1、湍流的数学模型第六讲流体仿真与应用湍流模型雷诺应力模型（雷诺应力模型（RSM）雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型雷诺应力方程模型。Reynolds Stress equation ModelRSM若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为则称为代数应力方程模型代数应力方程模型。这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 第
2、一步，建立第一步，建立 的输运方程。首先，将的输运方程。首先，将 乘以乘以 的的N-S方程与方程与 乘以乘以 的的N-S方程相加，得到的方程相加，得到的 方程，再对此方程，再对此方程作方程作Reynolds时均、分解，即得到时均、分解，即得到 的输运方程的输运方程。第二步，建立第二步，建立 的输运方程。的输运方程。乘以乘以 的的Reynolds时均方时均方程与程与 乘以乘以 的的Reynolds时均方程相加，即得到的时均方程相加，即得到的 输运输运方程。方程。jijijiuuuuuujiuujuiuiujujiuujiuujuiuiujiuujujiuu湍流模型Reynolds应力输运方程应力
3、输运方程 ijijijijijijLijTijFjkmmiikmmjkkkjiijjiGijjiPkikjkjkiDjikkDikjkjikjikCkjikjieuueuuxxuuxuxupugugxuxuxxupupuuuxxuuutuu22,湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 湍动扩散项湍动扩散项 的计算的计算推荐用下式：推荐用下式：ijTD,Daly和和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算：所给出的广义梯度扩散模型来计算：ljilksijTxuuuuxCD,ljitijTxuuxD,2kCt82.0湍流模型Reynol
4、ds应力输运方程应力输运方程 浮力产生项浮力产生项 的计算的计算 热膨胀系数热膨胀系数 ijGijxTgxTgGjittijPr85.0Pr tT1理想气体理想气体 ijxgxgGjittijPr不可压缩流体不可压缩流体 0ijG湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 压力应变项压力应变项 的计算的计算ij压力应变项压力应变项 的存在是雷诺应力方程与的存在是雷诺应力方程与 方程的方程的最大区最大区别之处别之处。因此，。因此，仅在湍流各分量项存在，当仅在湍流各分量项存在，当 时，它表时，它表示减小剪应力，使湍流趋向各向同性；当示减小剪应力，使湍流趋向各向同性；当 时，它表示使时，它表示
5、使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响，可见，此湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响，可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在的的项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在的的文献中称此项为文献中称此项为再分配项再分配项。ijijji ji wijijijij,2,1,慢的压力应变项慢的压力应变项 快的压力应变项快的压力应变项 壁面反射项壁面反射项 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 压力应变项压力应变项 的计算的计算ijijiiijuuC3211,8.11CijijijPPC3222,6.02C2kkPP dCnnnnCdCnnuunnuunn
6、uuClkiikijmkkmlkikjkjkjijmkmkwij2/32,2,22/31,2323235.01C3.02CkCCl4/309.0C4187.0k湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 粘性耗散项粘性耗散项 的计算的计算 ij耗散项表示分子粘性对雷诺应力产生的耗散。在耗散项表示分子粘性对雷诺应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度旋涡承担建立耗散项的计算公式时，认为大尺度旋涡承担动能输运，小尺度旋涡承担粘性耗散，因此小尺动能输运，小尺度旋涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可看成是各向同性的。即认为局部是各向度涡团可看成是各向同性的。即认为局部是各向同性的。同性的
