1、第二十一章第二十一章 二次函数与反比例函数二次函数与反比例函数21.5 21.5 反比例函数反比例函数第第4 4课时课时 反比例函数图像与反比例函数图像与 性质的常见应用性质的常见应用1题型题型 图表信息图表信息题题1 1数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染 了无法辨认的文字了无法辨认的文字已知：直线已知：直线 y=kx+b(k 0)经过点经过点 M（b,-b）,求证：点求证：点M一定在双曲线一定在双曲线 上上.2byx(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题根据已知和
2、结论中现有的信息，你能否求出题中直线对应的函数表达式？若能，请写出求解中直线对应的函数表达式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由；过程；若不能，请说明理由；(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，添加一个适当的条件，把原题补充完整，你添添加一个适当的条件，把原题补充完整，你添 加的这个条件是什么？加的这个条件是什么？解：解：(1)能由结论中的点能由结论中的点M一定在双曲线一定在双曲线 上，得上，得 ，则，则b2，M(2，2)22k2.解得解得k2，直线对应的函数表达式为直线对应的函数表达式为y2x2.2byx 2bbb (2)答案不唯一，如：
3、直线答案不唯一，如：直线 ykxb经过点经过点 N(1，4)等等等等 把点把点M的坐标代入双曲线对应的函数表达式中得到的坐标代入双曲线对应的函数表达式中得到关于关于b的方程，解该方程即可求出的方程，解该方程即可求出b的值，从而求得的值，从而求得M的坐标，代入直线对应的函数表达式即可求得的坐标，代入直线对应的函数表达式即可求得k的的值，从而求得一次函数的表达式；值，从而求得一次函数的表达式；根据根据(1)中所求的中所求的函数表达式可写出图象上另一个点的坐标，添加的函数表达式可写出图象上另一个点的坐标，添加的条件不唯一条件不唯一2题型题型反比例函数与一次函数综合题（数形结合思想）反比例函数与一次函
4、数综合题（数形结合思想）2.(中考中考资阳资阳)如图，一次函数如图，一次函数ykxb(k0)的图象过点的图象过点 P ，且与反比例函数，且与反比例函数y (m0)的图象相交于的图象相交于 点点A(2，1)和点和点B.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求点求点B的坐标，并根据图象回答：的坐标，并根据图象回答：当当x在什么范围内取值时，一次函在什么范围内取值时，一次函 数的函数值小于反比例函数的函数的函数值小于反比例函数的函 数值？数值？3(,0)2 mx解解：(1)一次函数一次函数ykxb(k0)的图象过点的图象过点 和和 A(2,1)，一次函数的表达式
5、为一次函数的表达式为y2x3.反比例函数反比例函数 的图象过点的图象过点A(2，1)，.解得解得 m2.反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为3P(,0)2 32,0,23.21.kkbbkb 解解得得，y(0)mmx12m 2y.x (2)联立一次函数和反比例函数的表达式，得方程组联立一次函数和反比例函数的表达式，得方程组 由图象可知，当由图象可知，当2x0或或x 时，一次函数时，一次函数 的函数值小于反比例函数的函数值的函数值小于反比例函数的函数值1212123,2,221.4.yxxxyyyx 解解得得，或或1B(,-4).2123题型题型函数与几何综合题函数与几何综合题3(2015济
6、宁济宁)在矩形在矩形AOBC中，中，OB6，OA4，分别以分别以OB，OA所在直线为所在直线为x轴和轴和y轴，建立如图所轴，建立如图所示的平面直角坐标系，示的平面直角坐标系，F是边是边BC上一点上一点(不与不与B、C两点重两点重合合)，过点，过点F的反比例函数的反比例函数y(k0)的图象与的图象与AC边交于点边交于点E.kx(1)请用含请用含k的代数式表示点的代数式表示点E，F的坐标；的坐标；(2)若若OEF的面积为的面积为9，求反比例函数的表达式，求反比例函数的表达式解：解：(1)(2)E，F两点坐标分别为两点坐标分别为 SEOFS矩形矩形AOBCSAOESBOFSECF24 SECF24k
7、E(,4),F(6,);46kkE(,4),F(6,),46kk1111EC CF(6)(4).2246ECFSkk 12k12k111(6)(4).246kkOEF的面积为的面积为9，24k 9.整理得，整理得，k2144，k12.k0，k12.所以反比例函数表达式为所以反比例函数表达式为111(6)(4)246kk12.yx 4题型题型一次函数、反比例函数、三角形面积综合题一次函数、反比例函数、三角形面积综合题4 4(20152015山西山西)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，一中，一次函数次函数y3x2的图象与的图象与y轴交于点轴交于点A，与反比例函，与反比例函数数y
