1、2023-1-5平面问题有限元分析-等参单元1第五章第五章 平面问题有限元分析平面问题有限元分析等参单元等参单元曹国华曹国华5.1四节点矩形单元位移四节点矩形单元位移 函数函数5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵四节点矩形单元应变与应力矩阵5.3四节点矩形单元刚度矩阵四节点矩形单元刚度矩阵5.4等参单元等参单元 虽然三角形单元具有很好的“适应性”，几乎任何复杂边界的弹性体总可以划分为三角形，并且三角形单元计算公式简单，但精度较低。5.1四节点矩形单元四节点矩形单元位移函数位移函数 三角形单元间虽然能够保证位移连续，但应力的精度较差，不能很好的反映弹性体内应力的准确分布规律。为了提高计算精度，准确
2、反映弹性体内的应力状态，可以采用一些较精密的单元类型。本节将介绍常用的矩形单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。另外，对一些边界比较规则且呈直线的平面结构的分析，采用矩形单元较合适。这时单元总数可以减少，相应的原始数据准备工作和单元特征计算工作均可节省。2023-1-52平面问题有限元分析-等参单元 如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，即共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同样可以完成对矩形单元的力学特性分析。5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移
3、函数2023-1-53平面问题有限元分析-等参单元 这里引入一个局部坐标系、，这样可以推出比较简洁的结果。如图所示，取矩形单元的形心o为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系ooxxayyboxoy式中：、矩形形心处坐标。矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算012340231421343241()2()2()2()2()2()2()2()2/xxxxxyyyyyaxxxxbyyyy5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数2023-1-54平面问题有限元分析-等参单元5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-
4、1)1(-1,-1)4(-1,1)o 在局部坐标系中，节点i的坐标是 ，其值分别为1。如节点1在局部坐标系下的坐标为（1，1）。(,)ii 2023-1-55平面问题有限元分析-等参单元 由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8个待定参数的位移模式，如下12345678uv 该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，85.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数2023-1-56平面问题有限元分析-等参单元2023-1-57平面问题有限元分析-等参单元3(1,1)2(1,-1)1(-1
5、,-1)4(-1,1)o12345678uv 112233441111111111111111uuuu 516273841111111111111111vvvv 5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数求出求出1,2,3,4；5,6,7,8123411111111111111111111111111111uuuu1122334411111111111 11411 11uuuu5162738411111111111 11411 11vvvv5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数2023-1-58平面问题有限元分析-等参单元112212341234334400000000eu
6、vuvNNNNuNNNNuvvuv uiNeNe Tiiiuv 式中：矩形单元的形函数，i1，2，3，4；形函数矩阵；单元节点位移列阵，i1，2，3，4。4411,iiiiiiuNu vNv 5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)oeefN 2023-1-59平面问题有限元分析-等参单元12341234123400000000eeeeeNNNNNNNNNNNNN1001eiiiNNNI=（i1，2，3，4）形函数的表达式为12341114111411141114NNNN5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数3(1,
7、1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o2023-1-510平面问题有限元分析-等参单元 引入符号 ，i1，2，3，4，则上式可以统一写为0i0i001114iN 可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个形函数之和等于1；单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关。有关证明过程比较简单，请自行推导。5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数2023-1-511平面问题有限元分析-等参单元 有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元内任意点的应变，将
