dttttttttdtdt
9、tttdttttttt 于是于是 rankrank10111211N()111N()2563N()52441tttnt 可见系统在时刻可见系统在时刻 状态完全能观测。状态完全能观测。5.00t4.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系4.5.1 4.5.1 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系对对偶偶系系统统 BuAxxCxy TTzA zC vTwB z12对偶系统结构图对偶系统结构图 由图可见，互为对偶的两系统输入端与输出端互换，由图可见，互为对偶的两系统输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩信号传递方向相反，信号引出点和综合
10、点互换，对应矩阵转置。阵转置。4.5.2 4.5.2 对偶原理对偶原理 系统系统 和和 是互为对是互为对偶的两个系统，则偶的两个系统，则 的能控性等价于的能控性等价于 的能观测性；的能观测性；的能观测的能观测性等价于性等价于 的能控性。的能控性。或者说，或者说，若若 是状态完全能控的是状态完全能控的(完全能观测的完全能观测的)，则则 是状态完全能观测的是状态完全能观测的(完全能控的完全能控的)。),(1111CBA),(2222CBA),(1111CBA),(1111CBA),(2222CBA),(2222CBA),(1111CBA),(2222CBA系统系统 状态完全能控的充要条件和系统状态
11、完全能控的充要条件和系统 状态完全能观的充要条件相同；状态完全能观的充要条件相同；121系统系统 状态完全能观的充要条件与系统状态完全能观的充要条件与系统 完全能观的充要条件相同。完全能观的充要条件相同。2（对偶原理）（对偶原理）对偶原理在现代控制理论的研究中具有对偶原理在现代控制理论的研究中具有重要意义重要意义,其使得系统的状态观测及估计等其使得系统的状态观测及估计等问题和系统的控制问题互相转化、借鉴问题和系统的控制问题互相转化、借鉴,例例如如,最优估计问题就可借鉴最优控制问题的最优估计问题就可借鉴最优控制问题的结论而获得解决。结论而获得解决。4.5.3 4.5.3 两个系统的传递函数矩阵的关系两个系统的传递函数矩阵的关系 11()()GsC sIAB TTTTTT112()()()GsBsIACBsIAC T121()()()GsC sIABG s
