1、1.3 正方形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 正方形的性质 九年级数学上（BS）教学课件学习目标1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点）导入新课导入新课观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.情景引入你还能举出其他的例子吗？讲授新课讲授新课 矩 形问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？问题引入正方形的性质正方形问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？正方形邻边相等矩形正方形 菱
2、形一个角是直角正方形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.归纳总结已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明：正方形ABCD是矩形,AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.思考 请同学们拿出准
3、备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?对称性：.对称轴：.轴对称图形4条ABCD矩形菱形正方形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结 例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的 等腰直角三角形.证明:
4、四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.典例精析例2：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.ABDFE(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF,CBE=CDF
5、.DCF=90,CDF+F=90.CBE+F=90,BMF=90.BEDF.CM D A B C E例3 如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，求证：EADEDA15.证明：BEC是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30，ABE，DCE是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=15.【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE
6、9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.易错提醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD（1）求证：APBDPC；解：四边形ABCD是正方形，ABC=DCB=90PB=PC，PBC=PCBABC-PBC=DCB-PCB，即ABP=DCP
7、又AB=DC，PB=PC，APBDPC证明：四边形ABCD是正方形，BAC=DAC=45APBDPC，AP=DP又AP=AB=AD，DP=AP=ADAPD是等边三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC（2）求证：BAP=2PAC 例4 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E，PFDC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解:连接PC，AC.又PEBC，PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90,AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.AP=PC.AP=EF.在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂
8、直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.归纳1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ()A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等BD练一练2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积解：四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD ，面积为AD28.222 2,ADAOOD8 22.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等 A当堂练习当堂练习3在正方形ABC中,ADB=,DAC=,BOC=.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是.ADBCOADBCOE459022.5第3题图第4题图45课堂小结课堂小结1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