8、位移代入几何方程，得12123434eeeeeeeBBBBB 式中的应变转换矩阵 的子块 （i1，2，3，4）为eBeiB00ieiiiiNxNyNNyxB5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵四节点矩形单元应变与应力矩阵2023-1-512平面问题有限元分析-等参单元1001011000141111iiiieiiiiiiiiiiiiiNNaxbNNaybababNNNNbayxB5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵四节点矩形单元应变与应力矩阵ooxxayyb001114iN2023-1-513平面问题有限元分析-等参单元0i0i 求得应变之后，再将应变代入物理方程 ，便可推导出以节点位移表示的应力
9、，如下 DeeeeeeD=DBS 式中，应力矩阵 为eS1234eeeeeeSDBSSSS其子块 （i1，2，3，4）为eiS2111141111122iiiieiiiiiiiiibaEbaabab S5.2应四节点矩形单元变与应力矩阵应四节点矩形单元变与应力矩阵2023-1-514平面问题有限元分析-等参单元 由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相当于xy项），把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从 的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的 与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，
10、而且在单元的边界上(=1或=1)，位移是按线性变化的，显然在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。eB175.2四节点矩形单元应变与应力矩阵四节点矩形单元应变与应力矩阵2023-1-515平面问题有限元分析-等参单元 由单元的应力矩阵 表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。正应力 、和剪应力 均沿、两个方向线性变化，即沿x、y两个方向线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺点，矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界，不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。e
11、Sxyxy5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵四节点矩形单元应变与应力矩阵2023-1-516平面问题有限元分析-等参单元 矩形单元刚度矩阵的推导过程与三节点三角形单元类似，即 ，由前文可知 的推导过程与形函数的具体表达形式、节点个数均无关，该表达式具有普遍意义。eeTedVKB DBeK若单元厚度t 为常量，则 可以进一步表示为eKeeTetdxdyKB DB将单元刚度矩阵写成子块的形式，如下11121314212223243132333441424344eeeeeeeeeeeeeeeeeKKKKKKKKKKKKKKKKK5.3四节点矩形单元刚度矩阵四节点矩形单元刚度矩阵2023-1-517平
12、面问题有限元分析-等参单元 上式中每一个子块矩阵均为2行2列，单元刚度矩阵中的子块矩阵的表达式为1111eeTersrseTerstdxdytabd d KB DBB DB（r、s1，2，3，4）将应变转换矩阵子块 和弹性矩阵 ，代入上式，得eiBD1223441ersKKE tKKabK5.3四节点矩形单元刚度矩阵四节点矩形单元刚度矩阵2023-1-518平面问题有限元分析-等参单元式中：221232241113231212111323rsrsrsrsrsrssrsrrsrsrsrsKbaKabKabKab （r、s1，2，3，4）1223441ersKKE tKKabK5.3四节点矩形单元
13、刚度矩阵四节点矩形单元刚度矩阵2023-1-519平面问题有限元分析-等参单元 例例 如图所示，该模型中有两个四边形单元，弹性模量为 210GPa，厚度为 0.025m，泊松比 0.3，1kN，求单元所受应力。EtF算例算例2023-1-520平面问题有限元分析-等参单元 解解：单元所对应的节点为2、4、3、1，单元所对应的节点为4、6、5、3。在有限元分析过程中，首先求解单元和的刚度矩阵；然后组装整体刚度矩阵，组装的过程同三角形单元，此处不再给出；最后引入边界条件（，0）并结合受力情况，求得整体节点位移列阵 10-50，0，0，0，0.1162，-0.1674，-0.1149，-0.1628
14、，0.1514，-0.4707，-0.1568，-0.4978T。120uu12vv 算例算例2023-1-521平面问题有限元分析-等参单元 解解：为了求解单元应力，需要先求得每个单元所对应的节点位移列阵，结合单元的节点编号，可从整体位移列阵中提取单元和单元的位移列阵，如下(1)10-50，0，-0.1149，-0.1628，0.1162，-0.1674，0，0T(2)10-5-0.1149，-0.1628，-0.1568，-0.4978，0.1514，-0.4707，0.1162，-0.1674T算例算例注意注意：整体节点位移列阵是按照节点编号由小到大排列的，而单整体节点位移列阵是按照节点
15、编号由小到大排列的，而单元位移列阵是按照单元节点编号排列的，如单元所对应的节点元位移列阵是按照单元节点编号排列的，如单元所对应的节点为为2、4、3、1，则单元的位移列阵中的前两个数则表示节点，则单元的位移列阵中的前两个数则表示节点2的的x和和y方向位移。方向位移。2023-1-522平面问题有限元分析-等参单元 将单元和单元的位移列阵代入应力矩阵，可求得单元和单元的应力，如下63(1)4545531.07 106.33 101.92 103.2 102.11 101.6 103.73 107.39 10 xyxy 54(2)4555543.56 104.38 109.45 101.07 101
