1、运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 例例3.1 某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？小？解：产销平衡问题：总产量解：产销平衡问题：总产量=总销量总销量500 设设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列运输量的运输量，得到下列运输量表：表：Min
2、C=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150 x13+x23=200 xij 0 (i=1、2；j=1、2、3）运输问题的一般形式：产销平衡运输问题的一般形式：产销平衡A1、A2、Am 表示某物资的表示某物资的m个产地；个产地；B1、B2、Bn 表示表示某物质的某物质的n个销地；个销地；ai 表示产地表示产地Ai的产量；的产量；bj 表示销地表示销地Bj 的销量；的销量；cij 表示把物资从产地表示把物资从产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价。设的单位运价
3、。设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：minjijijxcz11min njmixnjbxmiaxtsijjmiijnjiij,1;,1,0,1,1.11变化：变化：1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束约束条件（等式或不等式约束)；3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销）产销不平衡时，可加入假想
4、的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。地（产大于销时）。定理定理:设有设有m个产地个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为量数为m+n-1。表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯实质是单纯形法。形法。例例3.2 3.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：4321 BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？解：第解：第1步步 求初始方案求初始方案方法方法1：最小元素法：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调基本思想是
5、就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。运），然后次小，直到最后供完为止。311310192741058341633总的运输费总的运输费(31)+(64)+(43)+(12)+(310)+(35)=86元元元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。案。15510总运费是总运费是z=108+52+15
6、1=105最小元素法：最小元素法：51510总运费总运费z=105+152+51=85后一种方案考虑到后一种方案考虑到C11与与C21之间之间的差额是的差额是82=6，如果不先调运，如果不先调运x21，到后来就有可能，到后来就有可能x110，这，这样会使总运费增加较大，从而先样会使总运费增加较大，从而先调运调运x21，再是，再是x22，其次是，其次是x12用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。以也称为近似方案。方法方法2：Vogel法法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运）从运价表中分别计算出各行和各列的最小
7、运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。费的差额，并填入该表的最右列和最下行。3113101927410582）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。时，划去运价表中对应的行或列。重复重复1)和和2)，直到找出初始解为至。，直到找出初始解为至。3113101927410584321 BBBB321AAA711352154321 BBBB321AAA713527534321 BBBB321AA
8、A11351536312该方案的总运费该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记验数来判断，记xij的检验数为的检验数为ij由第一章知，求最小值的运由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种：求检验数的方法有两种：闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）位势法求检验数是根据对偶理论推导出来的一种方法。位势法求检验数是根据对偶理
9、论推导出来的一种方法。设平衡运输问题为设平衡运输问题为minjjiijxcZ11minnjmixnjbxmiaxijmijijnjiij,2,1,2,1,0,2,1,2,111；，设前设前m个约束对应的对偶变量为个约束对应的对偶变量为ui(i=1,2,m)，后，后n个约束对个约束对应的对偶变量为应的对偶变量为vj(j=1,2,n),则运输问题的对偶问题是则运输问题的对偶问题是4.2 运输单纯形法运输单纯形法 Transportation Simplex Methodminjjjiivbuaw11maxnjmivunjmiCvujiijji,2,1;,2,1,2,1;,2,1,无约束加入松驰变量
10、加入松驰变量ij将约束化为等式将约束化为等式:ui+vj+ij=cij记原问题基变量记原问题基变量XB的下标集为的下标集为I，由对偶性质知，原问题，由对偶性质知，原问题xij的检的检验数的相反数是对偶问题的松弛变量验数的相反数是对偶问题的松弛变量ij，当（当（i，j）I 时时 ij=0，因而有因而有IjivuCIjiCvujiijjiijji).(),(（解上面第一个方程，将解上面第一个方程，将ui、vj 代入第二个方程求出代入第二个方程求出ij4.2 运输单纯形法运输单纯形法 Transportation Simplex Method闭回路的概念闭回路的概念,132222111jsisjsi
11、jijijijixxxxxx称称集集合合1212(,)ssi iijjj其中；互不相同为一个闭回路为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表量的连线为闭回路的边。如下表例下表中闭回路的变量集合是例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31共共有有8个顶点，这个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。一条封闭的回路。一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90
12、度与另一顶点连接，表中的变量度与另一顶点连接，表中的变量x 32及及x33不是闭回路的顶点，不是闭回路的顶点，只是连线的交点。只是连线的交点。闭回路闭回路,123233434111xxxxxx例如变量组例如变量组 不能构成一条闭回路，不能构成一条闭回路，但但A中包含有闭回路中包含有闭回路 ,121131352521xxxxxxA ,31352521xxxx变量组变量组 变量数是奇数，显然不是变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；闭回路，也不含有闭回路；,2111123233xxxxxB 用位势法对初始方案进行最优性检验：用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由）由 ij=Cij-（Ui
13、+Vj）计算位势）计算位势Ui，Vj，因对基变量而言有，因对基变量而言有 ij=0，即，即Cij-（Ui+Vj）=0，令，令U1=02）再由）再由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数）计算非基变量的检验数 ij311310192741058436313当存在非基当存在非基变量的检验变量的检验数数 kl 0，说，说明现行方案明现行方案为最优方案，为最优方案，否则目标成否则目标成本还可以进本还可以进一步减小。一步减小。当存在非基变量的检验数当存在非基变量的检验数 kl 0 且且 kl=min ij时，令时，令Xkl 进进基。从表中知可选基。从表中知可选X24进基。进基。第第3步步 确
