1、BA 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。R1abcef gAB嗨！R1可不是映射喔。有人偷懒了。R2abcefgAB嗨！R2也不是映射喔。有人一箭双雕。R3abcefgAB啊哈！R3才是一个映射呢。糟糕！全被射中了。定义定义3.1.3：设是A到B的映射，若对a,bA,ab,均有(a)(b)，则称为A到B的单射单射或入射。此时|(A)|=|A|，B中每个元素最多是A中一个元素的映象。还好，只中了一箭。定义定义3.1.4：设是A到B的映
2、射，若既是满射又是单射，则为A到B的双双射射或11映射映射。哼！你能射我，我也能射你。单射，但不是满射。设：0，0，1，()=sin()，0,。则是 满射，但不是单射。设：N E，N 是自然数集合，E是自然数中的所有偶数的集合，(n)=2n，n N。则是单射且是满射，所以是双射。例如：设：N E，N 是自然数集合，E是自然数中所有偶数的集合，(n)=2n，nN。则的逆映射-1为：-1：E N，-1(m)=m/2，mE。定理定理3.2.1 设是A到B的映射，于是，存在逆映射当且仅当是双射。?12345678ACB因此，上例中 是映射，不是映射。(1)=(4)=7；(2)=(4)=7；(3)=(5
3、)=8.而 (x)都不存在,其中，x B.令是A到B的映射，是B到C的映射，ABCxyzabxy (x)=(a)=x;(y)=(b)=y;(z)=(b)=y;(a)=(x)=a;(b)=(y)=b;所以，即映射的乘法不满足交换律。定理定理3.2.4 设是A到B的双射，是B到C的双射，于是 ()1=1 1 (式3.2)证明：证明：由假设不难知道，()1 和 1 1均是C到A的双射。对任意zC,因为 1也是双射，所以有唯一的yB,使 1(z)=y.又因为 1也是双射，所以对y有唯一的xA,使 1(y)=x.于是，1 1(z)=1(1(z)=1(y)=x 又因()(x)=(x)=(y)=z,且 也是
4、双射，所以()1(z)=x.从而对任意zC,有()1(z)=1 1(z)。因此，(式3.2)成立。注意：要使 为双射，不必要求和均是双射，只 须是单射，是满射即可，但要（3.2）成立，则和 必须为双射。啊哈！这下我们知道有无限多个自然数了！任取x1,x2A,x1x2,显然,f(x1)f(x2),且对 任意yB:若y=0,则取x=0,有f(0)=0若y=1,则取x=1/2A1,于是f(1/2)=1/(2-1)=y若y=1/n,取x=1/(n+1)A1,故f(1/(n+1)=1/n=y若yBA1,则取x=y,于是f(x)=x=y 综上所述f是A到B的双射,于是AB.f(0)=0 f(1/n)=1/
5、(n-1)(n1,1/nA1,nN)f(x)=x (x0,1)A1)根据集合的基数来比较它们的大小。定义定义4.2.1 令A、B为两个集合，由定义，|A|=|B|可形象地理解为A中的元素与B中的元素一样多。像实数一样，任何两个基数都可以比较大小，所以有 错！错！错！错！错！错！错误是：虽然f不是双射，但不能说明A与(A)之间不存在其它的映射是双射。正确的作法是证明A与(A)存在任何的双射都是不可能的。定理定理4.2.4 对任意集合A,均有|A|(A)|,其中(A)为A的幂集。证明：证明：令f：A(A)。f(a)=a，aA。显然，f 是单射，于是|A|(A)|。讨论B的存在性：双射g：A(A)，
6、aA，g(a)(A)即：g(a)是A的子集。又：作集合D=AA，AA，显然，D A，即D(A)。令：aA，g(a)=D，于是，aD，即a g(a)，但aA A。说明：映射 将 10，偶数正整数，奇数（除1外）负整数。这种排序的方法称为字典排序法。显然用此方法可将所有的有理数排序。分子分母 1 2 3 4 5 6 1234.此方法称为三角形方法，是很有用的方法。+为可数集。事实上，若|=k，则每一个符号串就是一个 k 进制的数，显然它们是可以按序排列起来。所以+为可数集。是不是所有的集合的元素都能排序呢？不！不是所有的集合都能排序。比如0，1中实数的集合。让我们来设想一下将它的元素排一个序：0理
7、所当然排在第一位。但是0之后应该排哪个呢？0.1？不！0.01？不！0.001？不！.？你会发现第二个就不知道排哪个好了。这样看来实数集合是没法去数了！?a11a22a33r1r2r31 2 3 对角线方法是一种非常有用的方法。这个问题称为这个问题称为“连续统问题连续统问题”。现已证明：在现有公理系统中，证明它成立与否都不可能。诗中的问题是计算机上所有程序有多少？为何如此？有诗为证：计算机，靠程序，它的本事知底细。程序都是符号串，理应是个可数集。程序时时新，落花处处飘。它们同为0，数数便知道。本篇内容有：集合、子集、幂集。集合之间的关系：(真)含于(/)，相等()。集合的基本运算：并()、交()、差()和对称差()。笛卡尔直积：n个集合的笛卡尔直积是它们的 n元有序组的集合。它仍然是个集合。集合的表示：列举法和描述法。A到B的二元关系R是笛卡尔直积AB的子集。关系仍然是集合。关系的表示：仍然可以采用集合的表示方法。若A、B是有限集合，或者说R是有限集上的关系，则R的表示还可以采用：关系矩阵 和 关系图。令R是定义在集合A上的关系。t(R)=Ri。i=1令R、S为有限集上的关系，关系矩阵为MR 和 MS：
