1、三垂线定理三垂线定理pO 自一点向平面引垂自一点向平面引垂线，线，叫做这点在这叫做这点在这个平面上的个平面上的；这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的面的。Q 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但，但不和这个平面垂不和这个平面垂直直，这条直线叫做这个平，这条直线叫做这个平面的面的，斜线和平面的，斜线和平面的交点叫做交点叫做。斜线上一点与斜足间斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平的线段叫做这点到这个平面的面的。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做；垂足与斜
2、足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的。斜线上任意一点斜线上任意一点在平面上的射影，一在平面上的射影，一定在斜线的射影上。定在斜线的射影上。ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点从平面外一点向这个向这个平面所引的垂线段和斜线平面所引的垂线段和斜线段段AB、AC、AD、AE中，那一条最短？中，那一条最短？ACB OOB=OC AB=ACOBOC AB ACAB=AC OB=OCAB AC OBOC 射影相等的两条斜线段相等，射影射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的相等的斜线
3、段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长斜线段的射影也较长从平面外一点从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段向这个平面所引的垂线段和斜线段及其它们在该平面内的射影：及其它们在该平面内的射影：ACB O 定理定理 一一点点向这个平面所引的向这个平面所引的垂线段和斜线段中，垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短OaAP 已知已知 PO、PA分别分别是平面是平
4、面 的垂线、斜的垂线、斜线，线，OA是是PA在平面在平面 上的射影。上的射影。a ，aOA。求证：求证：aPA 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。OaAPPO a aPAOAaa平面平面PAOPO a PA 平面平面PAO123证明：证明：PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PA
5、Oa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直PAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线 异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题指导三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由由已知已知一垂、二垂一垂、二垂推出推出第三垂，第三垂
6、，并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件PAOa解题指导 PCBAO练习练习1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC练习练习2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：已知：PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点 求
7、证：求证：POBD，PCBD(3)已知：在正方体已知：在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形正方形ABCD所在平所在平面，面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD又又AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影 POBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC
8、在在ABCDABCD上的射影上的射影 PCBDPMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMBCAM证明证明:PB=PCM是是BC的中点的中点 PM BCPA平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影 (3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由
9、三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾解题回顾，怎么找？，怎么找？直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但 b不垂直于OP 解题回顾若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b垂直于垂直于 a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab （）若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直
10、于垂直于a在平面在平面内的射影，内的射影，则则 ab （）若若a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b 且且b垂直于垂直于a在另一平面在另一平面内的射内的射 影则影则ab （）若若 a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b垂直于垂直于a在平面在平面内的射内的射 影，则影，则 ab （）练习练习3：判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：面面ABCD 面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线B1B 垂线垂线 bADCBA1D1C1B1面面ABCD 面面面面B1BCC1面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线AB 垂线垂线 b面面ABCD 面面直线直线A1C 斜线斜线 a直线直线
11、B1B 垂线垂线 b线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三
12、垂线定理的逆理三垂线定理的逆理：在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂么，它也和这条斜线的射影垂直。直。三垂线定理三垂线定理：在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定定 理理逆定理例例4 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上
13、的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影内的射影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB OEAB同理可得同理可得OFAC结论成立结论成立思考题：在四面体思考题：在四面体ABCD中，已知中，已知ABCD，ACBD求证：求证：ADBC
14、DOBC，于是，于是ADBC.证明：作证明：作AO平面平面BCD于点于点O，连接连接BO，CO，DO，则，则BO，CO，DO分别为分别为AB，AC，AD在平面在平面BCD上的射影。上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理同理COBD，于是于是O是是BCD的垂心，的垂心，1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG课后练习与作业2.已知已知 PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是ABC的垂心。的垂心。CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。的平分线所在的直线。4.在在ABCDA1B1C1D1中，中，求证：求证：AC1平面平面BC1DD1DCBAC1B1A1
