1、手指计数手指计数（伊朗，（伊朗，1966）结绳计数结绳计数（秘鲁，（秘鲁，1972）文字文字5000年年(伊拉克伊拉克,2001).文字与数字符号文字与数字符号古埃及的象形文字古埃及的象形文字纸草上的数学纸草上的数学（前（前3000年）年）还产生了如还产生了如106，107的数的数两河流域的楔形文字两河流域的楔形文字泥板上的代数（泥板上的代数（前四前四五千年）五千年）中国的甲骨文中国的甲骨文古代中美州古代中美州印加与玛雅印加与玛雅1212世纪前罗马数字世纪前罗马数字罗马数字罗马数字3888=MMMDCCCLXXXVIII简单累数简单累数制制记数记数数字符号出现后数字符号出现后,如何用符号记数有
2、多种如何用符号记数有多种算筹记数算筹记数位置制记数法（十进制）位置制记数法（十进制）纵横布置，表示整数，空位表示零纵横布置，表示整数，空位表示零印度印度阿拉伯数码（位置制记数法）阿拉伯数码（位置制记数法）婆罗米文字婆罗米文字 婆罗米数字是分级符号制婆罗米数字是分级符号制 位置记数法位置记数法 用空格表示零，后用点表示用空格表示零，后用点表示 后传入阿拉伯从而推广后传入阿拉伯从而推广进位制进位制巴比伦：巴比伦：6060进位，进位，6060以下简单累加，以下简单累加，6060以上位置制与简单累加混合。以上位置制与简单累加混合。印加与玛雅：印加与玛雅：2020进位，与上相似进位，与上相似其它进位制：
3、其它进位制：1212位，位，1616位，二进制位，二进制中国、古埃及、印阿数字：十进制中国、古埃及、印阿数字：十进制q 古代埃及古代埃及q 古巴比伦古巴比伦q 古代中国古代中国 河谷文明河谷文明 “四大文明古国四大文明古国”尼罗河：古埃及尼罗河：古埃及两河流域：巴比伦两河流域：巴比伦 恒河与印度河：古印度恒河与印度河：古印度黄河与长江：中国黄河与长江：中国 古埃及与古巴比伦的数学古埃及与古巴比伦的数学最为久远，古埃及（波斯与希最为久远，古埃及（波斯与希腊取代）与古巴比伦文化早已腊取代）与古巴比伦文化早已湮灭在历史的长河中，古印度湮灭在历史的长河中，古印度文明屡受摧残损失殆尽，希腊文明屡受摧残损
4、失殆尽，希腊和罗马也早已失去了往日的荣和罗马也早已失去了往日的荣耀与辉煌。惟中华文明薪火相耀与辉煌。惟中华文明薪火相传。传。古埃及的象形文字古埃及的象形文字 纸草书纸草书 ：莫斯科纸草书（约莫斯科纸草书（约BC1890BC1890年）年）2525题题 莱茵德纸草书（约莱茵德纸草书（约BC1650BC1650年）年）8484题题 纸草书纸草书 ：莱茵德纸草书莱茵德纸草书 莫斯科纸草书莫斯科纸草书埃及纸草书埃及纸草书（民主德国（民主德国,1981）1.1.记数法与四则运算记数法与四则运算 分级记数法（古埃及僧侣文记数）分级记数法（古埃及僧侣文记数）整数加减法很方便，分数较复杂，要化为整数加减法很方
5、便，分数较复杂，要化为单分数。乘法是累加法（倍乘）。还有乘单分数。乘法是累加法（倍乘）。还有乘法表。法表。2.2.假位法（试位法）假位法（试位法）例（莱茵德纸草书第例（莱茵德纸草书第2424题）题）一个量，加上它的七分之一等于十九，求一个量，加上它的七分之一等于十九，求这个量。这个量。例（莱茵德纸草书问题）例（莱茵德纸草书问题）一个量，其三分之二、二分之一和七分之一个量，其三分之二、二分之一和七分之一，加起来等于三十三，求这个量。一，加起来等于三十三，求这个量。例（莱茵德纸草书第（莱茵德纸草书第4040题）题）将一百个面包分配给五个人，使各人所得面包将一百个面包分配给五个人，使各人所得面包数成
6、等差数列，且头两人所得是后三人的七分之数成等差数列，且头两人所得是后三人的七分之一。求每人所得面包数。一。求每人所得面包数。例（莱茵德纸草书第（莱茵德纸草书第7979题）题）7 7 座房，每房座房，每房 7 7 只猫，每只猫抓只猫，每只猫抓 7 7 只鼠，每只鼠，每只鼠吃只鼠吃 7 7 赫卡特粮食，问房、猫、鼠、粮食总赫卡特粮食，问房、猫、鼠、粮食总数数.1.2.1 埃及数学五五 几几 何何 古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示 圆面积的计算公式是圆面积的计算公式是A=
7、A=，其中，其中d d 是直径。这就等是直径。这就等于取于取为为3.1604938273.160493827但也有取但也有取为为3 3（圆的面积可能（圆的面积可能正好在其内接正方形与外切正方形二者面积的当中）正好在其内接正方形与外切正方形二者面积的当中）四边形的面积公式：四边形的面积公式：（其中（其中a a、b b、c c、d d 依次表示边长）。依次表示边长）。高为高为h h、底边长为、底边长为 a a 和和 b b 的方棱锥的平头截体的体积的方棱锥的平头截体的体积公式：公式：V=V=289d 22a bc d223haa bb39Prof.Dr.rer.nat.Klaus-Dieter G
8、raf V I P pperimeter pdiameter ddpp for any circlep is a natural constanta very important proportion1.2.1 埃及数学六、埃及单分数六、埃及单分数 单分数，分子为的分数单分数，分子为的分数在在整数的符号上画一个简单的椭圆，就整数的符号上画一个简单的椭圆，就表示该整数的倒数。表示该整数的倒数。中只有中只有 有特殊符号，其它有特殊符号，其它的都分解为单分数。的都分解为单分数。1.1.的分解式的分解式32n2n2n2莱茵德纸草书的单分数分解式表莱茵德纸草书的单分数分解式表六、埃及单分数六、埃及单分数
