1、柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式-二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定州市实验中学定州市实验中学 郭华郭华选修选修4-5 不等式选讲不等式选讲教学目标：教学目标：认识二维柯西不等式的结构特点，认识二维柯西不等式的结构特点，会应用二维柯西不等式解决相关问题。会应用二维柯西不等式解决相关问题。教学重、难点：教学重、难点：重点：二维柯西不等式结构特点。重点：二维柯西不等式结构特点。难点：能够运用二维柯西不等式证明不等式，难点：能够运用二维柯西不等式证明不等式，求解最值。求解最值。情感态度及价值观：情感态度及价值观：培养学生发现公式的简洁、对称美培养学生发现公式的简洁、对称美,加深学
2、生对数学的学习兴趣。加深学生对数学的学习兴趣。柯西柯西(A.-(A.-L.CauchyL.Cauchy,17891857),17891857),法国法国数学数学家家、物理学家物理学家、天文学家天文学家。他是。他是数数学史上是仅次学史上是仅次于欧拉的多产数学家于欧拉的多产数学家,共出版了共出版了7 7部著作和部著作和800800多多篇篇论文论文。问题问题1 1、设、设 与与 是平面内的两个向量，那是平面内的两个向量，那么么？问题引入问题引入问题问题2 2、根据数量积定义，、根据数量积定义，怎样计算？它怎样计算？它与与 的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？问题问题3 3、在平面直角坐标
3、系、在平面直角坐标系xoy中，(,),(,),a bc d 那么不等式那么不等式 又可以怎么表示？又可以怎么表示？因为因为 ，所所以以 .又因为又因为 ，所以所以 .当且仅当当且仅当 与与 共线时，等号成立共线时，等号成立.cos ，cos ，cos1 ，问题问题22222(,),(,),a bc dabcd 向量则,acbd 2222acbdabcd不等式两边平方得：问题问题322222()()()acbdabcdadbc 当且仅当 与 共线时，即时等号成立。新课讲解新课讲解二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理：若定理：若a a、b b、c c、d d 为实数，则为实数，则22222
4、)()()abcdacbd(adbc当且仅当时，等号成立。练一练练一练2()acbd2243(1)(2)xx1,()()a b c dabcd、已知是非负实数，2 4132xx、2223(23)()()xyxy、222322221()abcdacbd、22222()abcdacbd、22223()abcdacbd、判断正误判断正误例题分析例题分析例例1、11,1,4a bR a bab 已知求证：证明：证明：,a bR根据柯西不等式，得21111()()()4abababab111,4abab 又11112abababba当且仅当时，即时，等号成立。针对训练一、针对训练一、11,2,2x yR
5、xyxy已知，求证：。211()()11()4xyxyxyxy证明：112,2xyxy又11,12xyyxxyxy当且仅当时 即时等号成立例例2、2221,xyxy已知求的最小值。22222(12)()(2)xyxy解：2221(2)5xyxy22121,5xyxy 又12151225xxyyxy当且仅当时，即时，等号成立。针对训练二、针对训练二、22236,211xyxy已知求证：2214:2(23)()23116611xyxy证明223 11212311,324 1123611xxyxyy当且仅当时 即时，等号成立。例例3、41 3 2yxx 求函数的最大值。1,2,0y 解：函数的定义域
6、为且2222413 243(1)(2)5 1=5yxxxx 414231,25xxx 当且仅当时 即时，等号成立max5y针对训练三、针对训练三、5110 2yxx 求函数的最大值。51102=512 5yxxxx 提示：1,5,0y 解：函数的定义域为且222251102512 552(1)(5)274=6 3yxxxxxx 1275521,327xxx当且仅当时 即时函数取最大值6一、柯西不等式一、柯西不等式结构特结构特点：和点：和、积互化；、积互化；等号成立的条件：等号成立的条件：；变式变式二、应用二、应用2222acbdabcd证明不等式；证明不等式；求函数的最值求函数的最值.22222()()()acbdabcdadbc课堂小结课堂小结提升检测提升检测3 3、已知、已知a a、b b、c c、d d为实数，求证为实数，求证:222222()()abcdacbd11,()(2)2a bRabba1、已知求的最小值。114,abcabbcac2、已知求证：。教材教材P36 习题习题3.1 第第1题，第题，第3题，第题，第6题，第题，第7题题课后作业课后作业