16、.46 101.6 101.24 105.11 10 xyxy 算例算例2023-1-523平面问题有限元分析-等参单元 通过以上两式便可以求得单元和单元内任意点的应力，以单元为例，若取 ，则表示单元的13边中点处的应力；若取 ，则表示24边中点处的应力。若计算单元形心处的应力，则取 ，为 0101 00(1)4501.92 101.6 10 xyxy 通过分析结果可知，单元内任意点的应力是坐标的函数，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度显然要高于常应变三角形单元的精度。算例算例2023-1-524平面问题有限元分析-等参单元 等参元是目前大型有限元程序中应用最广泛的单元等参元是目
17、前大型有限元程序中应用最广泛的单元，它不仅能运用于各种曲线边界，而且能够构造出高精度的位移函数，所以广泛地在一维、二维和三维的各类问题中应用。本章以平面问题为例介绍等参元的计算方法。地球表面上的一点可由画在地球表面的经线和纬线来确定，即 线。此坐标称自然坐标自然坐标。其与直角坐标间的变换关系变换关系为和coscoscos sinsinxRyRzRu 自然坐标及其坐标变换oRzyx5.4等参单元等参单元2023-1-525平面问题有限元分析-等参单元二维单元的坐标变换(平面图形变换)1）整体坐标和局部坐标 2）变换函数插值函数 由坐标变换的性质，如能找到将图（b）中的正方形映射到（a）中的任意直
18、边四边形的变换式，则该变换式就是单元局部坐标与整体坐标的变换式（变换函数），现取插值函数如下：ixNx4321432100000000NNNNNNNNNyxx坐标变换与等参元的概念坐标变换与等参元的概念3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o局部坐标局部坐标/自然坐标式中5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）整体坐标整体坐标0 xy),(44yxo13412),(33yx),(11yx),(22yx111图（图（b）图（图（a）Tiyxyxyxyxx)(443322112023-1-526平面问题有限元分析-等参单元12345678
19、xy 形状函数：5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）2023-1-527平面问题有限元分析-等参单元112233441111111111111111xxxx 516273841111111111111111yyyy 求出求出1,2,3,4；5,6,7,8123411111111111111111111111111111uuuu1122334411111111111 11411 11xxxx5162738411111111111 11411 11yyyy5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数2023-1-528平面问题有限元分析-等参单元
20、112212341234334400000000exyxyNNNNxNNNNxyyxy x4411,iiiiiixNx yNy 5.1四节点矩形单元位移函数四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o局部坐标局部坐标/自然坐标整体坐标整体坐标0 xy),(44yxo13412),(33yx),(11yx),(22yx11112341(1)(1)41(1)(1)4()1(1)(1)41(1)(1)4NNNN 式（）是形状函数，与位移函数一样，在i节点，Ni=1,在其它节点，Ni=0，该形状函数与位移函数一样求解。为简便起见，将（）式写成如下通用公式)4,3,2
21、,1()1)(1(41iNiii5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）4411,iiiiiixNx yNy 2023-1-530平面问题有限元分析-等参单元12345678uv 1122123412343344(,)0(,)0(,)0(,)00(,)0(,)0(,)0(,)euvuvNNNNuNNNNuvvuv u位移函数：4411,iiiiiiuNu vNv 5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）2023-1-531平面问题有限元分析-等参单元坐标变换函数与位移函数采用相同的形状函数坐标变换函数与位移函数
22、采用相同的形状函数5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）4411,iiiiiiuNu vNv 4411,iiiiiixNx yNy 对比对比 节点位移个数与节点坐标个数一样，在选取单元的位移函数时，可取单元的自然坐标作为自变量，取图形（坐标）变换式的形状函数为位移函数的形状函数。2023-1-532平面问题有限元分析-等参单元12341(1)(1)41(1)(1)4()1(1)(1)41(1)(1)4NNNN 像上述这样，坐标变换与位移函数采用相同的节点，且取相同的插值函数（形状函数）的变换叫做等参变换等参变换。这种单元叫等参元等参元。在等参元的坐标变换中，局部坐标（自然坐标）中的正方形或立方体称为母单元母单元，而整体坐标内曲边形称子单元子单元。4411,iiiiiiuNu vNv 4411,iiiiiixNx yNy 5.4等参单元等参单元-任意直边四边形单元（任意直边四边形单元（4 4节点）节点）2023-1-533平面问题有限元分析-等参单元MATHCAD例子 作业：作业：采用采用MATHCAD求解求解 如图所示，该模型中有两个四边形单元，弹性模量为 210GPa，厚度为 0.025m，泊松比 0.3，1kN，求单元所受应力。EtF2023-1-534平面问题有限元分析-等参单元