7、。ijij32湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijxTgxTgjittPrijijijiiPPCuuC323221dCnnuunnuunnuuClkikjkjkjijmkmk2/312323dCnnnnClkiikijmkkm2/32,2,223jkmmiikmmjkijeuueuu232FLUENT等大多数等大多数CFD软件软件所使用的所使用的广义的广义的Reynolds应力输运应力输运方程方程 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 若不考虑浮力的作用（即若不考虑浮力的作用（
8、即 ）及旋转的影响（）及旋转的影响（），），同时压力应变项不考虑壁面反射（同时压力应变项不考虑壁面反射（=0）0ijG0ijFwij,kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijijijijiiPPCuuC32323221湍流模型RSM的控制方程的控制方程（补充方程）（补充方程）时均连续性方程、雷诺方程、时均连续性方程、雷诺方程、雷诺雷诺应力方程、应力方程、方程和方程和 方方程等，共程等，共12个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控制方程组制方程组。ijijjktjiiGPxxxut21223121C
9、GCPCxxxutijijjtjii23kCt湍流模型RSM的控制方程的说明的控制方程的说明 如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立针对标量型如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立针对标量型变量（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。变量（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。由于从由于从Reynolds应力输运方程的应力输运方程的3个正应力项可以得出脉个正应力项可以得出脉动动能，即动动能，即 。因此，曾有文献不把。因此，曾有文献不把 作为独立变量，作为独立变量，也不引入也不引入 方程，但大多数文献把方程，但大多数文献把 方程列入控制方程之方程列入控制方程之一，就本书所采用的方式一样。一，
10、就本书所采用的方式一样。2ii湍流模型RSM适用性适用性 RSM是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立的。即是是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立的。即是针对高针对高Re湍流模型，而当湍流模型，而当Re较低时，上述方程不再适用。较低时，上述方程不再适用。常用解决壁面流动方法有：常用解决壁面流动方法有：一种是壁面函数法一种是壁面函数法；另一种是采另一种是采用低用低Re的的RSM模型模型。低低Re的的RSM模型基本思想是修正高模型基本思想是修正高Re的的RSM模型耗散函模型耗散函数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使RSM模模型方程可以直接应
11、用到壁面区域。型方程可以直接应用到壁面区域。计算实践表明，计算实践表明，RSM虽然能考虑一些各向异性效应，但并虽然能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其它模型效果好，在计算不一定比其它模型效果好，在计算突扩流动分离区突扩流动分离区和和计算湍计算湍流输运各向异性流输运各向异性较强的流动时，较强的流动时，RSM优于两方程模型，采用优于两方程模型，采用RSM意味着要多解意味着要多解6个雷诺应力的微分方程，计算量大，对计个雷诺应力的微分方程，计算量大，对计算机的要求高。因此，算机的要求高。因此，RSM不如不如 模型应用更广泛，但许模型应用更广泛，但许多文献认为多文献认为RSM是一种更有潜力的湍流模型。
12、是一种更有潜力的湍流模型。湍流模型(LES)大涡模拟（大涡模拟（LES-Large Eddy Simulation）湍流中包含了不同时间与长度尺度的涡旋。最大长湍流中包含了不同时间与长度尺度的涡旋。最大长度尺度通常为平均流动的特征长度尺度。最小尺度为度尺度通常为平均流动的特征长度尺度。最小尺度为Komogrov尺度。尺度。LES的基本假设是的基本假设是1，动量、能量、质量及其它标量主要由大涡输运；，动量、能量、质量及其它标量主要由大涡输运；2，流动的几何和边界条件决定了大涡的特性，而流，流动的几何和边界条件决定了大涡的特性，而流动特性主要在大涡中体现；动特性主要在大涡中体现；3，小尺度涡旋受几
