1、112/9/2022概率论与数理统计第20讲212/9/2022第五章第五章 大数定律与大数定律与中心极限定理中心极限定理312/9/2022契比雪夫不等式契比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X有期望值有期望值E(X)及方差及方差D(X),则任给则任给e e0,有有22)(1)|)(|)()|)(|eeeeXDXEXPXDXEXP或412/9/2022示意图示意图E(X)+eE(X)E(X)ef(x)xD(X)/e2512/9/2022证证 如如X是是离散型离散型随机变量随机变量,那么那么222)|(|22)|(|)|(|)()()()()|)(|eeeeeeeXDpXExpXExpxXPXE
2、XPkkkXExkkXExkXExkkkk612/9/2022如果如果X是是连续型连续型随机变量随机变量,Xf(x),则则222)|(|22)|(|)()()()()()()|)(|eeeeeeXDdxxfXExdxxfXExdxxfXEXPXExXEx+712/9/2022例例1 设设X是掷一颗骰子所出现的点数是掷一颗骰子所出现的点数,若给若给定定e e=1,2,实际计算实际计算P(|X E(X)|e e),并验证并验证契契比雪夫比雪夫不等式成立不等式成立.解解 因因P(X=k)=1/6,(k=1,2,3,4,5,6)2|27(|31483512435)(:2)1|27(|321235)(:
3、1123512147182449691)()()(6916362516941)(,276654321)(22222+XPXDXPXDXEXEXDXEXEeeee812/9/2022例例2 设电站供电所有设电站供电所有10000盏电灯盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立而假定开关时间彼此独立,试用切试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在灯数在6800与与7200之间之间(不包括不包括6800与与7200)的概率的概率.912/9/2022解解 令令X为同时开灯的数目为同时开灯的数目,则则XB(10000,0.
4、7)95.020021001)200|7000(|7200680021003.07.010000)(70007.010000(X):3.07.0)7200X6800(2719968011000010000XPXPnpqXDnpECPkkkk估计如果用契比雪夫不等式1012/9/2022习题习题 一颗骰子连掷一颗骰子连掷4次次,点数之和为点数之和为X,用契比雪夫不等式估计用契比雪夫不等式估计P(10XN时时,|an a|0,有有aXaXaXPnPnnnn记作依概率收敛于则称随机变量序列.,1|lime2112/9/2022定理定理(辛钦大数定律辛钦大数定律p147)如果如果X1,X2,.是是相互
5、独立相互独立并且并且具有相同分布具有相同分布的随机变量的随机变量,有有E(Xi)=a(i=1,2,.),则有则有aXnnPnii11这个定理说明我们应当相信只要反复试验这个定理说明我们应当相信只要反复试验,则一个随机变量的算术平均值将趋向于常则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数数,通常就是通常就是数学期望数学期望.2212/9/2022定理定理(伯努利大数定律伯努利大数定律)在独立试验序列中在独立试验序列中,当试验次数当试验次数n无限增加时无限增加时,事件事件A发生的频发生的频率率X/n(X是是n次试验中事件次试验中事件A发生的次数发生的次数)满足满足,.10,)(.21分布的满足参数为的次
6、数发生次试验是指的第其中+pAiXpAPpnXXXnXinPn这个定理说明在试验条件不变的情况下这个定理说明在试验条件不变的情况下,重复进行多次试验时重复进行多次试验时,任何事件任何事件A发生的频发生的频率将趋向于概率率将趋向于概率.2312/9/2022中心极限定理中心极限定理 中心极限定理是概率论的一个非常重中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理要的定理,它原来叫它原来叫中心极限定律中心极限定律.描述描述:如果多个如果多个相互独立相互独立的随机变量相加的随机变量相加,不管它们是离散的还是连续的或者是任何不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的类型的,只要它们只要它们大小相差并不悬殊大小
7、相差并不悬殊,则加则加起来以后得到的随机变量起来以后得到的随机变量,就近似服从就近似服从正正态分布态分布.2412/9/2022正态分布的概率密度的图形正态分布的概率密度的图形xmm+sms2512/9/2022二项分布二项分布的随机变量可看作许多相互独立的随机变量可看作许多相互独立的的0-1分布的随机变量之和分布的随机变量之和,下面是当下面是当XB(20,0.5)时时,X的概率分布图的概率分布图0 00.050.050.10.10.150.150.20.2P P2612/9/2022泊松分布泊松分布相当于二项分布中相当于二项分布中p很小很小n很大的分布很大的分布,因此因此,参数参数l l=n
