1、德阳市高中 2017 级“二诊”考试 数 学 试 卷(理工农医类) 说明: 1. 本试卷分第卷和第卷,第卷 12 页,第卷 34 页. 考生作答时,须将答案答在答题 卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后,将答题卡交回. 2. 本试卷满分 150 分,120 分钟完卷. 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知复数 z = 2 1 + i,其中 i 为虚数单位,则 z= A. 5B. 3C. 2D. 2 2. 函数y =4 - x2的定义域为A,集合B = xlo
2、g2(x + 1) 1, 则 A B = A. x1 5 C. (x,y) ,y + 2 x - 1 3D. (x,y) ,y + 2 x - 1 5 9. 平行四边形 ABCD 中,已知 AB = 4,AD = 3,点 E、F 分别满足AE = 2ED ,DF =FC ,且 AF BE =- 6,则向量AD 在AB 上的投影为 A. 2B. - 2C. 3 2 D. - 3 2 10. 已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A = 60,b = 3,AD 为 BC 边上的中线,若 AD = 7 2 ,则 ABC 的面积为 A. 25 3 4 B. 15 3 4 C.
3、 15 4 D. 35 3 4 11. 已知实数 a 0,a 1,函数 f(x) = ax,x b 0) 的离心率为 5 5 ,右焦点为抛物线 y2= 4x 的焦点 F. (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2)O 为坐标原点,过 O 作两条射线,分别交椭圆于 M、N 两点,若 OM、ON 斜率之积为 - 4 5 , 求证:MON 的面积为定值. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x) = eax- x(a R,e 为自然对数的底数),g(x) = lnx + mx + 1. (1) 若 f(x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2) 当 a = 1 时,xf(x) + x
4、 g(x) 对任意的 x (0, +) 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 请考生在 22、23 二题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 已知点 A 为圆 C:(x - 1) 2 + y 2 = 1 上的动点,O 为坐标原点,过 P(0,4) 作直线 OA 的垂线 (当 A、O 重合时,直线 OA 约定为 y 轴),垂足为 M,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系. (1) 求点 M 的轨迹的极坐标方程; (2
5、) 直线l的极坐标方程为sin + 3 () = 4,连接OA并延长交l于B,求 OA OB 的最大值. 23. 选修 4 - 5:不等式选讲(本题满分 10 分) 已知函数 f(x) =x + 1. (1) 求不等式 f(x) 4 -2x - 3的解集; (2) 若正数 m、n 满足 m + 2n = mn,求证:f(m) + f( - 2n) 8. )页4共(页4第 )类医农工理(诊二学数 德阳市高中 2017 级“二诊”试题 数学参考答案与评分标准 (理工农医类) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号123456789101112 答案DACACABDCBDD 二、填空题(每
6、小题 5 分,共 20 分) 13. 3000 14. 24 15. 3 + 2 2 16. (12, +). 三、解答题 17. 解:(1) 21a1 + 2 2a 2 + 2 3a 3 + + 2nan= (n - 1)2 n+1 + 2 当 n = 1 时,21a1 = 2 a1 = 1 2 分 当 n2时,21a1 + 2 2a 2 + 2 3a 3 + + 2n-1an-1= (n - 2)2 n + 2 - 得:2nan= n2n an = n 适合 a1= 1,故 an = n. 6 分 (2) 1 anan+2 = 1 n(n + 2) = 1 2 1 n - 1 n + 2
7、() 8 分 Sn= 1 2 1 1 - 1 3 () + 1 2 - 1 4 () + 1 3 - 1 5 () + + 1 n - 1 n + 2 () = 1 2 1 + 1 2 - 1 n + 1 - 1 n + 2 () = n(3n + 5) 4(n + 1)(n + 2). 12 分 18. (1) 证明:设 AB 中点为 N,连接 MN、DN ABD 为等边三角形 DN AB DC = CB,DCB = 120 )页8共( 页1第案答)类医农工理(学数级7102高 CBD = 30 ABC = 60 + 30 = 90 即 CB AB DN AB DN BC BC 平面 PBC
8、,DN 平面 PBC DN 平面 PBC2 分 MN 为 PAB 的中位线 MN PB PB 平面 PBC,MN 平面 PBC MN 平面 PBC4 分 MN、DN 为平面 DMN 内二相交直线 平面 DMN 平面 PBC DM 平面 DMN DM 平面 PBC.6 分 (2) 解:设 BD 中点为 O,连接 AO、CO ABD 为等边三角形,BCD 是等腰三角形,且顶角 BCD = 120 AO BD,CO BD A、C、O 共线 PC BD,BD CO,PC CO = C,PC,CO 平面 PCO BD 平面 PCO.7 分 PO 平面 PCO BD PO 平面 PBD 平面 ABCD,交
