1、第十二章 应力状态和强度理论12-1 应力状态的概念一、一点的应力状态构件上某点处各个方向的应力情况，称为这点的应力状态。研究应力状态的方法，叫做应力分析。二、应力状态单元体单元体的两个平行截面上的正应力数值相等，符号相同；单元体两正交截面上的剪应力数值相等，符号相反(如图12-1所示)。1.原始单元体如果某单元体三组平行截面上的应力均为已知，则称这个单元体为原始单元体。2.主单元体剪应力为零的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。图12-1若单元体的三组正交平面都是主平面，这个单元体称为主单元体。图12-2中点a，e处的两个原始单元体都是主单元体，三个正交平面上均无剪应力，是主平面。图
2、12-2三、应力状态的分类1.单向应力状态单元体为主单元体，且有两个主应力为零的应力状态称为单向应力状态。如图12-3(a)中(1)，(2)两个单元体均为单向应力状态单元体。单向应力状态也称为简单应力状态。2.二向应力状态单元体上有一个主应力为零的应力状态称为二向应力状态。如图12-3(b)中所示(3)，(4)两个单元体，前后两平面为主平面，且对应主应力为零，均为二向应力状态单元体。单向应力状态和二向应力状态单元体，可将单元体向主应力为零的主平面投影，简化为平面单元，以便于计算。如图12-3中(1)(4)所示下面一排均为上面一排单元体向主平面投影得到的平面单元。因此单向应力状态和二向应力状态又
3、统称为平面应力状态。3.三向应力状态单元体上三个主应力均不为零的应力状态称为三向应力状态。如图12-4所示两个单元体都属于三向应力状态。三向应力状态又称为空间应力状态。有时又将二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。图12-3图12-412-2 平面应力状态分析解析法设某平面应力状态的原始单元体如图12-5(a)所示，x截面上的正应力和剪应力分别记为x和x；y截面上的正应力和剪应力分别记为y和y；z截面为主平面，且对应的主应力z=0。一、任意斜截面上的应力斜截面AC的法线n与x轴夹角为，称为截面。(12-1a)(12-1b)图12-5二、应力极值及其作用平面1.正应力极值及其作用平面正应
4、力的极值平面是主平面，正应力的极值是主应力。主平面法线与x轴所夹的方位角0：利用图12-7中三角形关系，代入公式(12-1a)，化简后得到两个正交主应力的数值：(12-2)(12-3)图12-7图12-8其中max的方位与原始单元体上两个箭头相对的剪应力x,y的合矢量在同一个象限内，如图12-8所示。另一个主应力min则与max垂直。2.剪应力极值及其作用平面将式(12-1b)对变量求一阶导数，令其等于零，有 可得剪应力极值平面方位角1的计算公式：利用图12-10所示的三角形关系，代入式(12-1b)得剪应力极值计算公式：(12-4)(12-5a)比较公式(12-3)和(12-5a)，可得剪应
5、力极值的另一形式的计算公式：由于剪应力互等，所以一般只计算max。最大剪应力和最小剪应力的方向可由主应力1确定:max和min的合矢量与1沿同一象限。用图12-10所示的三角形关系，代入式(12-1a)得剪应力极值平面上的正应力1：(12-5b)(12-6)它说明剪应力极值平面上的正应力一般不为零，而且大小相等，符号相同。剪应力极值有时又称为主剪应力，其极值平面有时又称为主剪切面。与主单元的关系如图12-11所示。图12-10图12-1112-3 平面应力状态分析图解法一、应力圆的原理及作图1.应力圆方程2.原始单元上的基准面与应力圆上的基准点原始单元上，一般以x截面为基准面，应力圆上则以Dx
6、为对应x截面的基准点。3.应力圆的作图方法1)作正交轴系，为横轴，为纵轴。并定出适当的比例尺；2)由原始单元上的x,y作出对应的基准点Dx(x,x)；由原始单元上的y,y，作出对应点Dy(y,y)；3)作直线段连接Dx，Dy与轴交于C点，C点坐标()，为应力圆的圆心；图12-134)以C为圆心，为直径作圆。该圆为对应原始单元的应力圆。二、原始单元各斜截面与应力圆上点的对应关系1.截面与D点原始单元上，与基准面法线x轴方向夹角为的方向，为截面的法线方向，规定从x方向起，逆时针转向为正，反之为负。则在应力圆上，从基准点Dx起，顺的转向转过(2)的圆心角，所确定的点即为截面的对应点D(，)，如图12
7、-14所示。应注意的是，原始单元上角的转向与应力圆上(2)的转向必须一致，切不可弄反。2.主平面与点A图12-14如图12-15所示，由应力圆上Dx转到A1所夹的圆心角为()，则在原始单元的x方向顺相同转向转过0角的方向，即为1的方向。由于两个主应力正交，因此一般只需定出1的方向，即可作出主单元。图12-15平面应力单元有一个主应力为零，因此图12-15所示单元的3=0。若由原始单元作出的应力圆如图12-16(a)所示,则对应的主应力应为10,20，30；若由原始单元作出的应力圆如图12-16(b)所示，则对应的主应力应为1=0,023。这就要视具体情况来决定。3.剪应力极值平面和点E剪应力极
