1、1.1 1.1 回归分析的基本思想回归分析的基本思想 及其初步应用及其初步应用永昌一中 赵珊 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+ey=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e e，因，因变量变量y y的值由自变量的值由自变量x x和随机误差项和随机误差项e e共同确定，即共同确定，即自自变量变量x x只能解析部分只能解析部分y y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x x称为称为解析变量解析变量，因变，因变量量y y为为预报变量预报变量。残差残差数据点和它在回归直线上相应位置的差异数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（称为相应于点（x xi i
2、，y yi i）的的残差残差。iiieyy=例：编号为例：编号为6 6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）的女大学生，计算随机误差的效应（残差）61(0.849 16585.712)6.627残差平方和残差平方和 把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：示为：21()niiiyy称为称为残差平方和残差平方和在例在例1 1中，残差平方和约为中，残差平方和约为128.361128.361。表表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。及相应的残差数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与
3、残差图的定义：我们可以通过残差我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差残差图图。残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以
4、有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据
5、采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是n n2 2i ii i2 2i i=1 1n n2 2i ii i=1 1(y y-y y)R R=1 1-(y y-y y)显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模
6、型拟合的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。效果越好。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较则可以通过比较R R2 2的值来做出选择，即的值来做出选择，即选取选取R R2 2较大的模型作为较大的模型作为这组数据的模型这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标
7、。在线性模型中，它在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力代表自变量刻画预报变量的能力。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1 1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。是预报变量。（2 2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3 3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性
8、关系，则选用线性回归方程y=bx+ay=bx+a）.（4 4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5 5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。检查数据是否有误，或模型是否合适等。讨论讨论1：建立回归模型的基本步骤？建立回归模型的基本步骤？讨论讨论2：对于非线性变量如何选取适当回归模对于非线性变量如何选取适当回归模型。型。讨论讨论
9、3：如何对所选取的回归模型进行检测？：如何对所选取的回归模型进行检测？（9分钟）分钟）要求：要求：组长负责全员参与，分工协作。组长负责全员参与，分工协作。先比对答案，然后探讨解题思路，总结解题规律先比对答案，然后探讨解题思路，总结解题规律 方法。方法。（8分钟）分钟）要求：要求：展示同学要大声，规范，清晰，迅速展示同学要大声，规范，清晰，迅速（黑板展示需在（黑板展示需在2323分钟内书写完）分钟内书写完）请同学们认真聆听，用红笔记录重点、疑惑点，请同学们认真聆听，用红笔记录重点、疑惑点，并主动进一步完善和补充，质疑。并主动进一步完善和补充，质疑。练习练习1 在一段时间内，某中商品的价格在一段时
10、间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件件之间的一组数据为：之间的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 练习练习1 在一段时间内，某中商品的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之件之间的一组数据为：间的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明
11、拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非
12、线性回归问题假设线性回归方程为：=bx+a选 模 型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r20.8642=0.7464估计参数 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y=19.8728-463.73 93一元线性模型 y=bx2+a 变换 y=bt+a非线性关系 线性关系方案2选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？-200-10001002003
13、00400-40-30-20-10010203040 产卵数气温如何求a、b？t=x2二次函数模型方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=
14、0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t 变换 y=bx+a非线性关系 线性关系21c xyce-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温指数函数模型方案3方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912
15、15 18 21 24 27 30 33 36 39xz当x=28oC 时，y 44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为0.272x-3.849.ye22111221lnln()lnlnlnlnlnc xc xycececc xec xc 对数变换：在 中两边取常用对数得21c xyc e令 ，则 就转换为z=bx+a.12ln,ln,zy ac bc21c xyc e z=0.272x-3.849,相关指数R2=0.98最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数气温-5005
16、0100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型比一比最好的模型是哪个?一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1 1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。是预报变量。（2 2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3 3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+ay=bx+a）.（4 4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5 5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。检查数据是否有误，或模型是否合适等。当堂检测整理提纲
