1、7-1 概述概述一、应力状态的概念一、应力状态的概念P1P2q说明应力时，必须指明是说明应力时，必须指明是那一点的应力那一点的应力s sMQt t12345说明应力时，还需指明是说明应力时，还需指明是过这过这一点一点哪个方向面上哪个方向面上的应力的应力一点处的应力状态（一点处的应力状态（State of Stress State of Stress）：）：受力构件内受力构件内一点处一点处不同方位不同方位截面上应力的截面上应力的集合集合。B Bs so oscos0p微单元体的取法：微单元体的取法：垂直于垂直于x x轴的面轴的面-横截面横截面垂直于垂直于y y轴的面轴的面-平行中性层平行中性层
2、（半径方向）（半径方向）垂直于垂直于z z轴的面轴的面-平行纵向对称面平行纵向对称面单元体无限小单元体无限小各个面上应力各个面上应力均匀分布均匀分布xyzs sxt txt tyP1P2q4二、应力状态的表示二、应力状态的表示问题一、为什么要这样取单元体？问题一、为什么要这样取单元体？问题二、这一单元体能代表这一点不同方位截面的应力吗？问题二、这一单元体能代表这一点不同方位截面的应力吗？问题三、这一点其他方位截面的应力和单元体的关系？问题三、这一点其他方位截面的应力和单元体的关系？问题四、研究应力状态的目的是什么？问题四、研究应力状态的目的是什么？问题一、为什么要这样取单元体？问题一、为什么要
3、这样取单元体？s so o0FAssspTIt切应力互等定理：切应力互等定理：ttxyzs sxt txt tyxys sxt txOt tyP1P2q4xzMyIsSzxzF SbItyxtt(a)(c)(b)7-2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力st 角斜截面的外法线n与x轴的夹角自x 轴逆时针为正；以拉应力为正（离开截面为正）,xys sxt顺时针转动为正（左上右下为正）ytst体元的平衡方程为0ddcossindcoscos dsincosdsinsin0nxxyyFAAAAAtstss，0ddcossindcossin d
4、sinsindsincos0txxyyFAAAAAtstst，xyttcos2sin222xyxyxssssstsin2cos22xyxsstt解得解得问题二、这一单元体能代表这一点不同方位截面的应力吗？问题二、这一单元体能代表这一点不同方位截面的应力吗？（1）（2）问题三、这一点其他方位截面的应力和单元体的关系？问题三、这一点其他方位截面的应力和单元体的关系？二二.应力圆应力圆-莫尔圆莫尔圆222222xxyxyxstsssstcos2sin222xyxyxssssstsin2cos22xyxsstt(3)2+(2)2，得：OC2yxss222xyxtssst(a)圆心坐标：半径：（2）（3
5、）0,2xyss222xyxsst三三.单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系对应一：对应一：面上的正面上的正应力应力 和切应力和切应力OC2yxss222xyxtsssts应力圆上的一点应力圆上的一点tst（，）垂直垂直x轴的面上的正轴的面上的正应力应力 和切应力和切应力xsxt垂直垂直y轴的面上的正轴的面上的正应力应力 和切应力和切应力ysyt(xxstA，）(yystB，）=-yxttxyssABAB为过原点的一条直径为过原点的一条直径st对应二：对应二：2*两面外法线的夹角两面外法线的夹角=圆上两点与圆心连线的夹角圆上两点与圆心连线的夹角 且转向一致。且转向一致。未知：未知：
6、面上的正面上的正应力应力 和切应力和切应力 或或st（，）st已知：已知：(xxst1D，）(-yxst2D，）或或X轴和轴和y轴的夹角：轴的夹角：1D(xxst，）(-yxst2D，）和和180o90oX轴和轴和n轴的夹角：轴的夹角：21D(xxst，）(stA，）和和Os st tCD1(s sx,t tx)D2(s sy,t ty)xn2 A(s s ,t t st四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力问题四、研究应力状态的目的是什么？问题四、研究应力状态的目的是什么？主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面：切应力为零的截面。主应力：主平面上的正应力。主应力排列规定
7、：按代数值大小321sssOCs s t t A(s sx,t txy)B(s sy,t tyx)x2 1 1mintmaxt2 0 0s s1s s2s s3 例题例题7-2 简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力和最大切应力。说明：说明：点f 处，弯曲应力和切应力都比较大，为了方便，a点代替f点。梁的自重不计。解：（1）绘梁的剪力图和弯矩图mkN80kN200SCCMF（2）相关的截面几何性质为46333333m108812m10270m1011112m10300m10120zI363333*m1
8、0256m105.7m10135m1015m10120zaS（3）危险截面上a点和b点处的应力：MPa7.122Pa107.122m135.0m1088mN10806463azCayIMsMPa6.64Pa106.64m109m1088m10256N102006346363*SdISFzzaCatMPa4.136Pa104.136m15.0m1088mN10806463bzCbyIMs0bt（4）a点单元体(g)s1由单元体得：D1(122.7，64.6),D2(0,-64.6)以D1、D2为直径绘应力圆。由应力圆看出D1D2连线与 轴得交点为圆心，圆心C（61.35，0）s半径：22r122
9、.761.3564.689.01（）02s361.3589.0127.66MPas 064.6tan21.053122.761.350246.48023.24yxxs122.7122.764.664.664.664.61s3s161.35 89.01150.36MPas主应力：13max-=89.012rs st(i)主应力：00MPa4.136321sss（4）b点单元体13max-=68.22rs st由单元体得：D1(136.4，0),D2(0，0)以D1、D2为直径绘应力圆。（5 5）比较a点和点和b b点单元体点单元体a点单元体b点单元体1150.36MPas1136.4MPasma
10、x68.2tmax89.01t问题四、研究应力状态的目的是什么？问题四、研究应力状态的目的是什么？1.建立关于材料破坏规律的假设强度理论。2.解释材料发生破坏的力学上的原因。3.绘制主应力迹线，应用于复杂结构。拉力压力s s1s s3s s1s s3阿尔捷希拉集贸市场（market at Algeciras）圆顶主应力迹线圆顶配筋示意图7-3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为力状态为空间应力状态空间应力状态(三向应力状态三向应力状态)；钢轨在轮轨触点；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态处就