9、2.利用 分解式的计算例（莱茵德纸草书第（莱茵德纸草书第7 70 0题）题）n2111100248211.342126求 除以 7+的商.答数是 12+7.297111117111.29624588723229529145例 将表示成单分数之和答数：六、埃及单分数六、埃及单分数3.由单分数引起的问题由单分数引起的问题（1）可分性）可分性 任何一个真分数总可以表示成不同单任何一个真分数总可以表示成不同单分数之和分数之和.英国数学家西尔维斯特英国数学家西尔维斯特（Sylvester，1814-1897）给出了将）给出了将0与与1之间的任何有理分数表成单分数之之间的任何有理分数表成单分数之和的算法和
10、的算法西尔维斯特算法西尔维斯特算法 1 求小于给定分数的最大单分数（即有最求小于给定分数的最大单分数（即有最小分母的那个单分数）小分母的那个单分数）2 从给定分数中减去此单分数从给定分数中减去此单分数 3 求小于所得差的最大单分数求小于所得差的最大单分数 4 继续减，并且继续此程序继续减，并且继续此程序 为了求小于给定分数的最大单分数，以给定分数为了求小于给定分数的最大单分数，以给定分数的分子除该分数的分母，并且取大于该商的次一的分子除该分数的分母，并且取大于该商的次一个整数作为所要找的单分数的分母个整数作为所要找的单分数的分母六、埃及单分数六、埃及单分数3.由单分数引起的问题由单分数引起的问
11、题（2）多样性）多样性 任何一个真分数有无穷多种方式表示成不同单分任何一个真分数有无穷多种方式表示成不同单分数之和数之和 是否任何一个真分数都可表示为两个单分数之和？是否任何一个真分数都可表示为两个单分数之和？反例反例 4511111nnnn几个常见分解公式几个常见分解公式2111122221122211326211211211nnn nnpqnp pqq pqnpqkkkmkmkmmk，为奇数；，、为 的奇因数；六、埃及单分数六、埃及单分数3.由单分数引起的问题由单分数引起的问题（3）最优分解问题最优分解问题 项数最少项数最少 最大分母最小最大分母最小 分母的和最小分母的和最小 运算最简单运
12、算最简单六、埃及单分数六、埃及单分数4.单分数在今天单分数在今天 研究单分数的特性己成为数论中一项内容研究单分数的特性己成为数论中一项内容丰富的专题丰富的专题 民间趣题民间趣题 单分数与高考题单分数与高考题11117239一老头有头牛，遗嘱长子分得，次子，幼子，问三个儿子各分得多少头牛？2006年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科15题题2006年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科15题题解题思路解题思路作业作业71.2922.45 写出的一个较简单的单分数分解式 将写成两个不同单分数之和（至少写出五种表达式）.泥版楔形文泥版楔形文 普林顿普林顿322苏美尔计数泥版苏美尔计数泥版(文达文达,1982)
13、1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三、算术与代数问题三、算术与代数问题 2 开方开方 古巴比伦人擅长于计算，他们创造了许多成熟的算古巴比伦人擅长于计算，他们创造了许多成熟的算法，开方计算就是有代表性的例子之一这种开方程序法，开方计算就是有代表性的例子之一这种开方程序既简单又有效：设既简单又有效：设 是所求平方根，并设是所求平方根，并设 是这是这根的首次近似；由方程根的首次近似；由方程 求出第二次近似值求出第二次近似值 ，若若 偏小，则偏小，则 偏大，反之亦然取平均值偏大，反之亦然取平均值 为下一步近似，因为为下一步近似，因为 总是偏大，再下一步近似总是偏大，再下一步近似 必偏小，取算
14、术平均值必偏小，取算术平均值 将得到更好的结将得到更好的结果这一过程实际上可以无限继续下去耶鲁大学收藏果这一过程实际上可以无限继续下去耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥版，其上载有的一块古巴比伦泥版，其上载有 的近似值，结果精的近似值，结果精确到六十制三位小数，是相当精确的逼近确到六十制三位小数，是相当精确的逼近.xa1a11/ba a1b1b1a2111()2aab2a22/ba a3221()2aab2华东师大华东师大数学分析（第三版）数学分析（第三版）上册上册第二章总复习题第二章总复习题 1117.002112.2nnnnaaaaaanax设，证明数列收敛，且其极限为2002年高考数学北京卷理
