1、理科数学答案第 1 页（共 6 页） 2020 年河南省六市高三第一次联考 理科数学试题 参考答案 一、选择题 1-5CADDC6-10DBBDB11-12BC 二、填空题 13.1014.), 1 ( 15. 13516.), 1 ( 1 e e 三、解答题： 17、解： （1）因为D在边BC上，所以coscosADBADC ， 在ADB和ADC中由余弦定理，得 222222 0 22 ADBDABADDCAC ADBDADDC ，.3 分 因为 2 13AB ，4AC ，3AD ，BDDC， 所以 22 9529160BDBD ，所以 2 25BD ，5BD . 所以边BC的长为 106
2、分 （2）由（1）知ADC为直角三角形，所以 1 4 36 2 ADC S ， 212 ABCADC SS 8 分 因为CE是BCA的角平分线， 所以 1 sin 2 1 sin 2 ACE BCE ACCEACE S S BCCEBCE 42 105 AC BC 10 分 所以 2 5 ABCBCEACEBCEBCE SSSSS 7 12 5 BCE S，所以 60 7 BCE S. 即BCE的面积为 60 7 12 分 18. 解： （1） 分所以 又因为 所以 的中点，是又因为 是等边三角形，所以 是菱形，且因为四边形 233 3, 6 60BADABCD BO AOAB ADBO AD
3、O ABD 理科数学答案第 2 页（共 6 页） 分所以 平面所以 又所以 是菱形，又因为 所以 分平面所以 又 所以 ，又 5 , / 3 , 43, 4 222 PEAC POEAC OOEPOOEAC BDOEABCD ACPO ABCDPO OOBADADPO OBPO PBPOBOPBPO （2）由题意结合菱形的性质易知OPOA，OPOB，OAOB， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则： 3 3 0,0,4 ,0,3 3,0 ,0 0,0,0 ,3,0 2 2 PBE ，)0 , 0 , 3- (D 设平面POE的一个法向量为 111 ,mx y z , 则
4、： 1 11 40 33 30 22 m OPz m OExy ， 据此可得平面POE的一个法向量为3, 1,0m ，.8 分 设平面 PBD 的一个法向量为 222 ,nxy z 则: 0333 043 22 22 yxBDn zxPDn 据此可得平面 PBD 的一个法向量为 )33 , 4 , 34(n .10 分 91 918 912 16 ,cos nm nm nm 平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值 91 918 12 分 19.解： （1）由题知），（， a c c a c e1P1 在椭圆上 所以1 1 , 1 1 222 22 2 2 2 2 bba cb b
5、a c a 故2, 1ab 所以椭圆 C 的方程为1 2 2 2 y x .4 分 理科数学答案第 3 页（共 6 页） （2）由题意得，P 不在x轴上，不妨设),(),(0),( 2211 yxByxAnnmP， ， 由, 11 PFAF 得), 1(),1( 11 nmyx， 所以nymx 11 , 1， 又由1 2 2 1 2 1 y x 得1)( 2 1 2 2 n m ）（ 6 分 又1 2 2 2 n m ，联立消去n得01)22()23( 2 mm 即0) 1(1)23(m， 由题意知0，01，所以 m23 1 8 分 同理可得 m23 1 10 分 所以 2 49 6 23 1
6、 23 1 mmm 故当0m时，取最小值 3 2 . 12 分 20 解： （1）由题可知02) 1()( 2 xx aeexxf有两个不相等的实根 即：021 x aex有两个不相等实根1 分 令)( 1 2xh e x a x Rx e x e exe xh xx xx , )( ) 1( )( 2 0)(), 0(; 0)(),0 ,( xhxxhx 故上单减上单增，在（在), 0)0 ,()(xh3 分 1)0()( max hxh ; 0)() 1,(, 0) 1(xhxh时，又0)(), 1(xhx时， ) 2 1 , 0(),1 , 0(2aa即.5 分 此题还可以利用数形结合转
7、化为 1 (1) 2 x yxye a 与相交问题， 理科数学答案第 4 页（共 6 页） （2）方法一：由（1）知， 21,x x是方程a e x x 2 1 的两根， 21 01xx，则00 1 221 x xxx 因为)(xh在），（0单减，)()(),()(),()( 1 112 1 2 x hxhxhxh x hxh又 即 11 1 1 1 1 xx e x e x ，两边取对数，并整理得： 0)1 ()1ln() 1ln( 1 1 1 x x x 对0 , 1 1 x恒成立8 分 设)0 , 1(,)1 ()1ln() 1ln()(xx x xxF )(1( )1)(1 ( )1
