1、博易新思维数学五年级春季拓展版问题情境第 4 讲奇偶性的应用奇偶性的应用首先，回忆一下有关知识吧！（一）奇数和偶数的概念（一）奇数和偶数的概念能被能被2 2整除的数叫做整除的数叫做偶数偶数，如，如0 0、2 2、4 4、6 6、通常用通常用2k2k（k k为整数）为整数）表示。表示。不能被不能被2 2整除的数叫做整除的数叫做奇数奇数，如，如1 1、3 3、5 5、7 7、通常用通常用2k+12k+1（k k为整为整数）表示。数）表示。（二）奇数和偶数的运算性质（二）奇数和偶数的运算性质偶数偶数偶数偶数=偶数偶数奇数奇数奇数奇数=偶数偶数偶数奇数偶数奇数=奇数奇数偶数个奇数相加得偶数偶数个奇数相
2、加得偶数奇数个奇数相加得奇数奇数个奇数相加得奇数偶数偶数偶数偶数=偶数偶数偶数奇数偶数奇数=偶数偶数奇数奇数奇数奇数=奇数奇数无论多少个偶数相加，都得偶数无论多少个偶数相加，都得偶数例1任意取出任意取出1994个连续自然数，它们的总和个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？是奇数还是偶数？例1任意取出任意取出1994个连续自然数，它们的总和个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？是奇数还是偶数？如果取出的第一个数是奇数，如果取出的第一个数是奇数，奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶如果取出的第一个数是偶数，如果取出的第一个数是偶数，偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇 因此，这因此，这19941994个连续自然数是个
3、连续自然数是以奇偶两个数以奇偶两个数为一组为一组依次不断重复出现。依次不断重复出现。例1任意取出任意取出1994个连续自然数，它们的总和个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？是奇数还是偶数？199419942=9972=997（组）（组）99997 7(奇奇+偶偶)奇数奇数答：它们的总和是奇数。答：它们的总和是奇数。=奇数奇数奇数奇数奇数奇数=奇数奇数例2在3333333334与3333333333的乘积中，有多少个数字是偶数。我们可以算出乘积，数出偶数的我们可以算出乘积，数出偶数的个数即可。个数即可。例2在3333333334与3333333333的乘积中，有多少个数字是偶数。333333
4、3334333333333433333333333333333333观察这两个数有什么特点？观察这两个数有什么特点？33333333343333333333=(3333333333+1)(3333333333+1)3333333333=33333333333333333333+3333333333=111111111111111111113 33333333333+3333333333=111111111199999999999999999999+3333333333=1111111111(10000000000(100000000001)1)+3333333333=1111111111000
5、0000000+2222222222=11111111112222222222答：乘积中有答：乘积中有1010个数字是偶数。个数字是偶数。有有1010个个2 2例2在3333333334与3333333333的乘积中，有多少个数字是偶数。例2在3333333334与3333333333的乘积中，有多少个数字是偶数。333333333433333333343333333333=111111111122222222223333333333=111111111122222222224 43=123=12343433=112233=1122334334333=111222333=111222有有101
6、0个个2 2答：乘积中有答：乘积中有1010个数字是偶数。个数字是偶数。你能发现什么你能发现什么规律？规律？例310个连续奇数的和是220，其中最大的一个奇数是多少？根据根据连续奇数的特点：相邻的两连续奇数的特点：相邻的两个数之间相差个数之间相差2 2，我想可以用方，我想可以用方程来解答。程来解答。例310个连续奇数的和是220，其中最大的一个奇数是多少？解：设最小的奇数是解：设最小的奇数是x x，x+x+2+x+4+x+6+x+x+2+x+4+x+6+x+18=220+x+18=220 10 x+2+4+6+10 x+2+4+6+18=220+18=220 10 x+90=220 10 x+
7、90=220 10 x=130 10 x=130 x=13x=13答：最大的一个奇数是答：最大的一个奇数是3131。x+18=13+18=31x+18=13+18=31则最大的奇数是则最大的奇数是x+18x+18。例4一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，那么这串数的第100个是奇数还是偶数？要想知道第要想知道第100100个数是奇数还是偶数很容个数是奇数还是偶数很容易，我们可以易，我们可以多写几个数出来，然后观察多写几个数出来，然后观察他们奇偶性排列的规律他们奇偶性排列的规律。例4一串数排成一行，它们的规律是：前两个