11、处于空间应力状态(图图a)a)。空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力sx，sy，sz的下角标表示其作用面，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。(b)图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正。最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txytyx，tyztzy，txztzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，tyx，tzy，tzx。当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s
12、3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。(a)(b)(c)例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。(c)据此可知，受力物体内一点处代
13、数值最大的正应力smax就是主应力s1，而最大切应力为31max21sst(c)它的作用面根据应力圆点B的位置可知，系与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45，即下面图a中的截面abcd。abcd453s2s2s1s1s(a)acd1s2s231maxsst231sssb2s3s 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图b中所示。abcd453s2s2s1s1s(a)acd1s2s231maxsst231sssb2s3smaxts45(b)efgh2s2s3s1s 例题例题7-3 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主
14、应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)解解:1.图a所示单元体上正应力sz=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。2.正如以前所述，在与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力sz无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括sz=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为s146 MPa，s220 MPa，s3-26 MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位
15、角0根据通过点D1和D2的应力圆上由代表x截面上应力的点D1逆时针至代表1的点A的圆心角2034可知为017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b)4.最大切应力tmax由应力圆上点B的纵座标知为tmax36 MPa，作用在由s1 作用面绕s2 逆时针45 的面上(图c)。(c)(b)显然，根据解析式也得MPa36MPa26MPa46212131maxsst7.33 MPa20MPa40MPa202arctan2arctan20yxxsst1785.160(c)7-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量：sx,sy,sz,t
16、xy,tyz,tzx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。关于应力分量的正负已于7-3中讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致，规定：线应变ex,ey,ez以伸长变形为正，切应变gxy,gyz,gzx 以使单元体的直角xoy,yoz,zox减小为正。本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。.各向同性材料的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料：(1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方
17、向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；(2)在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。图a,b,c作为示例示出了单元体以及对各向同性材料来说不可能产生的变形，因为每个图中上面的单元体在绕x轴旋转180 以后，如各图中下面的单元体所示，或者受力情况未变而变形却反了(图a)，或者变形无变化但受力情况却反了(图b,c)，而这些都不符合各向同性材料应力应变关系不应该随单元体转动而变化的特征。xxsxsx(a)tttxxt(b)tttxx(c)t 现在来导出一般空间应力状态(
18、图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为zyxzyxxEEEEsssssse1同理有yxzzzxyyEEsssessse11，至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有GGGzxzxyzyzxyxytgtgtg，对于图b所示的那种平面应力状态(sz0，txz=zx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为GEEExyxyyxzxyyyxxtgssessesse11ysxsxytyxt(b)各向同性材料的三个弹性常数E，G，之间存在如下关系：12EG思考思考:1.图a和图b所示应力状态是
19、否完全相当？2.图a所示情况下，对角线ab的线应变eab与g 的关系，亦即eab与/G 的关系是怎样的？gga2gattaa(a)45tsts(b)ba 3.图b中沿图a中对角线ab方向的线应变与所示s 的关系是怎样的？4.如果图a与图b是同一应力状态，那么它们沿同一方向的线应变应相等，按此可否导出G=E/2(1+)。gga2gattaa(a)45tsts(b)ba 当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为213331223211111sssesssessseEEE式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力
20、构成的平面内不发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变。21312221111ssessesseEEE 在平面应力状态下，若s30，则以主应力表示的胡克定律为 例题例题 已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex240 10-6，y 方向的线应变ey=-160 10-6，试求该点处x和y截面上的正应力sx和sy，并求自由表面法线的线应变ez。已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比0.3。解解：1.构件的自由表面上无任何应力，故知该点处于平面应力状态。2.根据平面应力状态的胡克定律有xyyyxxEEssesse11，联立
