1、第二章第二章 微积分的直接微积分的直接基础基础极限极限(I)(I)1 1 从阿基里斯追赶乌龟谈起从阿基里斯追赶乌龟谈起数列极限数列极限割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在我国古代数学家刘徽在九章算术注九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割割圆术圆术，就是极限思想在几何上的应用。，就是极限思想在几何上的应用。一、数列概念一、数列概念“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”播放播放(魏晋魏晋)刘徽刘徽割圆术割圆术R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积
2、正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416数列的定义数列的定义例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n按按自自然然数数,3,2,1编编号号依依次次排排列列的的一一列列数数 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其其中中的的每每个个数数称称为为数数列列的的项项，na称称为为通通项项(一一般般项项)。数数列列(1)记记为为na.(1),21naaa说明：说明：1.数列对应着数轴
3、上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21naaa1a2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(1,34,21,21nn nn 1)1(1,333,33,3 nnaa 31递递推推公公式式2a3a4ana 公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.芝诺
4、的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？芝诺悖论阿基里斯与乌龟 如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破.101001000，91111191000010111000 ，91111191000010111000 l中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心”.l科学家们通过悖论来提出问题.悖论是
5、科学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论体系的挑战，是对人类智力的挑战.研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷，而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷修改或重建某些基础理论，从而使科学研究朝着健康的方向发展.这是一种客观的需要.Example Koch 雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”123456;43,311AP面积为周长为设三角形第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为周长为,2,1)34(11 nPPnn面积为)91(
6、431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn )94(31)94(31)94(31311221 nA,3,2 n第n次分叉：于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界做一个雪花蛋糕会比较有趣，这样就可以宣称“我吃掉了一条无限长的曲线”了.这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念:连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是“光滑”的.但是Koch曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导
7、，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物.Koch曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲线上任两点之间的距离也是无限大，却包围着有限的面积.曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点都是“尖点”）.还好我的浪漫没这么抽象 截杖问题：截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 l第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;212122 l为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnln 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnl211 1数列极限的定性描述数列
8、极限的定性描述lDefinitionDefinition如果n无限增大时，数列an的通项an无限接近于常数a，则称该数列以a为极限，记做,limaann ).(naan或如果数列没有极限,就说数列是发散的.上例中，.021limnnl以0为极限的变量称为无穷小量无穷小量.如l每一项均为常数的数列称为常数列常数列.常数列的极限仍是该常数.如数列1,1,1,为常数列，且l绝对值无限变大的变量称为无穷大量无穷大量，或称其收敛于，或.如2n,-2n 均为无穷大量，且n21为n时的无穷小量.11lim n.)2(lim,2limnnnn.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放
9、播放数列极限的定量描述数列极限的定量描述问题问题:当当n无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?na.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nannn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它?1nannn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 na有有,10001给定给定,1000时时只只要要 n,1000011 na有有,100001给定给定,10000
10、时时只只要要 n,100011 na有有,0 任意给定任意给定,1 N取取.1成立成立恒有恒有 na,时时只只要要Nn 1nannn11)1(1 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.注意：注意：;.1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式aaaann .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 (不不论论它它多多么么小小),使使得得对对于于Nn 时时的的一一切切na,定义定义 aan都都成成立立,总存在正数总存在正数N,那那末末就就称称常常数数 a 是是数数列列na的的极极限限,不等式不等式或或者者称称
11、数数列列na收收敛敛于于 a,记为记为,limaann ).(naan或或x1a2a1 NaNa几何解释几何解释:2 Na 2 a aa,),(,内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当 aaxNnn:”定定义义“N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的.:至少有一个或存在至少有一个或存在,0 ：aann lim.)(落落在在其其外外个个至至多多只只有有有有限限个个 N，正正整整数数N,时时使使当当Nn .aan恒有恒有例例6.1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 na1)1(1 nnn，n1，就就有有 1)1(1nnn.1)1(lim1 nnnn即得证即得证,0 任任给给,naa欲使,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn 例例7.021limnn证明证证,0 ,021n欲使,021n就有.021limnn即证得,1log2N取,时则当Nn，只要12n，即1log2nQuestion?