8、数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，那么这串数的第100个是奇数还是偶数？1 1 1 1 2 3 5 2 3 5 8 81313 212110100 03=3=3333（组）（组）1 1（个）（个）偶偶奇奇奇奇偶偶奇奇奇奇奇奇奇奇3434偶偶奇数奇数1答：这串数的第答：这串数的第100100个是奇数。个是奇数。例5小丽从数学书上任选25张，并把它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为300？分析：分析：任意一张数学书上的两个编号一定是奇数、任意一张数学书上的两个编号一定是奇数、偶数各一个，因此偶数各一个，因此2525张数学书上的张数学书上
9、的5050个编号一定是个编号一定是奇数奇数2525个个、偶数偶数2525个个。例5小丽从数学书上任选25张，并把它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为300？因为：因为：2525个奇数的和是个奇数的和是奇数奇数，2525个偶数的和是个偶数的和是偶数偶数，奇数奇数+偶数偶数=奇数奇数所以：所以：这这5050个编号相加，得到的个编号相加，得到的和一定是奇数和一定是奇数。答：小丽所加得的和数不能为答：小丽所加得的和数不能为300300。300300是偶数，因此和不能是是偶数，因此和不能是300300。例6某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题
10、倒扣1分，某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。分析：分析：得分总和得分总和=答对题数答对题数3+3+不答题数不答题数1 1答错题数答错题数1 1可以用字母来表示数量关系可以用字母来表示数量关系 得分总和得分总和=答对题数答对题数3+3+不答题数不答题数1 1答错题数答错题数1 1道题，道题，答错解：设答对ba道。则不答题有ba 04得分总和：得分总和：11403bbaabababbaa2022402403是是2的倍数，一定是偶数。的倍数，一定是偶数。答：该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。答：该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。例7桌上有6只杯子，全部口朝上，每次将
11、其中4只同时“翻转”。你能经过有限次这样的“翻转”，使6只杯子全部口朝下吗？如果是5只杯子呢？动手试一试，翻转动手试一试，翻转1 1只杯子，使它只杯子，使它口朝下，记录好翻转的次数，你口朝下，记录好翻转的次数，你发现了什么特点？发现了什么特点？例7桌上有6只杯子，全部口朝上，每次将其中4只同时“翻转”。你能经过有限次这样的“翻转”，使6只杯子全部口朝下吗？如果是5只杯子呢？我发现，要使我发现，要使1 1只杯子口朝下，翻转只杯子口朝下，翻转次数可以是次数可以是1 1次、次、3 3次、次、5 5次、次、7 7次次，都是经过都是经过奇数次奇数次“翻转翻转”。按照题目要求，要使按照题目要求，要使6 6
12、只杯子全部口朝下，只杯子全部口朝下，就必须就必须经过经过6 6个奇数次个奇数次“翻转翻转”，即，即“翻转翻转”的总次数是的总次数是6 6个奇数的和，个奇数的和，这个和为偶数这个和为偶数。例7桌上有6只杯子，全部口朝上，每次将其中4只同时“翻转”。你能经过有限次这样的“翻转”，使6只杯子全部口朝下吗？如果是5只杯子呢？实际上，按规定实际上，按规定每次翻转每次翻转4 4只杯子只杯子，无论经过多，无论经过多少次少次“翻转翻转”，翻转的总次数翻转的总次数都是都是4+4+4+4+4+4+，这个和这个和是偶数是偶数，因此能使，因此能使6 6只杯子全部口朝下。只杯子全部口朝下。如果是如果是5 5只杯子只杯子
13、，要想全部口朝下，就必须，要想全部口朝下，就必须经过经过5 5个奇个奇数次数次“翻转翻转”，即，即“翻转翻转”的总次数是的总次数是5 5个奇数的和，个奇数的和，这个和为奇数这个和为奇数。每次翻转每次翻转4 4只杯子，翻转的总次数是只杯子，翻转的总次数是偶数。偶数。因此不能使因此不能使5 5只杯子全部口朝下。只杯子全部口朝下。答：能经过有限次这样的答：能经过有限次这样的“翻转翻转”，使，使6 6只杯子只杯子全部口朝下，不能使全部口朝下，不能使5 5只杯子全部口朝下。只杯子全部口朝下。例8某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位。把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座
14、位的邻位。问：让这25个学生都离开原座位到原座位的邻位，是否可行？为了便于分析，我们可借助下图，用为了便于分析，我们可借助下图，用黑白染色法黑白染色法帮帮助解题。助解题。我们把每一个黑、白格看作是一个座位。我们把每一个黑、白格看作是一个座位。从图中可知，从图中可知，已在黑格已在黑格“座位座位”上的同上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格已在白格“座位座位”上的同学要换到邻座，上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格上。又必须全坐到黑格上。个白格个黑格1213答：让这答：让这2525个学生都离开原座位坐到原座位的邻位个学生都离开原座位坐到原座位的邻位 不可行。不可行。因此，要使每人换为邻座位，必须因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等黑、白格数相等。灵活、巧妙、有意识地利用奇数和偶数的运算性质，灵活、巧妙、有意识地利用奇数和偶数的运算性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。题。博 易 新 思 维 数 学易于学 乐于思
