1、栏目索引高考导航第第2020讲数学文化与核心素养讲数学文化与核心素养栏目索引高考导航考情分析中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著,九章算术和数书九章便是其中的代表作.这些中国古代数学名著是中华优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用”的准则,研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合,具有浓厚的实际背景,体现了明显的综合性和算法化的特征.从中国古代数学中挖掘素材,考查高中数学有关知识,既符合考生的认知水平,又可以引导考生关注中华优秀传统文化.栏目索引高考导航考点聚焦命题角度一渗透古代名家命题角度一渗透古代名家(学派学派)研究数学的考
2、查研究数学的考查例例1(1)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.图中实心点的个数5,9,14,20,为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2 017项为a2 017,则a2 017-5=()A.2 0232 017 B.2 0232 016C.1 0082 023 D.2 0171 008栏目索引高考导航考点聚焦(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世
3、界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.栏目索引高考导航考点聚焦答案答案(1)C(2)3 32解析解析(1)观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,an=2+3+(n+2)=(n+1)(n+4),由此可得a2 017=2 0182 021=1 0092 021.a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 0082 023.(1)(22)2nn1212栏目索引高考导航考点聚焦(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边形,所以OAB是正三角形,所以AB=1,过点O作O
4、GAB于点G,所以OG=OAsin 60=,所以正六边形的面积为6SOAB=6ABOG=.32123 32栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景,(2)以我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景,分别考查了数列问题和圆内接正六边形面积问题.其中毕达哥拉斯学派的“形数”问题,备受命题者的青睐,已成为高考命题的热点.栏目索引高考导航考点聚焦例例2(1)(2017课标全国,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数
5、是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏(2)(2018益阳、湘潭调研试卷)数书九章中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的方法”,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有命题角度二渗透古代数学名著的考查命题角度二渗透古代数学名著的考查栏目索引高考导航考点聚焦很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S=,现有周长为2+的ABC满足sin A sin B sin C=(-1)(+1),用上面给出的公式
6、求得ABC的面积为()A.B.C.D.222222142cabc a2525232345254栏目索引高考导航考点聚焦答案答案(1)B(2)B解析解析(1)由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7=381,a1=3.故选B.(2)由正弦定理得sin A sin B sin C=a b c=(-1)(+1),可设三角形的三边分别为a=(-1)x,b=x,c=(+1)x,由题意得(-1)x+x+(+1)x=(2+)x=2+,则x=1,故由公式可得ABC的面积S=,故选B.71(1 2)1 2a2522522522525222132 232 25(21)(21
7、)42 34栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之等伟大的数学家,以及九章算术等经典的数学传世之作,这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库,继新课程改革以来,高考题中出现了一些以古代名著为命题背景的试题,涉及的有九章算术数书九章算法统宗等.本例分别以算法统宗数书九章为背景,相应考查了数列和三角形面积公式等数学知识.从某种意义上讲,这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身.栏目索引高考导航考点聚焦例例3(1)(2017课标全国,3,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
8、称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.148命题角度三渗透数学美的考查命题角度三渗透数学美的考查栏目索引高考导航考点聚焦C.D.(2)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,若线段PF2,PF1分别是RtF1PF2的“勾”“股”,则点P的横坐标为 .12424x栏目索引高考导航考点聚焦答案答案(1)B(2)2 63解析解析(1)本题考查几何概型和概率的计算方法,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.设正
9、方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=,故选B.(2)由题意知半焦距c=,又PF1PF2,故点P在圆x2+y2=3上,设P(x,y),联立得得P.故点P的横坐标为.22228322223,1,4xyxy2 63,332 63栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美,从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.纵观数学领域的一切公式、公理和定理,无不是
10、对客观世界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映.栏目索引高考导航考点聚焦1.(2018陕西质量检测(一)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e2i表示的复数在复平面中位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 B由eix=cos x+isin x,可知e2i=cos 2+isin 2,因为2,所以cos 2(-1,0),sin 2(0,1),所以e2i表示
11、的复数在复平面中位于第二象限.,2栏目索引高考导航考点聚焦2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n层,上底由ab个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由cd个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=(2a+c)b+(2c+a)d+(c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为()6n6n栏目索引高考导航考点聚焦A.83 B.84 C.85 D.86答案答案 C由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=
12、5,代入公式s=(2a+c)b+(2c+a)d+(c-a)得s=85,故选C.6n6n栏目索引高考导航考点聚焦3.九章算术是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学.“更相减损术”便是九章算术中记录的一种求两个数的最大公约数的算法,有如下程序框图,若输入的a,b的值分别为96,36,则输出的i为()A.4 B.5 C.6 D.7栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 A执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a=96-36=60,i=1;a=60-36=24,i=2;b=36-24=12,i=3;a=24-12
13、=12,i=4,此时a=b=12,退出循环,输出的i=4,故选A.栏目索引高考导航考点聚焦4.张丘建算经卷上第22题为“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其大意:现有一位善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织390尺布(1匹为40尺,一丈为10尺).记该女子此月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为()A.55 B.52 C.39 D.26答案答案 B由题设知,该女子每天织布的尺数构成一个等差数列an,其首项a1=5,S30=390,则S30=30a1+d=305+d=390
14、,解得d=,则a14+a15+a16+a17=4a1+58d=45+58=52.故选B.30 29230 29216291629栏目索引高考导航考点聚焦5.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则这9圈的石板总数是 .栏目索引高考导航考点聚焦答案答案405解析解析这9圈的石板数由里到外依次组成一个首项为9,公差为9的等差数列,则这9圈的石板总数是99+9=405.9 82栏目索引高考导航考点聚焦6.鲁班
15、锁是我国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看起来是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为 .(容器壁的厚度忽略不计)栏目索引高考导航考点聚焦答案答案41解析解析表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球.设其半径为R,则(2R)2=62+22+12,解得R2=,所以该球形容器的表面积的最小值为4R2=41.414
