1、 在我们了解了电子在晶体周期势场中运动的本征态和在我们了解了电子在晶体周期势场中运动的本征态和本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问题了，由于周期势场的作用，题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和晶体中的电子的本征能量和本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完全不同于自由电子，我们称之为全不同于自由电子，我们称之为 Bloch 电子电子。首先分析一。首先分析一下它和自由电子的区别及其一般特征下它和自由电子的区别及其一般特征。一.Bloch 电子的准经典描述电子的
2、准经典描述 波包与电子速度波包与电子速度 电子的准动量电子的准动量2 电子的加速度和有效质量电子的加速度和有效质量见黄昆书见黄昆书5.1节节p237第七篇第七篇 晶体中电子的运动特征晶体中电子的运动特征 一一.Bloch 电子的准经典描述：电子的准经典描述：当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得多。因为晶体周期场强度一般相当于 108 V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：u 求求解含外场的单电子波动
3、方程。解含外场的单电子波动方程。u 或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动 当作准经典粒子来处理。当作准经典粒子来处理。通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解求解含外场的波动方程，但只能近似求解。222UVEm r含外场的波动方程含外场的波动方程外场较弱且恒定。外场较弱且恒定。不考虑电子在不同能带间的跃迁。不考虑电子在不同能带间的跃迁。不考虑电子的衍射、干涉及碰撞不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。另一种方法是在：等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我
4、们乐于采用。来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用。经典粒子同时具有确定的能量和动量经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个量子力学中这个态就要用一个“波包波包”来来代代表表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在 r0 附近的r 范围内，动量取值在 附近的 范围内，满足测不准关系。把波包中心 r0 看作该粒子的位置，把 看作该粒子的动量。晶体中的电子，可以用其本征函数晶体中的电子，可以用其本征函数 Bloch波组成波包，波组成波包，从而当作准经典粒子来处理。从而当作准经典粒子来处
5、理。0kkr k 0k二二.波包与电子速度：波包与电子速度：在晶体中，电子的准经典运动可以用 Bloch 函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间因子的Bloch 函数。首先考虑于一维情况。设波包由以 k0为中心，在 k 的范围内的波函数组成，并假设假设 k 很小，可很小，可近似认为近似认为 0kkuxux不随 k 而变。对于一确定的 k，含时间的Bloch函数为,i kxtkkx teux /kE k 把与 k0 相邻近的各 k 状态叠加起来就可以组成与量子态 k0 相对应的波包：波包 0202,dkkki kxtkkx teuxk 02002dkkki kxt
6、kkuxek令0kk 00ddkkk 000022d,expddkki k xtkkx tux ei xtk 0000022sinki k xtkkkddkddkxtux ext 0kkuxux为分析波包的运动，只需分析 2，即几率分布即可。0002222d2dd2dsin,kkkkkkkxtx tuxkxt令0ddkwxtkw2k2k0222sinkkww波函数集中在尺度为 的范围内，波包中心为：w0。2k有00d1 dddkkExttkk若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为00d1 dddkxEv ktk E kk 布里渊区的宽度：2/a，而假设假设 k 很小，一般要求很小，一般要求即推
7、广到三维情况，电子速度为1Ekvak2ak2注意注意，这里给出了把 Bloch 波当作准经典粒子处理的条件。由于Bloch 波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围k应是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制在第一布里渊区内，因为测不准关系2xxpxkx ak2xa 这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体中的电子当作
8、准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。处于波包中心处粒子所具有的平均速度。附录：更简明的说明：附录：更简明的说明：量子力学告诉我们，晶体中处于 状态的电子，在经典近似下，其平均速度相当于以 k0为中心的波包速度，而波包的传播速度是群速度：量子力学中的德布罗意关系：所以电子的平均速度：gkvkE 1 E kvk0k考虑到不同能带的电子，晶体中电子速度的一般表述：)(1)(kEknkn 这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是：晶体中电子的平均晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关，对时间和速度只与能量和波矢
