1、4.1 平面应力问题平面应力问题 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法4.2 平面应变问题平面应变问题 4.3 平面问题的离散化平面问题的离散化4.4 平面三结点三角形单元平面三结点三角形单元 4.5 ANSYS平面结构计算示例平面结构计算示例 严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题平面应力问题和平面应平面应变问题变问题。图4-1 平面问题应力状态第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法4.1 平面应力问题平面应力问题图4-2(a)平面应力
2、问题 如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点力学特点是：,0,0,0zyyzzxxzz0z平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。2100010112ED第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法图4-2(b)平面应变问题4.2 平面应变问题平面应变问题 图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：0,0,0yzxzx但一般情况下 0z平面应变问题
3、的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 21E换成，1即可。)1(22100011011)21)(1()1(uED。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 与 应变应变 之间的关系均为：0 D Txyyx Txyyx，其中：0为初应变。式中4.3 平面问题的离散化平面问题的离散化(a)三结点三角形单元 (b)四结点正方形单元 (c)四结点矩形单元 (d)四结点四边形单元图4-3 平面问题单元的主要类型第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 图4-4(a)表示的是带有
4、椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称结构的对称性性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。(a)均匀受力板力学模型 (b)力学模型离散化图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 4.4 平面三结点三角形单元平面三结点三角形单元 4.1.1 位移函数位移函数图4-5 三角形单元 如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。65432110000001yxyxyxvyxu位移函数矩阵形式位移函数矩阵形式
5、：第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法简写为：Mf 由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为结点处位移函数为64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvuvuvu简写为：Ae第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 解出 eA1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211其中，是三角形单元的面积，当三角形单元结当三角形单元结点点i、j、m按逆时针次序排列时按逆
6、时针次序排列时，则有)(21)(2121mijmijimmjjiyxyxyxyxyxyx4.4.2 形函数矩阵形函数矩阵第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法jmmjimjmjimjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxam1111其中记号 表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数单元位移函数为结点位移的插值函数，即iiiimjimmmmjjjjiiiiiiiimjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbauycxbau)(21)()
7、()(21)(21)()()(21.第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法(4-9)(21ycxbaNiiii令 mjiNNN、在式(4-10)中表示的 称为形函数形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：(4-10)mjiiimmjjiimjiiimmjjiivNvNvNvNvuNuNuNuNu、(4-11)写成矩阵形式mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000emjiINININ(4-12)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法由几何方程知vuxyyxxyyx00将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得(4-
8、13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub4.4.3 单元的应力与应变单元的应力与应变第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub简写为：eB(4-14)mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbB00000021 由于B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。(4-15)第
9、四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 由弹性力学的物理方程弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：D(4-16)将式(4-14)代入式(4-16)，得eeSBD(4-17)mjiSSSBDS式中(4-18)S称为应力转换矩阵转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为iiiiiiibccbcbES2121)1(22(4-19)由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度
10、矩阵。(a)实际力系 (b)虚设位移图4-6 弹性体虚功原理的应用4.4.4 三角形单元刚度矩阵三角形单元刚度矩阵第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法结点力列向量和应力列向量分别为TTmmjjiimjieVUVUVUFFFFTxyyx结点虚位移列向量和虚应变列向量为T*T*mmjjiimjievuvuvuT*xyyx用虚功原理虚功原理建立三角形单元的虚功方程为tdxdyFeeT*T*）（eB*TT*T*Be）（tdxdyBFeeeTT*T*）（）（由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 由于
11、虚位移是任意的，等号两边可左乘1T*e，得tdxdyBFeTetdxdyBDBTeek (4-21)三角形单元的刚度矩阵可写成 dxdytBDBkeT tBDBT(4-22)用分块矩阵形式表示 mmmjmijmjjjiimijiiekkkkkkkkkk(4-23)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i 结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：iiPF iFi 结点的结点力列向量 eieiiVUFe围绕i结点所有单元的结点力的向量和 i结点的载荷列向量。iP iiiYXP4