21、求解此二式得MPa33.44Pa1033.44 101603.0102403.01Pa102101666292yxxEeesMPa3.20Pa103.20 102403.0101603.01Pa10210166692xyyEees再根据平面应力状态的胡克定律求得6669103.34 Pa103.20Pa103.44Pa102103.0yxzEsse 需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并未说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的sx和sy认为是主应力。思考思考:有人认为既然上述例题中给出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：666102410160102403.0yxzeee但这又与
22、例题中的结果不符。错在哪里？*.各向异性材料的广义胡克定律 各向异性材料受力时，正应力会引起切应变，而切应力也会引起线应变。完全各向异性的材料在一般空间应力状态下，三个相互垂直平面上的6个独立的应力分量sx，sy，sz，tyz，tzx，txy中的每一个都可引起6个应变分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy。xyzxyzzyxxCCCCCCtttssse161514131211xyzxyzzyxyCCCCCCtttssse262524232221xyzxyzzyxzCCCCCCtttssse363534333231xyzxyzzyxyzCCCCCCtttsssg464544434241xy
23、zxyzzyxzxCCCCCCtttsssg565554535251xyzxyzzyxxyCCCCCCtttsssg666564636261从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为 上式即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的Cij为弹性常数，其第一个下角标 i（1，2，6）表示它对应于应变分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第几个，例如C24表示ey对应于tyz的弹性常数。从式中可见，完全各向异性的材料总共有36个弹性常数。利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在Cij=Cji这一互等关系，也就是说，在上列一组式子中有(366)/215对弹
24、性常数是互等的。可见完全各向异性的材料只有361521个独立的弹性常数。对于完全各向异性的材料，若沿x，y，z方向的正应力为主应力s1，s2，s3，因而txy0，tyz=0，tzx=0，则按广义胡克定律有343242141sssgCCCyz353252151sssgCCCzx363262161sssgCCCxy 可见在任何两个主应力构成的平面内均发生有切应变，所以主应力方向并非主应变的方向，或者说，主应力方向和主应变方向不相重合。工程上应用的将单向排列碳纤维浇注于环氧树脂中形成的单向复合材料，它们具有三个弹性性能对称面(参见下图)，从而具有三个弹性性能对称轴，这种各向异性材料称为正交异性材料(
25、orthogonal composite material)。当正交异性材料中一点处三个相互垂直面上的六个独立应力分量均平行于材料的弹性对称轴时，根据对称性原则可知，这三个面上的正应力在弹性对称轴方向只产生线应变，这三个面上的切应力只在它们各自的自身平面内产生切应变。zyxxCCCssse131211zyxyCCCssse232221zyxzCCCssse333231yzyzCtg44zxzxCtg55xyyxCtg66因此，当正交异性材料一点处的六个独立应力分量平行于材料的弹性对称轴x，y，z时，广义胡克定律为考虑到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交异性材料共有9个
26、独立的弹性常数。思考思考:图中x轴和y轴为正交各向异性材料的弹性性能对称轴，从该材料中一点处取出的单元体如图a所示，受纯剪切；变形后如图b。试论证这种情况仍符合对称性原则。ttxyxytt(a)(b).各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。321321332211111aaaaaaaaaVVVeeeq取三个边长分别为a1，a2，a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律得32132121ssseeeqE
27、对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压(s1t，s3t，s20），从而从上列体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。可见，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关，即zyxzyxEssseeeq21 思考思考:各向同性材料制成的构件内一点处，三个主应力为s130 MPa，s210 MPa，s3-40 MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边长均为a的单元体，试问：(1)变形后该单元体的体积有无变化？(2)变形后该单元体的三个边长之比有无变化？例题例题7-6 边长a=0.1 m的铜质立方体置于
28、刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F=300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E=100 GPa，泊松比0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。(a)解：解：1.铜块水平截面上的压应力为 MPa30Pa1030m1.0N10300623AFys 2.铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b)。(b)按照广义胡克定律及ex0和ey0的条件有方程：0101zyzzzyxxEEsssessse从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然s
29、xsz。于是解得MPa5.15 Pa105.15Pa103034.0134.0166yzxsss由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，且MPa30MPa5.15321sss3.铜块内的最大切应力为MPa25.7Pa1025.7 Pa1030Pa105.15212166631maxsst(b)4.铜块的体应变为466693211095.1 Pa1030Pa105.15Pa105.15Pa1010034.021 21sssqE(b)7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 在第二章“轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积