8、p当很大时也相当于当很大时也相当于n特别大特别大,这这个时候泊分布也近似服从正态分布个时候泊分布也近似服从正态分布,下面是下面是l l=30时的泊松概率分布图时的泊松概率分布图.0 00.010.010.020.020.030.030.040.040.050.050.060.060.070.070.080.081212 1414 1616 1818 2020 2222 2424 2626 2828 3030 3232 3434 3636 3838 4040 4242 4444 4646 4848P P2712/9/2022在在c c2(n)分布分布中中,如果自由度如果自由度n很大很大,也可以也
9、可以认为是多个自由度为认为是多个自由度为1的相互独立的的相互独立的c c2(1)分布的随机变量的和分布的随机变量的和,因此也近似服从因此也近似服从正正态分布态分布.下面是下面是c c2(60)的概率密度曲线的概率密度曲线.x0601202812/9/2022例例1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量一个螺丝钉的重量是一个随机变量,期期望值是一两望值是一两,标准差是标准差是0.1两两.求一盒求一盒(100个个)螺丝钉的重量超过螺丝钉的重量超过10.2斤的概率斤的概率(用中心极用中心极限定理限定理).解解 设一盒重量为设一盒重量为X,盒中第盒中第i个螺丝钉的重量为个螺丝钉的重量为Xi ,(i=1,2,
10、.,100).X1,.,X100相互独立相互独立,0228.0)2(121100)102()1,100(),(11001.0)(),(1100)(,1.0)(,1)(210012XPXPNXXDXEXXXDXEiiii则近似平方两两则2912/9/2022例例2 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次轰炸次轰炸,每每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量量,其期望值为其期望值为2,方差为方差为1.69.求在求在100次轰次轰炸中有炸中有180颗到颗到220颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.8764.01)54.1(2132013200)20
11、|200(|)220180(XPXPXP解解 令第令第i次轰炸命中目标的炸弹数目为次轰炸命中目标的炸弹数目为Xi,100次轰炸命中目标炸弹数目次轰炸命中目标炸弹数目X=X1+X2+.+X100.E(X)=200,D(X)=169,近近似有似有XN(200,132)3012/9/2022定理定理 拉普拉斯定理拉普拉斯定理,设设XB(n,p)p150npqnpanpqnpbnpqnpanpqnpXPnpqnpbnpqnpXPbXaPnnpqnpknpqenpqkXPnnpqnpk)()()(:)2(121)(:)1(2)(2时当积分极限定理时当局部极限定理3112/9/2022例例3 10部机器独
12、立工作部机器独立工作,每部停机的概率每部停机的概率为为0.2.求求3部机器同时停机的概率部机器同时停机的概率.解解 10部机器中同时停机的数目部机器中同时停机的数目XB(10,0.2)2308.0)79.0(265.11265.123265.111)3(:)2(2013.08.02.0)3(:)1(.265.1,2,2.0,1073310npqnpknpqXPCXPnpqnppn算用局部极限定理近似计直接计算3212/9/2022例例4 设电站供电所有设电站供电所有10000盏电灯盏电灯,夜晚每夜晚每一盏灯开灯的概率都是一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时而假定开关时间彼此独立间彼此独立,
13、用用拉普拉斯定理拉普拉斯定理估计夜晚同估计夜晚同时开着的灯数在时开着的灯数在6800与与7200之间的概率之间的概率.解解 开着的灯数开着的灯数XB(10000,0.7)11)36.4(236.483.457000)200|7000(|)72006800(83.45,7000XPXPXPnpqnp3312/9/2022例例5 产品为废品的概率为产品为废品的概率为p=0.005,用中心用中心极限定理求极限定理求10000件产品中废品数不大于件产品中废品数不大于70的概率的概率.解解 10000件产品中的废品数件产品中的废品数XB(10000,0.005),9977.0)84.2(053.75070053.75070053.750)70(053.7,50XPXPnpqnp3412/9/2022例例6 每颗炮弹命中飞机的概率为每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求求500发炮弹中命中发炮弹中命中5发的概率发的概率.解解 命中飞机的炮弹数目命中飞机的炮弹数目XB(500,0.01)1793.051)5X()3(!5)5(,)2(17635.099.001.0)5(:)1(225.2,55549555500npqnpnpqPePCXPnpqnpll理计算用拉普拉斯局部极限定用泊松公式计算用二项分布公式计算3512/9/2022结束结束