12、.4.5 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4-24)求和得到，即：iniiniPF11i1，2，n T2211T3211nnniniYXYXYXPPPPPP(4-26)KkFeeneinie11(4-27)其中，K为结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵；为结构的结点位结构的结点位移列向量移列向量。tdxdyBDBkKneeneT11(4-28)T2211T21nnnvuvuvu第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法将式(4-26
13、)、式(4-27)代入式(4-25)中得 PK(4-29)整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：nnnjnninijiinjnjKKKKKKKKKKKKKKKKK2121222221111211(4-30)同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法4.5 ANSYS平面结构计算示例平面结构计算示例 4.5.1问题描述问题描述 如图4-7所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，约束条件：在长方形底
14、边AD约束全部自由度,BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。图4-7 长方形板结构 4.5.2 ANSYS求解操作过程求解操作过程 打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法图4-8 单元类型对话框 （1）选择单元类型选择单元类型 运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，弹出Element Types对话框，如图4-8所示。单击Add，弹出Library of Element Types窗口，如图4-9所示，依次选择Structural Solid，Quad 8 n
15、ode 82，单击OK。图4-9 单元类型库对话框第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 在Element Types对话框中，如图4-10所示，单击Options，弹出如图4-11所示对话框，设置K3选项栏为Plane strs w/thk，设置K5选项栏为Nodal stress，设置K6选项栏为No extra output。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。图4-10 单元类型对话框 图4-11 PLANE82 单元选项设置对话框第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 （2）定义实常数定义实常数 运行Preprocessor
16、Real ConstantsAdd/Edit/Delete，弹出如图4-12所示对话框，点击Add，弹出如图4-13所示对话框，点击OK，弹出如图4-14所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。图4-12 实常数对话框 图4-13 选择要设置实常数的单元类型 图4-14 PLANE82实常数设置第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 （3）设置材料属性设置材料属性 运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，弹出如图4-15所示对话框，依次双击Structural，Linear，Elastic
17、，Isotropic，弹出图4-16所示对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。图4-15 选择材料属性对话框 图4-16 设置材料属性对话框 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 （4）建立模型建立模型 运行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners，弹出如图4-17所示对话框，设置参数，WP X选项栏中填写0，WP Y选项栏中填写0，Width选项栏中填写1.5，Height选项栏中填写1，单击OK。继续运行PreprocessorModelin
18、gCreateAreaCircleSolid Circle，得到如图4-18所示对话框，在WP X选项栏中填写0.75，WP Y选项栏中填写0.5，在Radius选项栏中填写0.2，设置完毕点击OK按钮。图4-17 建立矩形对话框图4-18 创建实 心圆对话框第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 进行布尔运算：PreprocessorModelingOperateBooleansSubtractAreas，先选矩形面单击OK，再单击圆面，单击OK。得到如图4-19所示图形。图4-19 长方形板模型 （5）划分网格划分网格 运行MeshingSize CntrlsMan
19、ual SizeAreasAll Areas，弹出如图4-20所示对话框，在SIZE选项栏中填写0.05，点击OK按钮。图4-20 设置网格尺寸对话框 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 运行MeshMesh Tool，弹出如图4-21所示对话框，在Shape选项栏后面，选择Tri和Free，单击Mesh.划分网格，网格划分如图4-22所示。图4-21 网格划分对话框 图4-22 划分网格后的有限元模型 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法图4-23 施加全约束 （6）施加约束施加约束 选择菜单SolutionDefine LoadsApp
20、lyStructure DisplacementOn Lines，选择长方形底边，弹出图4-23所示对话框，选择All DOF，单击OK。（7）施加载荷施加载荷 选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines，弹出如图4-24所示对话框。拾取长方形上边，单击OK按钮。弹出如图4-25所示对话框。在VALUE选项栏中填写10000000。设置完毕点击OK完成设置。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法图4-24 拾取要施加载荷的边 图4-25 施加载荷对话框 （8）求解求解 运行SolutionSolveCu
21、rrent LS，弹出如图4-26所示对话框。单击OK按钮，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。图4-26 求解当前步载荷对话框 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法 （9）后处理后处理 运行 General PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，弹出如图4-27所示对话框，运行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Mises stress，分别显示长方形面板的位移云图和应力云图。结果显示如图4-28和图4-29所示。图4-27 云图显示对话框 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法图4-28 位移变形云图 图4-29 等效应力云图 4.5.3 结论结论 从图4-28长方形面板的位移云图可知，最大位移发生在圆孔的上部，最大位移为0.75010-4m。从图4-29长方形面板的应力云图可知，最大应力发生在圆孔的两侧，最大应力为32.9MPa。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法