8、值平面与主平面夹45角，因此应力圆上对应点为过圆心C而与轴垂直的直径的两个端点E，E。剪应力极值为E，E的纵坐标，也等于应力圆的半径值，即而剪应力极值平面上的正应力一般不等于零，与圆心C的横坐标值相等：图12-16*12-4 三向应力状态简介一、三向应力状态的主应力与三向应力圆工程实际问题中，有时也会遇到三向应力状态问题，如低碳钢位伸实验中，“颈缩”部分处于三向拉伸的应力状态；滚珠轴承中滚珠与内环接触处，处于三向压缩的应力状态(见图12-18)。若一点处的主单元体和三个主应力已求出，如图12-19(a)所示，则可以由1,2,3作出这一点的三向应力圆：在轴上找到对应的三点A1,A2,A3，分别以
9、线段 为直径作圆，如图12-19(b)所示，即为这点的三向应力圆。三个应力圆与轴的交点对应三个主应力；三个应力圆有各自对应的剪应力极值点E1，E2，E3，但最大的剪应力图12-18图12-19其作用面与1，3的主平面夹45角。如图12-19(a)所示。二、有一个主应力已知的三向应力状态原始单元体有原始单元体上，若有一个主应力为已知，如图12-20(a)所示,z为主应力，可将该单元体向已知主平面投影，简化为平面单元，如图12-20(b)，用平面应力状态的分析方法求出平面内的两个主应力，与已知主应力z一起，排出这点的1,2,3,并可画出对应的三向应力圆，确定max。图12-2012-5 广义虎克定
10、律一、主单元体的广义虎克定律 (12-7)二、复杂应力状态的广义虎克定律 (12-8)12-6 强度理论及其应用一、强度理论的概念在复杂的受力构件中，引起破坏的原因一直是人们寻找的目标。通过长期的生产实践和实验研究，人们在观察、分析了大量的数据后逐渐认识到，材料破坏一般有两种形式：塑性的屈服破坏和脆性的断裂破坏。引起这两种破坏的因素很多，人们通过观察、实验，对引起破坏的主要因素提出了一些观点和假说，并通过实践验证，建立了几种较为合理的解释材料破坏原因的假说强度理论。由于材料性质不同,应力状态不同，构件的工作环境不同，会产生不同的破坏形式，使得强度理论还不能全面地、准确地概括所有的破坏形式，但它
11、们却在一定的范围得到较广泛的应用。随着科学的发展，新材料的不断出现和运用，强度理论也随之发展、完善。本章着重介绍几种工程上常用的经典强度理论。二、经典强度理论及其强度条件经典理论从各自的观点提出了引起材料破坏的原因，建立了复杂应力状态正的不破坏条件，与单向拉伸实验的极限状态进行比较，导出该强度理论相对应的强度条件，可统一用下式表示式中：eqi为根据不同强度理论建立的复杂应力状态的相当应力，是主应力1,2,3的某种组合。脚标i与相应强度理论对应。为根据拉伸实验确定的材料的许用应力。1.最大拉应力理论(第一强度理论)该理论认为材料破坏的主要因素是最大拉应(12-9)力1。无论何种应力状态，只要最大
12、拉应力1达到材料的极限应力值u时，就会引起材料的破坏。由此建立了第一强度理论的强度条件：因此第一强度理论的相当应力2.最大伸长线应变理论(第二强度理论)该理论认为材料的破坏与否，取决于最大伸长线应变1。当最大伸长线应变1达到某个极限值u时，材料就会被破坏。(a)在复杂应力状态下，由广义虎克定律材料的u可由单向拉伸实验确定则材料不被破坏的条件：1 u，可换算为第二强度理论的强度条件第二强度理论的相当应力3.最在剪应力理论(第三强度理论)该理论认为材料破坏与否，取决于最大剪应力max。不论在何种应力状态下，只要危险点处的最大剪应力max达到某个极限值u时，材料就会被破坏。对于复杂应力状态 ；由单向
13、拉伸实验可以确定：。由材料不被破坏的条(b)件：maxu，可以导出第三强度理论的强度条件：第三强度理论的相当应力4.形状改变比能理论(第四强度理论)第四强度理论的推导方法本书不予介绍，只介绍该理论的强度条件(c)以及相当应力总结以上四种经典强度理论，可将复杂应力状态下的强度条件用下面公式统一表达：强度条件：其中各理论对应的相当应力为(d)(12-10)三、四种经典强度理论的适用范围1.对于脆性材料，在双向拉伸的应力状态下，应选用第一强度理论；在三向位伸的应力状态下，无论是脆性还是塑性材料，都会发生脆性断裂破坏，宜用第一强度理论。但对塑性材料,由于单向拉伸实验不能得到其脆断的极限应力,一般对值要
14、作相应的调整。2.低碳钢是常用的工程塑性材料，对受力和结构都较简单的情况(如房屋结构中的钢结构等)，可以采用第四强度理论；对于受力和结构均较复杂的情况,如机械中的传动轴，化工、石油工业中的压力容器等，宜选用第三强度理论。3.在三向压缩的应力状态下，不论是脆性还是塑性材料，常呈现塑性屈服，一般采用第四强度理论进行强度计算。此时脆性材料的许用应力也要作适当调整。四、强度理论的应用举例一般工程构件中，除单向应力状态和纯剪切应力状态外，还有一种常见的平面应力状态如图12-24所示。平面弯曲的梁除上下边缘点为单向应力状态和中性层处为纯剪切状态外，其余的点均处于这种常见的平面应力状态。由于：x=，x=，y=0，因此主应力为对于塑性材料，用第三、四强度理论进行强度计算时，对应的相当应力表达式简化为图12-24(12-11)例 某钢构件危险点处应力状态单元体如图12-25所示，图中应力单位为MPa。已知材料的许用应力=160MPa，试校核该点的强度。解：塑性材料，宜用第三、四强度理论进行计算：x=120MPa，x=50MPa，y=0，该点的强度足够。在石油、化学工业中常用薄壁圆筒作承受内压的容器，一般用塑性材料制成，因此宜用第三、四强度理论进行强度计算。图12-25