8、 (k0)在第一象限内的图象交于点在第一象限内的图象交于点B，且点，且点B的横坐标为的横坐标为1.过点过点A作作ACy轴交反比例函数轴交反比例函数y (k0)的图象于点的图象于点C，连接，连接BC.求：求：(1)反比例函数的表达式反比例函数的表达式(2)ABC的面积的面积kxkx解：解：(1)一次函数一次函数y3x2的图象过点的图象过点B，且点，且点B的的 横坐横坐 标为标为1，y3125.点点B的坐标为的坐标为(1，5)点点B在反比例函数在反比例函数y 的图象上，的图象上，k155.反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y .kx5x(2)一次函数一次函数y3x2的图象与的图象与y轴交于点
9、轴交于点A，当当x0时，时，y2，点点A的坐标为的坐标为(0，2)ACy轴，轴，点点C的纵坐标与点的纵坐标与点A的纵坐标的纵坐标相同，相同，是是2.点点C在反比例函数在反比例函数y 的图象上，的图象上，当当y2时，时，2 ，解得，解得x .AC .过过B作作BDAC于于D，则，则BDyByC523，SABC ACBD 3 .525x5x521252121545题型题型等面积的综合题等面积的综合题5（20152015 甘南州甘南州）如图，在直角坐标系中，矩形）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点的顶点O与坐标原点重合，与坐标原点重合，A，C分别在坐标分别在坐标 轴上，点轴上，点B的坐标为的
10、坐标为(4，2)，直线，直线 交交AB，BC于点于点M，N，反比例函数，反比例函数y 的图象经过点的图象经过点M，N.(1)求反比例函数的表达式；求反比例函数的表达式；(2)若点若点P在在x轴上，且轴上，且OPM的面积的面积 与四边形与四边形BMON的面积相等，求点的面积相等，求点 P的坐标的坐标132yx kx解：解：(1)B(4，2)，四边形，四边形OABC是矩形，是矩形，OABC2.将将y2代入代入y x3 得：得：x2，M(2，2)把把M的坐标代入的坐标代入y 得：得：k4，反比例函数的表达式是反比例函数的表达式是y .12kx4x(2)把把x4代入代入y 得：得：y1，即，即CN1，
11、S四边形四边形BMONS矩形矩形OABCSAOMSCON42 22 414，由题意得：由题意得：OPAO4，AO2，OP4.点点P的坐标是的坐标是(4，0)或或(4，0)4x1212126题型题型反比例函数与轴对称的综合题反比例函数与轴对称的综合题6(20152015南通南通)如如图，图，直线直线ymxn与双曲线与双曲线 y 相交于相交于A(1，2)，B(2，b)两点，与两点，与y轴相交于点轴相交于点C.(1)求求m，n的值；的值；(2)若点若点D与点与点C关于关于x轴对称，轴对称，求求ABD的面积的面积kx解：解：(1)把把x1，y2；x2，yb代入代入y ，解得：解得：k2，b1；把把x1
12、，y2；x2，y1代入代入ymxn，解得：，解得：m1，n1；(2)直线直线yx1与与y轴交点轴交点C的坐标为的坐标为(0，1)，所以，所以所以点所以点D的坐标为的坐标为(0，-1)，又点，又点B的坐标为的坐标为(2，-1)，所以所以ABD的面积的面积 (11)(12)3.kx127题型题型反比例函数与几何最小值的综合题反比例函数与几何最小值的综合题7如图，反比例函数如图，反比例函数y (k0，x0)的图象与直线的图象与直线y3x相交于点相交于点C，过直线上点，过直线上点A(1，3)作作ABx轴于轴于点点B，交反比例函数图象于点，交反比例函数图象于点D，且，且AB3BD.(1)求求k的值；的值
13、；(2)求点求点C的坐标；的坐标；(3)在在y轴上确定一点轴上确定一点M，使点，使点M到到C，D两点距离之和两点距离之和dMCMD最小，求点最小，求点M的坐标的坐标kx解：解：(1)A(1，3)，OB1，AB3.AB3BD.BD1，D(1，1)k111.(2)由由(1)知反比例函数的表达式为知反比例函数的表达式为y ，解方程组解方程组 点点C的坐标为的坐标为 .1x（，）3,33331.33yxxxyxyy ，得得或或（舍舍去去）(3)作点作点D关于关于y轴的对称点轴的对称点E，则，则E(1，1)，连接，连接CE交交y轴于点轴于点M，点，点M即为所求即为所求设直线设直线CE的函数表达式为的函数表达式为ymxb，则，则直线直线CE的函数表达式为的函数表达式为y(2 3)x2 2.当当x0时，时，y2 2，点点M的坐标为的坐标为(0，2 2)33333 ，解解得得 3x333