15、科第年高考数学北京卷理科第19题题 数列数列 由下列条件确定：由下列条件确定：（）证明：对）证明：对n2，总有，总有 ；（）证明：对）证明：对n2，总有，总有 ；（）若数列）若数列 的极限存在，且大于零，的极限存在，且大于零，求求 的值的值 nx.),(21,011Nnxaxxaxnnnaxn1nnxx nxnnxlim2002年高考数学北京卷理科第年高考数学北京卷理科第19题题解答解答2002年高考数学北京卷理科第年高考数学北京卷理科第19题题 解答解答2002年高考数学北京卷理科第年高考数学北京卷理科第19题题 解答解答1.2.2 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三、算术与代数
16、问题三、算术与代数问题 4 4 复利问题复利问题 有一笔钱，年利率为有一笔钱，年利率为2020，问多长，问多长 时间利息与本金相同。时间利息与本金相同。答数：答数：3 3；4747，1313，2020即即 2347132033.7876060601.2.2 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三、算术与代数问题三、算术与代数问题 5 5 方程方程例例 已知两数互为倒数，差为已知两数互为倒数，差为7 7，求这两数，求这两数 22607600777601222xyxxxyx相当于求解即，题中给出的算法相当于 与我们今天的求根公式一致1.2.2 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三
17、、算术与代数问题三、算术与代数问题 5 5 方程方程例例 如果某正方形的面积减去其边长得如果某正方形的面积减去其边长得1414，3030（即（即1414*60+30=87060+30=870），求边长。），求边长。例例 相当于解相当于解21176.25xx1.2.2 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三、算术与代数问题三、算术与代数问题 4 4 方程方程 美索不达米亚人还讨论了某些三次方程（通美索不达米亚人还讨论了某些三次方程（通过变换与查表解决）和双二次（四次）方程。过变换与查表解决）和双二次（四次）方程。泥版书上列着上百个没有解决的包含方程组泥版书上列着上百个没有解决的包含方程组
18、的问题，如的问题，如 22260015010000 xyxyxyxyabxcydyx 泥石板上的代数：泥石板上的代数：求解二次方程，求解二次方程，指数方程指数方程1.2.2 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学三、算术与代数问题三、算术与代数问题 6 6 级数级数 公元前公元前300300年的一块泥版书上记载着两个年的一块泥版书上记载着两个有趣的级数问题：有趣的级数问题：299922221 22222112123101105538533 1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学4 4几何几何1 1 面积面积 掌握掌握三角形、梯形等平面图形的三角形、梯形等平面图形的面积面积 求四边形
19、面积的方法同埃及人求四边形面积的方法同埃及人2 2 体积体积 会求棱柱、平截头方锥等立体图形的体会求棱柱、平截头方锥等立体图形的体积，平截头方锥体积公式为积，平截头方锥体积公式为 222212323ababhVhaabb 可化为V=1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学4 4几何几何3 圆周率圆周率 通常取通常取3（认为圆周平方的（认为圆周平方的 为为圆面积）圆面积）后考古发现，后考古发现，1936年出土的泥版书给出：年出土的泥版书给出：11 225736240 57 36606025253.1258p正六边形与其外接圆周长之比等于；，由此可推出1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数
20、学四四 几何几何4 4 一些几何结论一些几何结论 美索不达米亚人知道美索不达米亚人知道两个相似的直角三角形的对应边成比例两个相似的直角三角形的对应边成比例过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边内接于半圆的角是直角内接于半圆的角是直角勾股定理勾股定理 一块泥版书记载下题一块泥版书记载下题 倚墙而立的木杆长倚墙而立的木杆长3030，若上端下滑，若上端下滑6 6，问其下端将，问其下端将移离墙多远？移离墙多远？1.2.2 美索不达米亚数学美索不达米亚数学5勾股数勾股数 编号为编号为“普林顿普林顿322”的泥版书（的泥版书（BC1900-BC1600）记载有记载
21、有15组勾股数：组勾股数：12011916934563367 4825480046016649135001270918541726597360319481270022913541960799124960048176964804961816160457524001679292924016128927001771322990，56，1062007年湖北卷理科第年湖北卷理科第21题题 2007年湖北卷理科第年湖北卷理科第21题题 解答解答2007年湖北卷理科第年湖北卷理科第21题题 解答解答2007年湖北卷理科第年湖北卷理科第21题题 解答解答作业用美索不达米亚算法计算用美索不达米亚算法计算 （精确到（精确到0.0001）附附 =1.7320533