9、线为 BD,PO 平面 PBD PO 平面 ABCD.8 分 设 AB = 2,则 AO =3 在 BCD 中,由余弦定理,得:BD2= BC2+ CD2- 2BCCDcosBCD 又 BC = CD 22= 2BC2- 2BC2cos120 CB = CD = 2 3 3 ,CO = 3 3 PD PB,O 为 BD 中点 PO = 1 2 BD = 1 )页8共( 页2第案答)类医农工理(学数级7102高 建立 直 角 坐 标 系 O - xyz( 如 图), 则 C - 3 3 ,0,0 () ,P(0,0,1),A( 3,0,0), B(0,1,0).9 分 BA = ( 3, - 1
10、,0),PA = ( 3,0, - 1) 设平面 PAB 的法向量为 n = (x,y,z),则 n BA = 0 n PA = 0 3x - y = 0 3x - z = 0 取 x = 1,则 y = z =3 n = (1, 3, 3) 10 分 平面 PAC 的法向量为OB = (0,1,0) cos = n OB n OB = 21 7 11 分 二面角 C - PA - B 为锐角 二面角 C - PA - B 的余弦值大小为 21 7 .12 分 19. 解:(1) 设“A市场需求量为90,100,110吨” 分别记为事件A1,A2,A3,“B市场需求量为 90,100,110
11、吨” 分别记为事件 B1,B2,B3,则 P(A1) = 0. 2,P(A2) = 0. 5,P(A3) = 0. 3 P(B1) = 0. 1,P(B2) = 0. 6,P(B3) = 0. 3.2 分 P(X 200) = P(A2B3 + A 3B2 + A 3B3) = P(A2)P(B3) + P(A3)P(B2) + P(A3)P(B3) = 0. 5 0. 3 + 0. 3 0. 6 + 0. 3 0. 3 = 0. 42.5 分 (2) X 可取 180,190,200,210,220 P(X = 180) = P(A1B1) = 0. 2 0. 1 = 0. 026 分 P(
12、X = 190) = P(A2B1 + A 1B2) = 0. 5 0. 1 + 0. 2 0. 6 = 0. 17 7 分 当n = 190时,E(Y)= (180 5 - 10 2) 0.02 + 190 5 (1 - 0.02)= 948.6 9 分 当 n = 200 时,E(Y) = (180 5 - 20 2) 0. 02 + (190 5 - 10 2) )页8共( 页3第案答)类医农工理(学数级7102高 0. 17 + 200 5 (1 - 0. 02 - 0. 17) = 985. 311 分 948. 6 m2 x1 + x 2 =- 10km 4 + 5k2,x 1x2
13、 = 5m2- 20 4 + 5k2 6 分 kOMkON=- 4 5 y1 x1 y 2 x2 =- 4 5 5y1y2+ 4x1x2 = 0 7 分 即(5k2+ 4)x1x2+ 5mk(x1 + x 2) + 5m 2 = 0 )页8共( 页4第案答)类医农工理(学数级7102高 (5k2+ 4)5m 2 - 20 4 + 5k2 + 5mk- 10km 4 + 5k2 () + 5m2= 0 整理得:2m2= 5k2 + 4 9 分 代入 得:m 0 MN=1 + k2(x1 + x 2) 2 - 4x1x2 =1 + k2- 10km 4 + 5k2 () 2 - 4 5m2- 20
14、 4 + 5k2 () = 4 51 + k 2 5k2+ 4 - m2 4 + 5k2 10 分 O 到 MN 的距离 d = m 1 + k2 11 分 SMON= 1 2 MNd = 2 5m5k2+ 4 - m2 4 + 5k2 = 2 5m2m2 - m 2 2m2 =5 综上:SMON=5 为定值.12 分 21. 解:(1) f(x) 有两个零点 关于 x 的方程 eax= x 有两个相异实根 由 eax 0,知 x 0 f(x) 有两个零点 a = lnx x 有两个相异实根.1 分 令 G(x) = lnx x ,则 G(x) = 1 - lnx x2 由 G(x) 0 得:
15、0 0 )页8共( 页5第案答)类医农工理(学数级7102高 当 x + 时,G(x) 0 3 分 f(x) 有两个零点时,实数 a 的取值范围为 0, 1 e () .4 分 (2) 当 a = 1 时,f(x) = ex - x 原命题等价于 xex lnx + mx + 1 对一切 x (0, +) 恒成立 m ex- lnx x - 1 x 对一切 x (0, +) 恒成立. 5 分 令 F(x) = ex- lnx x - 1 x (x 0) m F(x)min F(x) = ex+ lnx x2 = x2ex+ lnx x2 令 h(x) = x2ex+ lnx,x (0, +),
16、则 h(x) = 2xex + x 2ex + 1 x 0 h(x) 在(0, +) 上单增 又 h(1) = e 0,h 1 e ( ) = e 1 e -2 - 1 0,m + 2n = mn m + 2n = 1 2 (m2n) 1 2 (m + 2n) 2 4 m + 2n 87 分 当且仅当 m = 2n m + 2n = mn ,即 m = 4 n = 2 时取等号 f(m) + f( - 2n) =m + 1+- 2n + 1 m + 2n 89 分 当且仅当 - 2n + 1 0 即 n 1 2 时取等号 f(m) + f( - 2n) 8.10 分 )页8共( 页8第案答)类医农工理(学数级7102高