30、内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：222221esseEEv在第三章“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：222221gttgGGv在此基础上，本章讲述空间应力状态下的应变能密度。空间应力状态下，受力物体内一点处的三个主应力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如s1先由零增至最后的值，然后s2由零增至最后的值，而s3最后才由零增至最后的值。但从能量守恒定律可知，弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值，因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能，而这就违反了能量守恒定律。把由主应力和主应变表达
31、的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得133221232221221sssssssssEv 为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的空间应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：33221121esesesv体积改变能密度和形状改变能密度 图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而且其形状(指单元体三个边长之比)也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd两部分，即vevvvd。如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应
32、力状态，则可见：.图b所示三个主应力都等于平均应力sm(s1+s2+s3)/3的情况下，单元体只有体积改变而无形状改变，其应变能密度即是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。.图c所示三个主应力分别为s1-sm，s2-sm，s3-sm的情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。由以上分析可知：(1)图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有23212m2m2m2m2m2m2mV6212213 221|ssssssssssEEEvvb单元体 213232221m1m3m3
33、m2m2m12m32m22m1d61 2 21|ssssssssssssssssssssssssEEvvc单元体在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。(2)图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有7-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能
34、总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。材料的强度破坏有两种类型；.在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 .研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。(1)最大拉应力理论(第一强度理论)受铸铁等材料单向拉伸时断口为最
35、大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为u1ss而相应的强度条件则是 ss1其中，s为对应于脆性断裂的许用拉应力，ssu/n，而n为安全因数。(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与
36、断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为u1ee对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu su/E；如果eu是由单轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu su/E；如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。EEu3211ssss亦即u321ssss而相应的强度条件为 ssss321 按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易
37、断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45 斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为umaxtt对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tuss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为22s31ssss31sss即而相应的强度条件则
38、为 sss31 从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力s2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安全)。(4)形状改变能密度理论(第四强度理论)注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。于是，第四强度理论的屈服判据为dudvv 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1 ss，s2s30，而相应的形状改变能密度的极限值为2sdu261sEv故屈服判据可写为2s21323222126161sssssssEE此式中，s1
39、，s2，s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为 sssssss21323222121 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即s21323222121sssssss(5)强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：ssr式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件ss中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。相当应力表达式强度理论名称及类型 第一类强度理论(脆性断裂的理论)第二类强度理论(
