1、1/6/20231金 融 数 学山东财经大学统计与数理学院谭 璐1/6/2023金融数学2课程定位n金融原理的数学方面n规范金融数学n实证金融数学n金融原理的使用方面n金融应用：如何降低风险、增加收益进行最优配置n面向精算师考试所涉及的金融数学内容1/6/2023金融数学3金融数学所涉及数学知识o分析方面：微积分数学分析实分析o代数方面：泛函分析o概率方面：随机过程o数理统计方面：数理统计现代统计理论方法、时间序列分析等o高等概率论：o随机分析：连续时期金融数序1/6/2023金融数学4一些好的教材和参考书o金融经济学十讲 史树中o数理金融初步 Sheldon M.Rosso金融数学金融工程引
2、论 Marek and Tomaszo金融市场中的统计模型和方法 黎子良：强调数学公理化方法在金融中的应用。1/6/2023金融数学5主要内容n未定权益空间、策略空间等；n完全市场、不完全市场等；n风险对冲、收益率等；n一价定律、无套利机会、随机折现因子等；nn资产定价模型n资本资产定价模型；nMarkowitz证券组合选择模型等；n1/6/2023金融数学6课程目的（1）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；（2）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用；（3）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今 后的大学生涯有一个很好的认识和规划；（4）通过课程的学习，期望能对同学们今后
3、的生活方式 和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生 一定的积极影响。1/6/2023金融数学7导 论1/6/2023金融数学8导 论在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：。金融发展史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数学（Financial Mathematics）应运而生。1/6/2023金融数学9金融学。这种定价不是通过考虑经济活动者的行为以及各种经济条件来进行的，而更多的是通过一部分金融资产的价格来为另一部分的金融资产定价。其依据是这些金融资产未来不确定性
4、之间的依赖关系。：金融资产组合的价值=金融资产价值的组合1/6/2023金融数学10金融数学 金融数学是一门新兴的边缘科学,是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命（）的基础上产生和发展起来的,其核心问题是。1/6/2023金融数学11金融数学基础理论（1）Markowitz的证券组合选择理论；（2）资本资产的定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）；（3）套利定价理论（APT，Arbitrage Pricing Theory）；（4）Black-Scholes 期权定价公式。1/6/2023金融数学12第一次华尔街革命 在20世纪初,金融学就已作为一
5、门独立的学科而存在,其关注点在于机制和法律方面,没有精致数量分析，一般认为金融学从一门描述性的科学向分析型的科学的转变始于马柯维茨在1952年提出的关于投资组合的“均值方差”理论。该理论为风险和回报的权衡提供了可行的量化手段。1/6/2023金融数学13第一次华尔街革命（续）考虑这样的问题假如某投资者同时对多种股票进行投资,那么为减少风险,怎样的投资组合将是最好的，即“买什么”和“买多少”。为此,他们引入了定量的方法,把投资组合中的股票价格视为随机变量,以它的均值来衡量收益,以它的方差来衡量风险,利用相关系数表示证券之间的关联情况。方差反映了收益的不确定性,方差越大,表示实际收益与期望收益的差
6、异越大。求收益一定而风险最小,或者,风险一定而收益最大的投资组合问题,就归结为一个线性约束下的二次规划问题。1/6/2023金融数学14第二次华尔街革命 从70年代以来,随着布雷顿森林协议的垮塌,浮动汇率取代了固定汇率。金融市场上开始了一系列金融创新,产生了许多金融衍生工具。最基本的有期权、期货、远期等。金融衍生工具引入市场的主要作用是风险管理。当然会不可避免地被某些市场参与者用于金融投机。要对风险进行有效的管理,就必须为金融工具提供精确的定价方法。1/6/2023金融数学15 以期权为例，期权是一种权利但不是责任。期权的持有以期权为例，期权是一种权利但不是责任。期权的持有者具有在某一特定时间
7、或时间段内按某一预先确定的价格购者具有在某一特定时间或时间段内按某一预先确定的价格购买或出售某项资产如股票、商品、外汇、金融指数等的权利。买或出售某项资产如股票、商品、外汇、金融指数等的权利。持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收益。比如益。比如,对一份标准的欧式看涨期权只在到期时刻才能执对一份标准的欧式看涨期权只在到期时刻才能执行行,如果到执行时刻时标的资产的价格高于执行价格如果到执行时刻时标的资产的价格高于执行价格,那么该那么该期权的收益就是差价，否则期权的收益就是差价，否则,收益为零。那么收益为零。那么,期权买方该向期权买
8、方该向卖方支付多少卖方支付多少“期权费期权费”以获得这种权利这就是期权定价以获得这种权利这就是期权定价”问题。为了获得准确的期权定价公式问题。为了获得准确的期权定价公式,金融学家和数学家竟金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。然花了半个多世纪的时间。第二次华尔街革命（续）1/6/2023金融数学16被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C Merton)曾这样说过：。导 论1/6/2023金融数学17一、金融与金融数学（金融）是一个经济学的概念和范畴。通常，“”是指资金，“”是指融通，“”则指资金的融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具
9、、机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的重要组成部分。：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。1/6/2023金融数学181/6/2023金融数学19微观金融分析和宏观金融分析分别从个体和整体角度研究金融运行规律。金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。”金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风险转移和控制等。一、金融与金融数学（金融）1/6/2023金融数学20 宏观金融分析从