8、( 1 1 1 )( xx xx x x xF 9 分 当1时，0)( x F对）0 , 1(x恒成立， )(xF在）0 , 1(上单增，故0)0()( FxF恒成立，符合题意；10 分 当），（ 10时，），（011 ， )0 , 1(x时0)( x F )(xF在)0 , 1(上单减，0)0()( FxF，不符合题意. 综上，1.12 分 方法二：设 21 xx、是021 x aex的两根，且 21 xx ，则0 21 xx 即1 1 1 0 21 21 21 2 1 2 1 2 1 te x x aex aex xx x x 1 1ln 1 1ln ln ) 1(1 ln 2 1 21
9、21 t tt x t tt tx xtx txx ) 100 1 1ln 1 1ln ln0 21 t t tt t tt txx恒成立（即 即恒成立0) 1(ln1lnttttt8 分 令) 1(ln1ln)(ttttttg 理科数学答案第 5 页（共 6 页） 22 1 )(, 1 ln)( t t tt tg t t ttg .9 分 当1时，0)( tg，)( tg单减，故0) 1 ()( gtg 故上为增函数在) 1 , 0()(tg，0) 1 ()(gtg10 分 当10时，0)(),1 ,(; 0)(), 0( tgttgt 上为增函数在) 1 ,()( tg，故上为减函数在故
10、) 1 ,()(, 0) 1 ()( tggtg 舍去， 0) 1 ()(gtg ， 1.12 分 21.解： （1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp . 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 k q，呈阳性反应的概率为 1 k q. 依题意可知 11 1X kk ，所以 X 的分布列为： .5 分 （2）方案中. 结合（1）知每个人的平均化验次数为： E(X)= 111 (1) (1)1 kkk qqq kkk .7 分 所以当 k=2 时，E(X)= 2 1 0.91=0.69 2 ， 此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次，.8 分 k=3 时，E(X)= 3
11、1 0.910.6043 3 ， 此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次，.9 分 k=4 时，E(X)= 4 1 0.91=0.5939 4 ， 此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次，.10 分 即 k=2 时化验次数最多，k=3 时次数居中，k=4 时化验次数最少 而采用方案则需化验 1000 次， 故在这三种分组情况下，相比方案，当 k=4 时化验次数最多可以平均减少 1000-594=406 次.12 分 X k 1 k 1 1 P k q1 k q 理科数学答案第 6 页（共 6 页） 22解:（1）由 ty tx 3 3 31 消t得，03 yx即xy 3 3
12、 2 分 2 C是过原点且倾斜角为 6 的直线 2 C的极坐标方程为)( 6 R 5 分 （2）由 )sin1 ( 6 a 得， 6 2 a ) 6 , 2 ( a A 由 )sin1 ( 6 7 a 得 6 7 2 3 a ) 6 7 , 2 3 ( a B .2 2 3 2 a aa AB10 分 23. 解：(1)当1a时， 2, 12 21, 3 1, 12 )( xx x xx xf2 分 当1x时，由7)(xf得712 x，解得3x； 当21x时，7)(xf无解； 当2x时，由7)(xf得712x，解得4x， 所以7)(xf的解集为 , 43,.5 分 (2)若axxxf24)(的解集包含2 , 0 等价于242xxaxax在2 , 0x上恒成立， 因为2 , 0x时，224xx 所以22axax在2 , 0x上恒成立6 分 由于2 , 0x 若0a即0a时，22|2|aaxaxaxax恒成立；7 分 若2a即2a时，22|2|aaxaxaxax恒成立；8 分 若20a即02a时，2ax，2|2|axax恒成立. 9 分 综上所述，满足条件的实数a的取值范围是R. 10 分
