1、8.2 消元消元解解二元一次方程组二元一次方程组第第2课时课时 加减消元法加减消元法主要步骤：主要步骤：基本思路基本思路:写解写解求解求解代入代入把变形后的方程代入到另一个方程中，把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个消去一个元元分别求出分别求出两个两个未知数的值未知数的值写出写出方程组方程组的解的解变形变形用含有用含有一个未知数一个未知数的代数式表示的代数式表示另一另一个未知数个未知数,写成写成y=ax+b或或x=ay+b消元消元:二元二元1、解二元一次方程组的基本思路是什么？、解二元一次方程组的基本思路是什么？2、用代入法解方程的步骤是什么？、用代入法解方程的步骤是什么？一元一元1知识
2、点知识点直接加减消元直接加减消元知知1 1导导 把把变形得变形得 代入代入，不就消去，不就消去x了了!怎样解下面的二元一次方程组呢？怎样解下面的二元一次方程组呢？3521,2511.xyxy+=-=-511,2yx-=按小丽的思路，你能消去一个未知数吗按小丽的思路，你能消去一个未知数吗?把把变形得变形得5y2x11,可以直接代入可以直接代入呀！呀！5y和和5y互互为相反数为相反数知知1 1导导两个方程相加，可以得到两个方程相加，可以得到5x=10,x=2.将将x=2代入代入，得，得6+5y=21，y=3.所以方程组所以方程组 23.xy=，3521,2511xyxy=+-的解是的解是知知1 1
3、导导 加减法定义：加减法定义：当二元一次方程组的两个方程中当二元一次方程组的两个方程中同同一未知数的系数相反一未知数的系数相反或或相等相等时，把这两个方程的两边时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一一元一次方程元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称，这种方法叫做加减消元法，简称加减法加减法知知1 1讲讲用加减法解方程组：用加减法解方程组：知知1 1讲讲371,3713.xyxy-=-+=例例1导引：导引：两个方程中两个方程中x的系数相同，的系数相同，y的系数互为相反数，的系数互为相反数，这样可以把两个方程相加消去这样可
4、以把两个方程相加消去y，或者把两个方，或者把两个方程相减消去程相减消去x.方法一：方法一：，得，得6x12，解得，解得x2.把把x2代入代入，得，得327y13，解得，解得y1.所以原方程组的解为所以原方程组的解为2,1.xy=解：解：知知1 1讲讲方法二：方法二：，得，得14y14，解得，解得y1.把把y1代入代入，得，得3x711，解得，解得x2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为2,1.xy=当二元一次方程组的两个方程中同一未知数当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得
5、到一个一元一加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，然后解答方程即可次方程，然后解答方程即可.总总 结结知知1 1讲讲1 方程组方程组 中，中，x的系数的特点是的系数的特点是_，方程组方程组 中，中，y的系数的特点是的系数的特点是 _ _，这两个方程组用，这两个方程组用_消元法消元法 解较简便解较简便知知1 1练练231,2+52xyxy-=-5+48,746xyxy=-=相等相等互为相反数互为相反数加加减减2方程组方程组 既可以用既可以用_消去未知数消去未知数_；也可以用；也可以用_消去未知数消去未知数_知知1 1练练342341xyxy，y或或x3 用加减法解方程组用加减法解方
6、程组 时，时，得得()A5y2 B11y8 C11y2 D5y8知知1 1练练235,283 xyxy-=-=A4解方程组解方程组 时，用加减消元法时，用加减消元法最简便的是最简便的是()A BC23 D32知知1 1练练334231xyxy，A5【2016宁夏宁夏】已知已知x，y满足方程组满足方程组 则则xy的值为的值为()A9 B7 C5 D3知知1 1练练612328xyxy，C2知识点知识点先变形，再加减消元先变形，再加减消元知知2 2导导 如果二元一次方程组的未知数的系数相同或如果二元一次方程组的未知数的系数相同或互为相反数，我们可以运用加减法来解那么对互为相反数，我们可以运用加减法
7、来解那么对于一些系数不同或不互为相反数的二元一次方程于一些系数不同或不互为相反数的二元一次方程组，还能用加减法来解吗组，还能用加减法来解吗?用加减法解方程组：用加减法解方程组：知知2 2讲讲3416,5633.xyxy+=-=例例2 这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两等，直接加减这两 个方程不能消元个方程不能消元.我们对方程我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反 或相等或相等.分析：分析：知知2 2讲讲解：解：3，得，得 9x+12y=48.2，得，得 10 x-12y=6
