1、3.3.4 两条平行直线间的距离第三章直线与方程 已知平面上两点已知平面上两点 ，22122121|()()PPxxyyP1(x1,y1)P2(x2,y2)QPyxol思考：如何计算点到直线的距离呢？思考：如何计算点到直线的距离呢？如图，如图，P P到直线到直线 的距离，就的距离，就是指从点是指从点P P到直线到直线 的的垂线段垂线段PQPQ的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足.ll00:0P xyl AxByC第一探：你能推出，到直线的距离吗？00:()PQBlyyxxA00()0ByyxxAAxByCxyOPQl0AB2200222002,BABCABxyABAACAByxBQBCA
2、xxSyACByR0000,BCByAxBCAxyPSACByAxACByxPR00000000CByAxABBAPSPRRS002222PSPRRSd2200BACByAxRSPSPRdxyOPQlSR的距离吗？到直线，第二探：你能推出0:00CByAxlyxP0AB P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)到直线到直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距离：的距离：2200|BACByAxd答案仍然适用，当A0，B0时，直线l的方程为ByC0，当B0，A0时，直线l的方程为AxC0，点到直线的距离公式对于点到直线的距离公式对于A A0 0或或B B0 0时的直线是时的直线是否
3、仍然适用？否仍然适用？注意：注意：利用点到直线的距离公式利用点到直线的距离公式需要将直线方程化为需要将直线方程化为一般式一般式。P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)到直线到直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距离：的距离：2200|BACByAxd例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离.3y4；解 3y4可化为3y40，x3.解 x3可化为x30，l2l1定义：定义：在一条直线在一条直线上任取一点作另一上任取一点作另一条平行线的垂线，条平行线的垂线，这点与垂足之间的这点与垂足之间的线段长叫做线段长叫做平行线平行线间的距离间的距离。QP结论结论1 1：两条平行直线间的距离
4、是指夹在两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的两条平行直线间的公垂线段公垂线段的长。的长。结论结论2 2：平行线间的距离处处相等。平行线间的距离处处相等。MNyxoMl2:2x-7y-4=0l1:2x-7y+8=0 N1、在、在l2上任取一上任取一点，例如点，例如M(2,0)2、M到到l1的距离的距离等于等于l1与与l2的距离的距离平行直线间的距离转化为点到直线的距离平行直线间的距离转化为点到直线的距离yxoMl2:2x-7y-4=0l1:2x-7y+8=0 N解：取解：取l2与与x轴的交轴的交点点M，则，则M(2,0)点点M到直线到直线l1的距的距离为：离为：535312)7(2|80
5、722|22d 所以平行线所以平行线l1与与l2的距离为的距离为535312Ayxol1:2x-7y-8=0l2:6x-21y-1=0 d例例1 1、已知直线已知直线l l1 1:2x-7y-8=0:2x-7y-8=0与与l l2 2:6x-21y-1=0:6x-21y-1=0试试判断判断l l1 1与与l l2 2平行吗？若平行，求平行吗？若平行，求l l1 1与与l l2 2的距的距离。离。分析：分析：1、判断两线平行应、判断两线平行应分别求出它们的斜率。分别求出它们的斜率。2、在一条直线上选、在一条直线上选择恰当的点，最好选择恰当的点，最好选择坐标为整数的点。择坐标为整数的点。3、利用点
6、到直线的距离公式求解。、利用点到直线的距离公式求解。2212|BACCdyxol1:Ax+By+C1=0dl2:Ax+By+C2=0注意：注意：两条直两条直线中的线中的A、B要要统一。统一。P1、(1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_.将直线3xy30化为6x2y60，(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_.解析 设直线l的方程为2xyc0，得c1，直线l的方程为2xy10.2xy102、(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；解析设所求直线的方程为5x12yC0，解得C32，或C20，故所求直线的方
7、程为5x12y320或5x12y200.(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5，求两直线方程.解析 依题意，两直线的斜率存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.引申探究 利用距离公式求最值1、已知实数x，y满足6x8y10，则 的最小值为_.上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，S|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，2.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离公式是的距离公式是（A,BA,B需统一需统一）2221BAC-Cd+=2200BACByAxd+=1.1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0)到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0（一般式）（一般式）的距离公式是的距离公式是平行直线间的距离转化为点到直线的距离平行直线间的距离转化为点到直线的距离