13、何和边界条件影响较小，并且各，小尺度涡旋受几何和边界条件影响较小，并且各向同性；大涡模拟过程中，直接求解大涡，不直接计向同性；大涡模拟过程中，直接求解大涡，不直接计算小尺度涡旋，从而使得网格要求比算小尺度涡旋，从而使得网格要求比DNS低。低。湍流模型(LES)大涡模拟（大涡模拟（LES）控制方程）控制方程LES的控制方程是对的控制方程是对Navier-Stokes方程在物理空间进方程在物理空间进行过滤得到的。过滤的过程是去掉比过滤宽度或者给定行过滤得到的。过滤的过程是去掉比过滤宽度或者给定物理宽度小的涡旋，从而得到大涡旋的控制方程。物理宽度小的涡旋，从而得到大涡旋的控制方程。过滤变量（上横线）
14、定义为过滤变量（上横线）定义为 xdxxGxxD),()()(D表示流体区域；表示流体区域；G是决定涡旋大小的过滤函数是决定涡旋大小的过滤函数 在在FLUENT中，有限控制体离散本身暗中包括了过滤运算中，有限控制体离散本身暗中包括了过滤运算 xdxVxV)(1)(Vx 0/1),(VxxGVxVx湍流模型(LES)大涡模拟（大涡模拟（LES）控制方程）控制方程大涡模拟对不可压流动问题得到较多应用，但在可压缩问大涡模拟对不可压流动问题得到较多应用，但在可压缩问题中的应用还很少，因此在题中的应用还很少，因此在FLUENT中，大涡模拟只能中，大涡模拟只能针针对不可压流体的流动对不可压流体的流动。过滤
15、不可压的过滤不可压的Navier-Stokes方程后，可以得到方程后，可以得到LES控制方程控制方程 上述方程与雷诺平均方程很相似，只不过大涡模拟中的变上述方程与雷诺平均方程很相似，只不过大涡模拟中的变量是过滤过的量，而非时间平均量，并且湍流应力也不同量是过滤过的量，而非时间平均量，并且湍流应力也不同。0iixutjijijijjijixxpxuxuuxut)()()(jijiijuuuu亚网格应力亚网格应力湍流模型(LES)亚网格模型亚网格模型由于由于LES中亚网格应力项是未知的，并且需要模拟以封闭中亚网格应力项是未知的，并且需要模拟以封闭方程。目前，采用比较多的亚网格模型为涡旋粘性模型，方
16、程。目前，采用比较多的亚网格模型为涡旋粘性模型，形式为：形式为：亚网格湍流粘性系数亚网格湍流粘性系数 求解尺度下的应变率张量求解尺度下的应变率张量 ijtijkkijS231tijjiijxuxuS21ijS湍流模型(LES)亚网格模型亚网格模型(Smagorinsky-Lilly模型模型)求解亚网格湍流粘性系数求解亚网格湍流粘性系数,Smagorinsky-Lilly模型 是亚网格的混合长度是亚网格的混合长度 是是Smagorinsky常数常数 SLst2sLijijSSS2),min(3/1VCkdLsssC0.23，对于有平均剪切或者过渡流动中，该系数，对于有平均剪切或者过渡流动中，该系
17、数过高估计了大尺度涡旋的阻尼作用过高估计了大尺度涡旋的阻尼作用 sCsC0.1有比较好的模拟结果有比较好的模拟结果 湍流模型(LES)亚网格模型亚网格模型(重整化群亚网格模型重整化群亚网格模型)求解亚网格湍流粘性系数求解亚网格湍流粘性系数V是计算控制体体积；重整化群常数是计算控制体体积；重整化群常数 ,而常数而常数C=100 teff3/1321CHeffseffijijrngsSSVC2)(23/10)(xxH00 xxH(x)是是Heaviside函数函数 157.0rngC湍流模型(LES)亚网格模型亚网格模型(重整化群亚网格模型重整化群亚网格模型)对于高雷诺数流动（对于高雷诺数流动（）
18、，），基于重，基于重整化群理论的亚网格模型就与整化群理论的亚网格模型就与Smagorinsky-Lilly模型相同，模型相同，只是模型常数有区别。只是模型常数有区别。在流动场的低雷诺数区域，上面的函数就小于零，从而只在流动场的低雷诺数区域，上面的函数就小于零，从而只有分子粘性起作用。有分子粘性起作用。所以，基于重整化群理论的亚网格模型对流动转捩和近壁所以，基于重整化群理论的亚网格模型对流动转捩和近壁流动问题有较好模拟效果。流动问题有较好模拟效果。tteff湍流模型总览湍流的数值模拟Euler描写法Lagrange描写法时均参数法大涡模拟直接模拟湍流粘性系统法雷诺应力模型零方程模型一方程模型二方程模型雷诺应力微分方程模型雷诺应力代数方程模型常数t混合长度-模型-l 模型-模型-模型高Re数+壁面函数法两层模型低Re数模型非线性模型多尺度模型RNG模型可实现模型