14、定换入基的变量确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量以进基变量以进基变量xkl为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量调整量，对应的基变量为出基变量，并打上对应的基变量为出基变量，并打上“”以示换以示换出作为非基变量。出作为非基变量。=min闭回路中各偶顶点运量闭回路中各偶顶点运量闭回路中偶顶点标负号，奇顶点标正号闭回路中偶顶点标负号，奇顶点标正号311197436 13,1minmin14,23 xx调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量整量，标有负号的变
15、量减去调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：优方案，如表此时最小总运费：Z=(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元311310192741058536312表上作业法的计算步骤：表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始
16、调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大的负检验数，用闭合找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为中最小者对应的变量为换入变量。换入变量。（2
17、）无穷多最优解）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。，则该问题有无穷多最优解。退化解：退化解：表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证，以保证有有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个任意空格处加一个0即可。即可。利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的利用进基变量的闭
18、回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过最小运量（超过2个最小值）作为调整量个最小值）作为调整量，选择任意一个最，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为以示作为非基变量。非基变量。1241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)如下例中如下例中11检验数是检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。，经过调整，可得到另一个最优解。114431377821060在在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选中任选一个变量作为基变量，例如选x34例：用最小元素法求初始可行解例：用最小元素法
19、求初始可行解目标函数求利润最大或营业额最大等问题。目标函数求利润最大或营业额最大等问题。minjijijxCZ11max njmixnjbxmiaxijmijijnjiij,2,1;,2,10,2,1,2,111，求解方法：求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为表为C，用一个较大的数，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个）去减每一个cij得得到矩阵到矩阵C，其中，其中C=（Mcij）0,将将C作为极小化问题的运作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。价表，用表上用业法求出最优解。例例3.3 下列矩阵下列矩阵
20、C是是Ai（I=1，2，3）到）到Bj的吨公里利润的吨公里利润,运输运输部门如何安排运输方案使总利润最大部门如何安排运输方案使总利润最大.ijijijccccM 10,10max/22取取得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。当总产量与总销量不相等时当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题称为不平衡运输问题.这类这类运输问题在实际中常常碰到运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。化为平衡问题再按平衡问题求解。当产大于销时，即：当产大于销时，即：minjjiba11数学模
21、型为：数学模型为：minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiij,2,1;,2,10,2,1,2,111，由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地销地Bn+1，bn+1作为一个虚设销地作为一个虚设销地Bn+1的销量的销量(即库存量即库存量)。各产地。各产地Ai到到Bn+1的运价为零，即的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的）。则平衡问题的数学模型为：
22、数学模型为：minjijijxcZ11min ,2,1,2,1,01,2,1,2,1111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij；具体求解时具体求解时,只在只在运价表右端增加运价表右端增加一列一列B Bn n+1+1，运价，运价为零为零,销量为销量为b bn n+1+1即可即可 当销大于产时，即：当销大于产时，即：minjjiba11 minjijijxCZ11min ,2,1;,2,1,0,2,1,2,111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij数学模型为：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时虚设
23、这时虚设一个产地一个产地Am+1，产量，产量为：为：miinjjab11销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于产化为平衡问题的数学模型为：minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiji,2,11,2,1,0,2,11,2,1111；具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产，运价为零。产量为量为am+1即可。即可。例例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。求下列表中极小化运输问题的最优解。4141160180ijjiba因为有：因为有：所以是一个产大于销的运输问题。表中所以是一个产大于销的运输问题。表中A
24、2不可达不可达B1，用一个，用一个很大的正数很大的正数M表示运价表示运价C21。虚设一个销量为。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，表的右边增添一列，得到新的运价表。，得到新的运价表。下表为计算结果。可看出：产地下表为计算结果。可看出：产地A4还有还有20个单位没有运出。个单位没有运出。3.生产与储存问题生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴
25、油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。解：解：设设 xij为第为第 i 季度生产的第季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那季度交货的柴油机数目，那么应满足：么应满足：交货：交货：x11 =10 生产：生产：x11+x12+x13+x14 25 x12+x22 =15 x22+x23+x24 35 x13+x23+x
26、33 =25 x33+x34 30 x14+x24+x34+x44 =20 x44 10把第把第 i 季度生产的柴油机数目看作第季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第个生产厂的产量；把第 j 季季度交货的柴油机数目看作第度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设个销售点的销量；设cij是第是第i季度生季度生产的第产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：由于产大于销，加上一个虚拟的销地由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。即可应用表上作业法求解。该问题的数学模型：该问题的数学模型：Min f=10.8 x11+10.95 x12+11.1 x13+11.25 x14+11.1 x22+11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33+11.15 x34 +11.3 x44 最优生产决策如下表，最小费用最优生产决策如下表，最小费用z773万元。万元。表上作业法解决下列运输问题：表上作业法解决下列运输问题：习题习题
