1、 专题 31 解三角形中的要素专项训练 1、（1）ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2,6,60cbB，则C _ （2）ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2,6,30cbC，则B _ 解、（1）由已知, ,B b c求C可联想到使用正弦定理、 sin sin sinsin bccB C BCb 代入可解得、 1 sin 2 C 。由cb可得、60CB，所以30C 答案、30C （2）由已知, ,C b c求B可联想到使用正弦定理、 sin sin sinsin bcbC B BCc 代入可解得、 3 sin 2 B ，则60B 或120B
2、 ，由cb可得、CB，所以60B 和120B 均 满足条件 答案、60B 或120B 2、在ABC中，2,60BCB，若ABC的面积等于 3 2 ，则AC边长为_ 解、 1133 sin2 2222 ABC SAB BCBAB 1AB 222 1 2cos142 23 2 ACABBCAB BCB 3AC 答案、3 3、已知, ,a b c分别为ABC三个内角, ,A B C的对边，且有cos3 sin0aCaCbc （1）求A （2）若2a ，且ABC的面积为3，求, b c （1）解、cos3 sin0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sin
3、sinsinsin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC A C B D 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 66 A 或 5 66 A （舍） 3 A （2）解、 1 sin34 2 ABC SbcAbc 22222 2cos4abcbcAbcbc 2222 48 44 bcbcbc bcbc 可解得 2 2 b c 4、如图，在ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABADABBD BCBD，则sinC的值为 _ 解、由23ABBD可设2BDk则3ABk 3 ,4ADk BCk 在ADB中， 22 2 222
4、 323 3 cos 232 32 kkk ADBDAB ADB AD BDkk 3 coscos 3 BDCADB 6 sin 3 BDC 在BDC中，由正弦定理可得、 sin6 sin sinsin6 BDBCBDBDC C CBDCBC 5、 已知ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C所对边的边长，若ABC的面积为S， 且 2 2 2Sa bc， 则tanC等于_ 解、 2 2222 1 22sin2 2 SabcabCabcab 而 222 2coscababC 222 2cosabcabC代入可得、 sin22cossin22cosabCababCCC 22 4 sin
5、sin22cos 5 3sincos1 cos 5 C CC CC C 4 tan 3 C 答案、 4 tan 3 C 6 、 在ABC 中 ， 内 角, ,A B C所 对 的 边 分 别 为, ,a b c ， 已 知ABC的 面 积 为3 15 ， 1 2,cos, 4 bcA 则a的值为 . 解、已知cosA求a可以联想到余弦定理，但要解出, b c的值，所以寻找解出, b c的条件， 1 sin3 15 2 ABC SbcA，而 2 15 sin1cos 4 AA代入可得24bc ，再由2bc可得 2 222 2cos22cos64abcbcAbcbcbcA，所以8a 答案、8 7、
6、 设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c， 若sin3 cos0bAaB， 且 2 bac， 则 ac b 的值为（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4 解、由sin3 cos0bAaB可得、sinsin3sincos0BAAB，从而tan3B ，解得 3 B ， 从 2 bac可 联 想 到 余 弦 定 理 、 22222 2cosbacacBacac， 所 以 有 2 22 0acacacac，从而ac再由 2 bac可得abc，所以 ac b 的值为2 答案、C 8、设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c，且 22 , 6 ba
7、bc A ，则C （ ） A. 6 B. 4 C. 3 4 D. 4 或 3 4 解、由 22 babc可得、 22 abbc， 222 2cosabcbcA 222 2cosbbcbcbcA 2 3 1cbc 3 1cb 代入到 22 babc 可得、 222 3 1abb 42 33 1 23 22 abbb 3 1 : :1: 3 1 2 a b c 2 2 222 3 1 13 1 2 2 cos 223 1 2 2 abc C ab 4 C 9、已知ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的 2 倍，则最小内角的余弦值是 （ ） A. 3 4 B. 5 6 C. 7 1
8、0 D. 2 3 解、设abc，则1,1axbx cx 2CA sinsin2 2cos sinsin cCA A aAA 222222 2 2 cbcabca abcbc 代入1,1axbx cx可得、 22 2 111 11 xxxx xx x ，解得、5x 4,5,6abc 222 3 cos 24 bca A bc 答案、A 10、 在ABC中，D为边BC上一点， 1 ,120 ,2 2 BDCDADBAD， 若A D C的面积为33， 则BAC_ 解、 1 sin33 2 ADC SAD DCADC 2 33 231 2 sin 3 DC 1 31 2 BDDC 2 2222 2co
9、s22312 2 231 cos 3 ACADDCAD DCADC 6 42 3 631AC 同理 222 2cosABADDBAD DBADB A BC D 2 2 2 2312 231 cos 3 6 6AB 2 2 2226631331 1 cos 22 26631 ABACBC BAC AB AC 60BAC 答案、60BAC 1 11 1、设、设ABC的内角的内角, ,A B C所所对边的长分别为对边的长分别为, ,a b c，且，且1,2 4 ABC aBS ，则，则sinA（ ） A. A. 2 10 B. B. 2 50 C. C. 82 82 D. D. 1 10 答案、A