8、6.+，得得19x=114，即即 x=6.把把x=6代入代入，得，得 36+4y=16，4y=-2，y所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是1.2-6,1.2xy-例例3 解方程组：解方程组：导引：导引：方程组中，两个方程中方程组中，两个方程中y的系数的绝对值成倍数的系数的绝对值成倍数 关系，方程关系，方程乘以乘以3就可与方程就可与方程相加消去相加消去y.解：解：由由3，得，得 51x9y222，由由，得，得 59x295，解得，解得 x5.把把x5代入代入，得，得859y73，解得，解得 所以原方程组的解为所以原方程组的解为知知2 2讲讲8973,17374.xyxy+=-=5,11.3x
9、y=11.3y=1 用加减法解用加减法解方程组方程组：知知2 2练练+29,(1)321.xyxy=-=-2+58,(3)325;xyxy=+=5+225,(2)3415;xyxy=+=2+36,(4)322.xyxy=-=-，得，得4x8，解这个方程，得解这个方程，得x2.把把x2代入，得代入，得y .因此，这个方程组的解是因此，这个方程组的解是知知2 2练练解：解：+29,(1)321.xyxy=-=-+29,(1)321.xyxy=-=-7227.2xy，2，得，得10 x4y50.，得，得7x35，解这个方程，得，解这个方程，得x5.把把x5代入，得代入，得552y25，y0.因此，这
10、个方程组的解是因此，这个方程组的解是知知2 2练练解：解：5225(2)3415.xyxy，50.xy，5+225,(2)3415;xyxy=+=3，得，得6x15y24.2，得，得6x4y10.，得，得11y14，y .把把y 代入，得代入，得2x5 8，x .因此，这个方程组的解是因此，这个方程组的解是知知2 2练练解：解：258(3)325.xyxy，14112+58,(3)325;xyxy=+=91114.11xy，141114119112，得，得4x6y12.3，得，得9x6y6.，得，得13x6，x .把把x 代入，得代入，得2 3y6，y .因此，这个方程组的解是因此，这个方程组
11、的解是知知2 2练练解：解：236(4)322.xyxy，61322.13xy，2+36,(4)322.xyxy=-=-6136136132213【中考中考河北河北】利用加减消元法解方程组利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是下列做法正确的是()A要消去要消去y，可以将，可以将52 B要消去要消去x，可以将，可以将3(5)C要消去要消去y，可以将，可以将53 D要消去要消去x，可以将，可以将(5)2知知2 2练练2510,536.xyxy+=-=2D用加减法解方程组用加减法解方程组 时，要使两个方时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四
12、种变形的结果：变形的结果：其中变形正确的是其中变形正确的是()A B C D知知2 2练练231328xyxy，3691648xyxy，；461968xyxy，；4629624.xyxy，6936416xyxy，；B知知3 3讲讲3知识点知识点解方程组的应用解方程组的应用2台大收割机和台大收割机和5台小收割机同时工作台小收割机同时工作2 h共收割共收割小麦小麦3.6 hm2,3台大收割机和台大收割机和2台小收割机同时台小收割机同时工作工作5 h共收割小麦共收割小麦8 hm2.1台大收割机和台大收割机和1台小台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？收割机每小时各收割小麦多少公顷？例例4 知知3 3讲
13、讲导引：导引：如果如果1台大收割机和台大收割机和1台小收割机每小时各收割小台小收割机每小时各收割小麦麦x hm2和和y hm2,那么那么2台大收割机和台大收割机和5台小收割台小收割机同时工作机同时工作1 h共收割小麦共收割小麦_ hm2,3台大收割机和台大收割机和2台小收割机同时工作台小收割机同时工作1 h共收割共收割小麦小麦_hm2.由此考虑两种情况下的工作由此考虑两种情况下的工作量量.知知3 3讲讲解：解：设设1台大收割机和台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦台小收割机每小时各收割小麦x hm2和和y hm2.根据两种工作方式中的相等关系，根据两种工作方式中的相等关系，得方程组得方程组
14、去括号，得去括号，得-，得，得11x=4.4.解这个方程，得解这个方程，得x=0.4.2(25)3.6,5(32)8.xyxy+=+=4103.6,15108.xyxy+=+=知知3 3讲讲把把x=0.4代入代入，得，得y=0.2.因此，这个方程组的解是因此，这个方程组的解是答：答：1台大收割机和台大收割机和1台小收割机每小时各收割小台小收割机每小时各收割小 麦麦0.4 hm2和和0.2 hm2 上面上面0.4,0.2.xy=知知3 3讲讲 例例5 解方程组：解方程组：导引：导引：方程方程和和中中x，y的系数的绝对值都不相等，的系数的绝对值都不相等，也不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小也不成