40、塑性屈服的理论)第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论 最大伸长线应变理论 第三强度理论 最大切应力理论 第四强度理论 形状改变能密度理论1r1ss321r2ssss313rsss2/1213232221r4 21sssssss表7-1 四个强度理论的相当应力表达式7-8 各种强度理论的应用各种强度理论的应用 前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应
41、力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下tssts，3210 低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力s按第三或第四强度理论推算许用切应力t。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见 sst5.02 stt 2st亦即按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见 sst577.03 在大部分钢结构设计规范中就是按t=0.577s 然后取整数来确定低碳钢
42、的许用切应力的。例如规定s 170 MPa，而t 100 MPa。stttt2220021 3st亦即 铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力st按第一或第二强度理论推算许用切应力t。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为tst可见 tst按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为 t0stt因铸铁的泊松比0.25，于是有可见 tt8.025.1sstt25.1st25.1tst亦即 思考思考:试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图(a)和图(b)两种应力状态下的危险程度。已知s 和t 的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比
43、较的结果又如何？答案：按第四强度理论，(a),(b)两种情况下同等危险。按第三强度理论则(a)较(b)危险。(a)(b)例题例题 试全面校核图a,b,c所示焊接工字梁的强度，梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为 Iz=88106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*z,max=338103 mm3；梁的材料Q235钢的许用应力为s 170 MPa，t 100 MPa。解解:1.按正应力强度条件校核此梁的弯矩图如图d，最大弯矩为Mmax80 kNm。梁的所有横截面上正应力的最大值在C 截面上,下边缘处：MPa4.136m1088m10150mN10804633maxmaxmax
44、zIyMs它小于许用正应力s，满足正应力强度条件。(d)2.按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图e，最大剪力为FS,max=200 kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：MPa4.85m109m1088m10338N10200346363*max,max,SmaxdISFzzt它小于许用切应力t,满足切应力强度条件。(e)3.按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度 在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截面上，该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力和切应力分别比较接近前面求得的smax和tmax，且该点处于平面应
45、力状态，故需利用强度理论对该点进行强度校核。MPa7.122m1088m10135mN10804633maxzaIyMs MPa6.64 m109m1088m10)5.7135(m1015m10120N102003463333*,max,SdISFzazt点a处的主应力为MPa4.15022221tsss02sMPa7.2722223tsss 由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。MPa1.178MPa7.27MPa4.15031r3sssMPa166 MPa4.150MPa7.27MPa7.2700MPa4.15021 212222132322214rsss
46、ssss可见，按第三强度理论所得的相当应力sr3178.1 MPa已略超过许用正应力s=170 MPa，但超过不到5%，在工程计算中允许的范围内。按第四强度理论所得相当应力sr4则小于许用正应力s，满足强度要求。图中所示的那种平面应力状态在工程上是常遇的，且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时需先求主应力的值等的麻烦，可如下得出可直接利用图示应力状态下的s 和t 直接求sr3和sr4的公式。代入相当应力表达式：213232221r431r321ssssssssss，即得22r422r334tsstss，223222122022tsssstsss将主应力计算公式：例题例题7-8 图示两端密
47、封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为p。试按第四强度理论写出圆筒内壁的相当应力表达式。解解：1.求圆筒横截面上的正应力s 根据圆筒本身及其受力的对称性，以及圆筒为薄壁的特点(d D)，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力s 沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应力为dds442pDDDpAF 由单位长度圆筒中以纵截面取的分离体如图所示。根据该分离体及与之对应的下半部的对称性可以判定圆筒纵截面上无切应力。2.求圆筒径向截面（纵截面）上的正应力s 图中所示纵截面上的法向力FN由正应力s构成，FN s d1。作用于图示分离体内壁上压强 p的压力构成合力Fp，它们的关系曾在例题2-3中导出，FppD。D于是由平衡方程02N FFp012 dspD亦即得出圆筒纵截面上的正应力：ds2pD3.圆筒内壁上沿半径方向的正应力为p sD 4.圆筒内壁上各点的应力状态如图所示，它们都是主应力，且ppDpD ssdssdss32142 由于p与(pD/2d)和(pD/4d)相比很小，故可认为s30。5.按第四强度理论写出的相当应力表达式为ddddsssssss43 24421 21222213232221r4pDpDpDpD