9、有关，对时间和空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子不会被静止的原子所散射，严格周期性晶体的电阻率为零。不会被静止的原子所散射，严格周期性晶体的电阻率为零。这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生散射而影响电子的平均（漂移）速度的概念完全不同。散射而影响电子的平均（漂移）速度的概念完全不同。下一节还将仔细分析这种情况。换句话说：若电子处于一个确定的状态若电子处于一个确定的
10、状态 时，只要晶格的时，只要晶格的周期性不变，则永远处于这个态，因此，只要这种情况不变，周期性不变，则永远处于这个态，因此，只要这种情况不变，则电子将以同样的速度在整个晶体中不断运动，而不被任何晶则电子将以同样的速度在整个晶体中不断运动，而不被任何晶格所阻碍格所阻碍，即电子速度是一个常数，因为，即电子速度是一个常数，因为晶格对传播速度的影晶格对传播速度的影响，都已经通过能量响，都已经通过能量 包括在内了。包括在内了。当然，晶格对周期性的偏离会引起电子的散射，使它的速度发生变化，例如，电子在热振动的晶格中运动，会和声子多次碰撞，对电子的速度产生极大影响；此外，外加电场和磁场也会对电子运动速度带来
11、变化，以后将陆续讨论到这些情况。k nEk这个公式还表明：电子速度的方向为电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一般情况下一般情况下，在 k 空间中，等能面并不是球面，因此，v 的方向一般并不是的方向一般并不是 k 的方向。的方向。下图比较准下图比较准确地反映了确地反映了Bloch 电子的这一特点。电子的这一特点。只有当等能面为球面，或或在某些特殊方向上，v 才与 k 的方向相同。电子运动速度的大小与 k 的关系，以一维为例说明在能带底和能带顶，E(k)取极值，d0dEk因此，在能带底和能带顶，
12、电子速度 v0。E(k)v(k)而在能带中的某处：电子速度的数值最大，这种情况与自由与自由电子的速度总是随能电子的速度总是随能量的增加而单调上升量的增加而单调上升是完全不同的。是完全不同的。22d0dEk上页图取自黄昆书图 5-2，右图表示的更准确，一维晶格的能带结构（上图）相应的电子速度（下图），虚线表示自由电子的速度。这种变化可用NEF模型来解释：在区心处，电子可以用平面波描写，因而速度成线性变化，但随着k 值的增加，自由波受晶格散射波的影响越来越大，散射波对入射波的消弱越来越明显，直到布里渊区边界，强的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度为零。这个结果和一切幅射波在有周期性的晶
13、体中的传播是一样的。三三.电子的准动量电子的准动量 ：在外场中，电子所受的力为F，在 dt 时间内，外场对电子所做的功为 Fv dt根据功能原理，有dddtEE kF vk1Ekvd0dtkFv在平行于 v 的方向上，dk/dt 和 F 的分量相等；当F 与速度 v 垂直时，不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。k ddt kF上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。k 是电子的准动量是电子的准动量，准动量不是严格意义上的 Bloch电
14、子的动量，严格意义上的动量的变化率等于作用在严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力。晶格势场的作用被包含在准动量中。是是Bloch 电子准动量的另一种说明：电子准动量的另一种说明：对于自由电子，k=p 就是电子的动量。)()(ruiekrueiinkrk inknkrk ink对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述，动量算符作用下：)()(rkeirirk i这表明 Bloch波不是动量算符的本征函数波不是动量算符的本征函数。在晶
15、体周期场中，k 是动量概念的扩展，称为准动量准动量或电子晶格动量电子晶格动量。k四四.电子的加速度和有效质量电子的加速度和有效质量 晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用 Bloch 波包的中心位置代替。波包的中心位置代替。准经典运动的基本关系式：此外，假定能带指标 n 是运动常数，即电子总是呆在同一能带中，忽略电子在能带之间的跃迁。d1()()dd(,)()(,)dnknnrkE ktkFe E r tkB r tt 相当于牛顿第二定律相当于牛顿第二定律从电子
16、运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况22222dddd1 d1 dddddddEkvEkEFattktk引入电子的有效质量有效质量：222ddEkm 由于周期场的作用，当把加速度在形式上写成仅由外力引起的形式时，外力与加速度之间的关系显然不是由电子的惯性质量所联系的，而必须引入一个有效质量的概念，它计入了周期场的影响它计入了周期场的影响。ddvFmt有由于周期场中电子的能量 E(k)与 k 的函数关系不是抛物线关系，因此，电子的有效质量不是常数，电子的有效质量不是常数，m*与与 k 有关有关。在能带底，22d0dEkE(k)取极小值，这时，m*0；E(k)取极大值
17、，22d0dEk所以，m*0，反之，当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，m*0，当电子从外场获得的动量全部传递给晶格时，m*。此时电子的平均加速度为零。从上式还可以看出：电子加速度的方向为外场力和电子加速度的方向为外场力和晶格力的合力方向，并不一定和外力方向一致。晶格力的合力方向，并不一定和外力方向一致。自由电子Bloch 电子量子数k (量子化取值无限制）n,k（取值在第一布里渊区）能量 能量分为能级 一般没有简单形式为平面波为Bloch 波 222kEm nEk波函数1ik rkeV,ik rn kn keur 没有确定的简单形式，,n kur,n kn knururR但和晶格具有同样的周期性自由电子 Bloch 电子kvm)(1)(kEknkn