10、解析、 1 sin24 2 2 ABC SacBc 222 2cosbacacB代入可得、 2 2 1 322 1 4 225 2 b 5b 2 sinsin sinsin10 aba AB ABb 1 12 2、设、设ABC的内角的内角, ,A B C所对边的长分别为所对边的长分别为, ,a b c，且，且3,1,2bcAB，则，则a的值为（的值为（ ） A. A. 2 B. B. 2 2 C. C. 3 D. D. 2 3 答案、D 解析、2AB sinsin22sincosABBB 2 cosabB 222 cos 2 acb B ac 2222 1 9 26 22 acba aba a
11、ca 22 38aa 2 2242 3aa 1 13 3、 在、 在ABC中，中，D为为BC边上一点，边上一点，2,2,45DCBD ADADC， 若， 若2ACAB， 则， 则BD （ ） A. A. 23 B. B. 4 C. C. 25 D. D. 35 答案、C 解析、设BDx，则2CDx，由余弦定理可得、 222 2cos135ABADBDADBD 222 2cos45ACADCDADCD，代入可得、 2 2 2 2 22 244 ABxx ACxx 2ACAB 2 2 122 2244 xx xx 解得、25x 1414、在在ABC中中，4,5,6abc，则则 sin2 sin A
12、 C _ 答案、1 解析、 222 sin2sin253616 4 2cos221 sinsin22 5 66 AAbcaa A CCbcc 1 15 5、设、设ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，若若 1 3,sin, 26 aBC ，则则b_ 答案、1 解析、由 1 sin 2 B 及 6 C 可得、 6 B ，从而 2 3 A ，由正弦定理可得、 sinsin ab AB ， 解得1b 1 16 6、若锐角、若锐角ABC的面积为的面积为10 3，且且5,8ABAC，则则BC等于等于_ 答案、7 解 析 、 由 1 sin 2 ABC SAB ACA
13、， 可 得 、 3 sin 2 A ， 即 3 A ， 再 由 余 弦 定 理 可 计 算 22 2cos7BCACABAB ACA 1 17 7、 在、 在ABC中中， 内角内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c， 已知已知ABC的面积为的面积为3 15， 1 2,cos 4 bcA ， 则则a的值为的值为_ 答案、8 解析、 2 115 cossin1cos 44 AAA 1 sin3 1524 2 ABC SbcAbc 由余弦定理可得、 2 222 2cos21cos64abcbcAbcbcA 8a 1 18 8、在、在ABC中中，内角内角, ,A B C的对边分别
14、为的对边分别为, ,a b c，已知已知 1 4 bca，2sin3sinBC，则则cosA的的 值为值为_ 答案、 1 4 解析、由2sin3sinBC可得23bc代入到 1 4 bca即可得到: :4:3:2a b c ，不妨设 4 ,3 ,2ak bk ck，则 222222 94161 cos 22 324 bcakkk A bckk 1 19 9、在、在ABC中中，已知已知tanAB ACA，当当 6 A 时时，ABC的面积为的面积为_ 答案、 1 6 解析、 sin tancos cos A AB ACAbcA A 2 sin cos A bc A 2 2 2 11 sin11 s
15、intan 22 cos26 ABC A SbcAA A 2 20 0、在、在ABC中中，内角内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，且且ac，已知已知 1 2,cos,3 3 BA BCBb，求求、 （1 1）, a c的值的值 （2 2）cos BC的值的值 解析、由2BA BC可得、cos2acB 6ac 由余弦定理可得、 2 2 21cosbacacB即 2 9165acac 6 5 ac ac ac 解得、 3 2 a c （2）由 1 cos 3 B 可得、 2 2 2 sin1cos 3 BB 由正弦定理可知、 sin4 2 sin sinsin9 bccB
16、 C BCb cb C为锐角 2 7 cos1sin 9 CC 23 coscoscossinsin 27 BCBCBC 2 21 1、设、设ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，向量向量 , 3mab与与cos ,sinnAB平行平行 （1 1）求）求A （2 2）若）若7,2ab，求求ABC的面积的面积 解析、 （1）m n 3 cossin3sinBcossinsinbAaBAAB 3cossintan3AAA 3 A （2）由余弦定理可得、 222 2cosabcbcA即 2 742cc 2 2303ccc 1133 3 sin2 3 2222 A
17、BC SbcA 2 22 2、在、在ABC中中，D是是BC上的点上的点，AD平分平分BAC，ABD的面积是的面积是ADC面积的面积的 2 2 倍倍 （1 1）求）求 sin sin B C （2 2）若）若 2 1, 2 ADDC，求求,BD AC的长的长 解析、 （1） 11 sin,sin 22 ABDADC SAB ADBAD SAC ADCAD 2, ABDADC SSBADCAD 2 , ABD ADC SAB SAC sin1 sin2 BAC CAB （2）2 ABD ADC SBD SDC 22BDDC 在,ABDADC中，由余弦定理可得、 222 222 2cos 2cos
18、ABADBDAD BDADB ACADCDAD CDADC 22222 2326ABACADBDDC 再由2ABAC可解得、1AC 2 23 3、在、在ABC中中， 3 ,6,3 2 4 AABAC ，点点D在在BC边上边上，ADBD，求求AD的长的长 解析、 222 2cosBCABACAB ACA A BC D 2 36182 6 3 290 2 3 10BC 由正弦定理可得、 sin10 sin sinsin10 ACBCACA B BABC 3 10 cos 10 B 由ADBD可知ABD为等腰三角形 2ADBB 由正弦定理可得、 sinsinsin2 ADABAB BBDAB sinsin10 sin22sincos2cos ABABAB ADBB BBBB 2 24 4、在、在ABC中中，已知已知2,3, 3 ABACA （1 1）求）求BC的长的长 （2 2）求）求sin2C的值的值 解析、 （1）由余弦定理可得、 222 2cosBCABACAB ACA 492 2 3 cos7 3 7BC （2）由余弦定理可得、 222 9742 7 cos 272 3 7 ACBCAB C AC BC 2 21 sin1cos 7 CC 21 2 74 3 sin22sincos2 777 CCC
