1、第五章 线性参数的最小二乘法处理第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 x12,nx xx12,n 测得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx测得值 同时出现的概率为 12,nx xx211exp()2(2)niiniiiiivPpdx最可信赖值满足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则
2、。v测量方程组：v v估计量形式：v误差方程组：iXaXaXaYtitiii,.2211ixaxaxaytitiii,.2211ixaxaxalititiii,).(2211线性测量方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量残差方程组 含有随机误差矩阵形式Ax=y111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvvy-Ax=v测量残差方程组 最小二乘法原理式 等精度测量minXALXALVVT不等精度测量minXALPXALPVVT2222221210000000000
3、00nnwwwwwv 为单位权方差，为的权，为的 方差。v化误差方程组为等权形式：v 最小iPPxaPxaPxalPiiititiiiiii,).(22112iP2iilixaxaxalititiii.2211*VXALVV*TXAL)(*)(*XAL 第二节第二节 正规方程正规方程v为了得到可靠的测量结果，测量次数n总是要多于未知数的数目t。因而直接用一般解代数方程的方法求解这些未知数是不可能的。最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程，而且方程个数正好等于未知数的个数，从而可求解这些未知数。一、等精度测量线性参数的一、等精度测量线性参数的LSM处理的正规方处理的正规方程。程。v线性
4、参数的误差方程式为：112121111.vxaxaxaltt222221212.vxaxaxaltt ntntnnnvxaxaxal.2211 tkvavavaxvnnkkkk,2,10.222112tkxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalatkvavavatntnnnnkttkttknnkkk,2,10).().().(,2,10.22112222121221212111112211即tilalalaLatjiaaaaaaaatiaaaaaaaanniiiinjnijijijininiiiiiii,2,1.),2,1,(,2,1.221122112211记正规方程为.2211222
5、2211211221111LaxaaxaaxaaLaxaaxaaxaaLaxaaxaaxaattttttttttv用矩阵表示v解上面方程组得v可以证明最小二乘估计值是无偏估计。0VATLAXAAXALATTT)(0LAAAXTT1v测量方程为：v x+2y=3v x+10y=5v x+20y=8v x+30y=15v x+40y=18418.028.11368495102102300446161)(5102102300446161)(1368493004102102518158534013012011012111LAAAXAALAAALATTTTTv正规方程为：v 5x+102y=49v 10
6、2x+3004y=1386v解该方程得到v x=1.28v y=0.418二、不等精度测量线性参数的二、不等精度测量线性参数的LSM处理的正规处理的正规方程。方程。0PVATPLAXPAAXALPATTT)(0PLAPAAXTT1解上面方程组得三、非线性参数的最小二乘法测量残差方程组()iiiyvx12(,)tx xxx非线性函数取的初始似值 x(0)x泰勒展开(0)(0)()iiijijyvxj=tj=1xx 1 122iiiittiyaaav()iiiyy(0)x按线性参数最小二乘法解得 12(,)t (1)(0)xx 迭代直至满足精度为止 v为了获得函数的展开式，必须首先确定未知数的近似
7、值，其方法可以是：v1、直接测量v对未知量直接进行测量，所得结果即可作为其近似值。v2、通过部分方程式进行计算v从误差方程中选择最简单的t个方程式，采用近似的求解方法。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例，即未知数只有一个时，最小二乘原理的结果就是算术平均值原理的结果。第三节 精度估计v一、测量数据的精度估计 v（一）等精度测量数据的精度估计 v对包含t个未知数的线性参数方程，进行n次独立的等精度测量。v可以证明 v tnVV22tnVVE2v取tnvstnvvsi22vV1=3-(1.281+0.4182)=0.884
8、vV2=5-(1.281+0.41810)=-0.46vV3=8-(1.281+0.41820)=-1.64vV4=15-(1.281+0.41830)=1.18vV5=18-(1.281+0.41840)=021.3ivsnt（二）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差为tnvpsii2二、最小二乘估计量的精度估计v取决于测量数据的精度和线性方程给出的函数关系。v正规方程Laxaaxaaxaatt11221111.Laxaaxaaxaatt22222112.Laxaaxaaxaatttttt.2211tddd11211.,tddd22221.,ttttddd.,21 设不定乘数 为
9、 ；。为求x1，用 分别乘正规方程中第1，2，t式。并将这些方程左右两边分别相加。得选择 使x1前面系数为1，其余xi前面系数为0。tddd11211.,ttrtrrrtrrrtrrrtrrxaadxaadxaadLad112211111111.tddd11211.,1111aadrtrr0011211trtrrrtrraadaadv则nnntiiiiiiLhLhLhLadLadLadx121211112211111.22122212212112.1nnxhhh211221212211.dhhhn同理可得所以222222.2ttxxddtttxxxdddt,.,221121v正规方程：v5x
10、+102y =49v102x+3004y=1386v求待定系数d11 d22v5 d11+102 d12=1 5 d21+102 d22=0 v102 d11+3004 d12=0 102 d21+3004 d22=1v得到 d11=0.651 d22=0.00111220.651 1.31.00.001 1.30.04xyd smd smv利用矩阵形式ttttttTdddddddddAA2122221112111LAAADDXTT11211AAAAADLAAATTTT矩阵 中各元素即为前面的不定乘数。不等精度测量的协方差矩阵为12PAADXTv由于矩阵（ATA）-1是：130041021()
11、10254641TA A112230040.651461650.0014616dd11220.651 1.31.00.001 1.30.04xyd smd sm为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值 ，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。123,x xx10.3y 20.4y 30.5y 40.3y 123,x xx【解】【解】列出测量残差方程组 y-Ax=v0.30.40.50.3y100010101011A1234vvvvv11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx
12、 矩阵形式TTA Ax=A y100101020101001010211010011112011TCA A1232010.80210.71120.2xxx 0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A y1TxC A y1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.750 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500 1.0000.2 0.1501230.325,0.425,0.150 xxx即代入残差方程组，计算 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.002543s=0.05d11=0.75,d22=0.75,d33=105.005.01043.005.075.03311321sdsssdsxxx