10、整体角度讨论金融系统的运行规律，重点讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体系等问题。一、金融与金融数学（金融）1/6/2023金融数学21完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。一、金融与金融数学（金融）1/6/2023金融数
11、学22金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。一、金融与金融数学（金融数学）：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。：研究运作“金钱”事务的科学。：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在。1/6/2023金融数学23 金融数学是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交易，金融数学则是通过建立证券市场的数学模型，研
12、究证券市场的运作规律。金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论 及动态投资组合理论。一、金融与金融数学（金融数学）1/6/2023金融数学24：p风险管理p效用优化：p随机分析p数理统计p特别是非线性时间序列分析。一、金融与金融数学（金融数学）1/6/2023金融数学25一、金融与金融数学（金融数学）：1/6/2023金融数学26：。如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。：。如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。一、金融与金融数学
13、（金融数学）1/6/2023金融数学27：第一个时期为发展初期：代表人物有阿罗（K.A rrow）、德布鲁（G.Debreu）、林特纳（J.Lintner）、马柯维茨（H.M.Markowitz）、夏普（w.Sharp）和莫迪利亚尼（F.Modigliani）等。二、金融数学的发展历程1/6/2023金融数学28 尽管早在1900年，法国人L巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星，因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家手中流传（奠定了现代金融学发展
14、的基调）。发展初期1/6/2023金融数学29发展初期马科维茨(HMarkowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也。稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。1/6/2023金融数学30 这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理
15、论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利理论联系起来。发展初期1/6/2023金融数学31 这一时期是，主要代表人物有莫顿（R.Merton）、布莱克（F.Black）、斯科尔斯(M.Scholes）、考克斯（J.Cox）、罗斯（.Ros
16、s）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）、莱克(S.Lekoy）、卢卡斯（D.Lucas）、布雷登（D.Breeden）和哈里森（J.M.Harrison)等。第二个时期为1969-1979 年1/6/2023金融数学32 首先，。在夏普-林特纳-莫辛单期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态分析扩充至离散时间的多期分析，
17、得到了跨期CAPM。莫顿(Merton，1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。第二个时期1/6/2023金融数学33第二个时期 1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的，以及莫顿(Merton，1973)对该定价公式的发展和深化。在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and K
18、reps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，。同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法开始使用。1/6/2023金融数学341980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲（D.Duffie）、卡瑞撤斯（I.Karatzas）、考克斯（J.Cox）、黄（C.F.Huang）等。第三个时期1/6/2023金融数学35 1980年代以后，在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位置，达菲和黄(Duffl
19、e and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱克-斯科尔斯模型。在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克(Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。第三个时期1/6/2023金融数学36三、金融数学的结构框架1/6/2023金融数学37 ，阐述了金融数学的基本数学方法和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学在金融数学中的应用。，阐述了资本资产定价模型和期权定价模型。，阐述了金融数学在货币市场、外汇市场、证券市场的应用。三、金融数学的结构框架