15、倍数关系，应取系数的绝对值的最小 公倍数公倍数6，可以先消去，可以先消去x，也可以先消去，也可以先消去y.233,3211.xyxy+=+=解：方法一：解：方法一：3，得，得6x9y9.2，得，得6x4y22.，得，得5y13，即，即 把把 解得解得 所以这个方程组的解为所以这个方程组的解为知知3 3讲讲13.5y=-135y=-13233,5x骣+-=桫27.5x=27,513.5xy=-代入代入，得，得方法二：方法二：2，得，得4x6y6.3，得，得9x6y33.，得，得5x27，解得，解得把把 解得解得所以这个方程组的解为所以这个方程组的解为知知3 3讲讲27.5x=27233,5y+=
16、27,513.5xy=-275x=13.5y=-代入代入，得，得总总 结结知知3 3讲讲 用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况：情况：方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，则直接则直接 利用加减法求解；利用加减法求解；方程组中任一个未知数的方程组中任一个未知数的系数的绝对值都不相等，系数的绝对值都不相等，但某个未知数的系数的绝对但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系，则其中值成倍数关系，则其中 一个一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解；方程乘这个倍数后再利用加减法求解；知知3 3讲讲方程组中任一个未知数的系
17、数的绝对值既不相等，方程组中任一个未知数的系数的绝对值既不相等，也不成倍数关系，可利用最小公倍数的知识，把两也不成倍数关系，可利用最小公倍数的知识，把两 个个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的 绝对绝对值相等，然后再利用加减法求解值相等，然后再利用加减法求解一条船顺流航行，每小时行一条船顺流航行，每小时行20 km；逆流航行，每；逆流航行，每小时行小时行16 km.求轮船在静水中的速度与水的流速求轮船在静水中的速度与水的流速.知知3 3练练1设轮船在静水中的速度为每小时设轮船在静水中的速度为每小时x km，水的流速为，水的流速为每小时每小时y
18、km.依题意，得依题意，得 ，得，得2x36，x18.把把x18代入代入，得，得y2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为答：答：轮船在静水中的速度为每小时轮船在静水中的速度为每小时18 km，水的流速为每小时水的流速为每小时2 km.2016.xyxy，解：解：182.xy，运输运输360 t化肥，装载了化肥，装载了 6节火车车厢和节火车车厢和15辆汽辆汽车；运输车；运输440 t化肥，装载了化肥，装载了 8节火车车厢和节火车车厢和10辆汽车辆汽车.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？少吨化肥？知知3 3练练1设每节火车车厢平均装设每节火车车厢平均装x
19、t化肥，化肥，每辆汽车平均装每辆汽车平均装y t化肥化肥依题意，得依题意，得615360810440.xyxy，解：解：知知3 3练练2，得，得12x30y720.3，得，得24x30y1 320.，得，得12x600，x50.把把x50代入代入，得，得65015y360，y4.所以原方程组的解为所以原方程组的解为答：答：每节火车车厢平均装每节火车车厢平均装50 t化肥，化肥，每辆汽车平均装每辆汽车平均装4 t化肥化肥504.xy，若方程组若方程组 的解也是二元一次方程的解也是二元一次方程5xmy11的一个解，则的一个解，则m的值等于的值等于()A5 B7C5 D7知知3 3练练213212x
20、yxy ，3D【2016黔东南州黔东南州】小明在某商店购买商品】小明在某商店购买商品A，B共共 两次，这两次购买商品两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如表：的数量和费用如表：知知3 3练练4 购买商品购买商品A的数量的数量/个个购买商品购买商品B的数量的数量/个个 购买总购买总 费用费用/元元第一次购物第一次购物4393第二次购物第二次购物66162若小丽需要购买若小丽需要购买3个商品个商品A和和2个商品个商品B，则她要，则她要花费花费()A64元元 B65元元 C66元元 D67元元C用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)变形变形：将方程组
21、中某一未知数的系数变为相等或相反：将方程组中某一未知数的系数变为相等或相反 (2)加减加减：消去一个未知数：消去一个未知数 (3)求解求解：得到一个未知数的值：得到一个未知数的值 (4)回代回代：求另一个未知数的值：求另一个未知数的值 (5)写出解写出解1知识小结知识小结2易错小结易错小结解方程组：解方程组：3516215.xyxyxyxy （）（），（）（）解：解：令令xya，xyb，则原方程组可化为，则原方程组可化为解得解得 所以所以xy7，xy1，将它们组成，将它们组成新方程组，即新方程组，即 解得解得所以原方程组的解是所以原方程组的解是3516215.abab ，71.ab ，71.xyxy ，43.xy ，43.xy ，本题用本题用换元法换元法解方程组，容易犯偷换概念的错解方程组，容易犯偷换概念的错误，误认为误，误认为a和和b的值就是原方程组的解的值就是原方程组的解易错点：易错点：误将换元的解当作原方程组的解误将换元的解当作原方程组的解(换元法换元法)
