1、【考纲要求考纲要求】1 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线 向量的概念向量的概念.2 2、掌握向量的加法和减法、掌握向量的加法和减法.3 3、掌握实数与向量的积，理解两个平面向量共线的充、掌握实数与向量的积，理解两个平面向量共线的充 要条件要条件.4 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标概、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标概 念，掌握平面向量的坐标运算念，掌握平面向量的坐标运算.平面向量在三角形中的应用平面向量在三角形中的应用【教材重点、难点教材重点、难点】重点：向量的加（减）法与共线向量的充要条件重点：向量的加（
2、减）法与共线向量的充要条件难点：平面向量基本定理的灵活应用难点：平面向量基本定理的灵活应用1().2OPOAOB 课本基础知识的延伸：课本基础知识的延伸：1.1.线段中点的向量表达式：若线段中点的向量表达式：若P为线段为线段AB的中点，则的中点，则(1).OPOAOB 其中2.2.若点若点P，A，B共线，则共线，则12,e e 1 1220ee 120.4.4.若若不共线，不共线，则，则0.GAGBGC 3.3.若若G为为ABC的重心，则的重心，则反之亦然反之亦然.ABC|,OAOBOC 0,NANBNC PA PBPB PCPC PA ABC例例1.（09宁夏、海南）宁夏、海南）已知已知O，
3、N，P在在所在平面内，且所在平面内，且，则点，则点O，N，P依次是依次是的（的（）A A重心重心 外心外心 垂心垂心 B B重心重心 外心外心 内心内心 C C外心外心 重心重心 垂心垂心 D D外心外心 重心重心 内心内心 C,()0PA PBPB PCPAPCPB 0,PB ACPBAC|OAOBOC ABC解：由解：由知，知，O为为的外心；的外心；,PABC PCAB同理同理ABC 为为的内心的内心0NANBNC ABC知，知，N为为的重心；的重心；由由典型例题典型例题O222222OABCOBCAOCAB O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式满足关系式
4、，则，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（）变式训练：变式训练：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（）O222222OABCOBCAOCA
5、B O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式满足关系式，则，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（）OCAB2222OABCOBCA 解：由解：由2222OAOCOBOBOAOC 即：即：()0OCOBOAOC AB 化简有：化简有：,OABC OBAC同理有：同理有：OABC为为的垂心的垂心.B变式训练：变式训练：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心解：
6、由已知解：由已知()|ABACAPABAC 所以动点所以动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的内心的内心.A变式训练：变式训练：ABCDEFP()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，动点所在平面内的一定点，动点P满足满足，A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（）|sin|sinABBACC 解：由正弦定理知：解：由正弦定理知：()|sin|sinABACOP OAABBACC 又又()|sinAPAB ACABB 所以所以故点故点P轨迹通过轨迹通过ABC的重心的
7、重心D变式训练：变式训练：ABCDPABC)(OCOBOAmOHm的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为，两条边上的高的交点为H，则实数，则实数 OCOBOAOH解法一：解法一：特例法特例法ABC为一个直角三角形，则为一个直角三角形，则O点斜边的中点，点斜边的中点，设设顶点，这时有顶点，这时有H点为直角点为直角，1.m 高考真题再现,DAAB CHABAHDCOHOAAHOAOBOC 解法二：解法二：连连BO延长交延长交 O于于D，连，连AD、CD.CHDA同理，同理，AHDC，DCDOOCOBOC 又又OHABDC 四边形四边形AHCD为平行四边形为平行四边形CAHBOAB
8、COGH三角形的欧拉线：三角形的欧拉线：外心外心O、重心、重心G、垂心、垂心H三点共线且三点共线且OG=GH123()3OGOHm OAOBOCmOG 5121,3PACABCSS512PBCABCPACPABABCSSSSSACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理ACABAP4131ABCPBCSS例例2.设设P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则14PABABCSS典型例题典型例题ACABAP41311113()3434APABACABAC 11313344PABABDABCABCSSSS44141313333343PACPADABDABCABCS
9、SSSS512PBCABCPACPABABCSSSSS法二：法二：构造三角形的重心构造三角形的重心34ADAC 取点取点D使得使得则点则点P为为ABD的重心的重心，连接，连接BD,P DABCACABAP4131ABCPBCSS例例2.设设P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则512变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之比为ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPA
10、BP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之比为3:1:2解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理1132APABAC 得得 032PCPBPA由由1,3PACABCSS12PABABCSS111(1)326PBCABCABCSSS111:3:1:2263ABPPBCACPSSS230PAPBPC ACPBCPABP,2.1 已知已知P为为ABC内一点，且满足内一点，且满足，则，则面积之比为面积之比为法二：构造三角形及重心法二：构造三角形及重心2PBPB 3PCPB 0PAPBPC 则则P为的重心为的重心.AB C1,2PABPABSS
11、16PBCPB CSS13PACPACSS令令111:3:1:2263ABPPBCACPSSS013103OAOBOCOAOBOC 解法一：特例法取解法一：特例法取O为为ABC的重心，则的重心，则ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则变式训练：变式训练：ADAEAOADAEABACABAC 0OAOBOC BODEABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2设设O为为ABC内一点，记内一点，记，则则()ABACOBOCOA 1r由题知由题知,CAOABOABCABCSSADAESABSAC法二：法
12、二：过过O分别作分别作、的平行线的平行线OD、OE，交交于于D，交，交于于E，则，则00.OAOBOC ，ABCSBCOCAOABOSSS，引申：引申：设设O为为ABC内一点，内一点，记记=m,则则分别为分别为 2、已知、已知A、B、C是平面上不共线的三点，是平面上不共线的三点，O为平面为平面ABC内内1(1)(1)(12),()3OPOAOBOCR A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心任一点，动点任一点，动点P满足等式满足等式则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（）bACaAB,bnAQamAP,nm113、已知、已知G为为ABC的重心，令的重心，令点点G分别交分别交AB，AC于于P，Q两点，且两点，且，则，则，若，若PQ过过0543OCOBOAC 4、ABC外接圆的圆心为外接圆的圆心为O，且，且，则角，则角,a b c0aOAbOBcOC 1、ABC中三边长分别为O为ABC所在平面内一点，若A 外心 B内心C重心D垂心，则O为ABC的（）课后作业
