1、1第八章 重积分8.4 重积分的应用重积分的应用 8.4.5 三重积分习题课三重积分习题课基本方法：化三重积分为三次积分计算。基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：关键步骤：(1)坐标系的选取坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限定出积分限 2 要结合被积函数、积分区域两方面的因素综要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。合考虑才能找到好的方案。对积分区域要有一定的空间想象力，最好能对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出画出 的图形。如的图形。如 的图不好画，也要画出的图不好画，也要画出 在在某坐标面上的投影区域的图形某
2、坐标面上的投影区域的图形。3 1、利用直角坐标系计算三重积分。、利用直角坐标系计算三重积分。(1)“投影法投影法”又叫又叫“先单后重法先单后重法”设设 往往xoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为Dxy，过，过Dxy内内任一点而穿过任一点而穿过 内部的平行于轴的直线与内部的平行于轴的直线与 的边的边界曲面至多两个交点，则界曲面至多两个交点，则 适用性较广，要有一定的空间想象力。适用性较广，要有一定的空间想象力。),(),(21),(),(yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxfxy 对对z积分后的结果积分后的结果F(x,y)作为被积函数在作为被积函数在Dxy上作上作对对x、y的二重积分
3、。的二重积分。2211(,)()(,)()(,)(,)x ybxzx yaxzf x y zdxdyf x y z dz 4 这时再依被积函数和积分区域的特点选定这时再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺序。积分顺序。“先单先单”的的“单单”选哪一个变量？选哪一个变量？往另两个坐标面上投影的情况与此类似。往另两个坐标面上投影的情况与此类似。依被积函数依被积函数f(x,y,z)及积分区域及积分区域 共同确定。共同确定。5 设设 夹在平面夹在平面z=c1和和z=c2之间，竖坐标为之间，竖坐标为z的平面的平面(c1 z c2)截截 所得截面记为所得截面记为Dz，则有则有 zDdcdxdyzyxfdz
4、dxdydzzyxf),(),(通常选用此法时应满足：通常选用此法时应满足：Dz较简单：圆、椭圆、矩形、三角形等，容易较简单：圆、椭圆、矩形、三角形等，容易算得其面积；算得其面积；(2)“截面法截面法”又称又称“先重后单法先重后单法”、“切片法切片法”。(,)zDf x y z dxdy 易易于于计计算算(,)()f x y zz 特特别别当当时时更更好好。62、柱面坐标系下计算三重积分、柱面坐标系下计算三重积分 22(),(),yf xygxxoy 当当被被积积函函数数形形如如等等 而而积积分分区区域域为为旋旋转转体体或或其其边边界界曲曲面面含含圆圆柱柱面面、球球面面、圆圆锥锥面面或或在在面
5、面上上的的投投影影区区域域为为圆圆域域时时 可可选选用用柱柱面面坐坐标标计计算算三三重重积积分分。计算可分计算可分“两步走两步走”，化为三次积分则应一次，化为三次积分则应一次完成。完成。73、球面坐标系下计算三重积分。、球面坐标系下计算三重积分。222(),f xyz 当当被被积积函函数数形形如如时时由由圆圆锥锥面面等等所所围围时时 选选用用球球面面坐坐标标计计算算三三重重积积分分较较好好。有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单的方法。的方法。84、三重积分中的对称性的应用。、三重
6、积分中的对称性的应用。1(,)0,(,)(,)2(,),(,)(,)f x y z dVf x yzf x y zf x y z dVf x yzf x y z 若若若若 1是是 的的z 0的部分的部分(1)设设 关于平面关于平面xoy对称对称。若若积积分分区区域域关关于于平平面面对对称称，则则：1(,(,)+,()=f x y zf x y z ddvfv 对对称称点点1是是的的靠靠近近第第一一卦卦象象的的部部分分9(2)设设 关于原点关于原点O对称对称，1是是 的的z 0(或或x 0，或或y 0)的部分的部分，则则(,)f x y z dV 10(,)(,)2(,)(,)(,)fxyzf
7、x y zf x y z dVfxyzf x y z 若若若若 1(,)+(,)=f x y zfxydzv 10(3)若若 关于变量关于变量x,y,z具有轮换对称性，具有轮换对称性，dvyxzfdvxzyfdvzyxf),(),(),(dvyxzfxzyfzyxf),(),(),(31即若即若(a,b,c),则则(b,c,a),(c,a,b)则有则有 dvzdvydvx222 Rdrrrdd022020sin31 。5154R 2222:,xyzR 例例如如设设则则 dvzyx)(3122211使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：1、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称
8、性；2、被积函数在积分区域上的关于三个自变量的、被积函数在积分区域上的关于三个自变量的奇偶性。奇偶性。被积函数被积函数f(x,y,z)是关于是关于z的奇函数，则三重积的奇函数，则三重积分为零分为零.若被积函数若被积函数f(x,y,z)是关于是关于z的偶函数，则三重的偶函数，则三重积分为积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的三重积平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍分的两倍.例如：当积分区域例如：当积分区域 关于平面关于平面xoy对称。对称。12 dvzyx)2(2222 dvzyx)()21(312222254(1)35a 解解2(2)xyz dv(2 22 22)xyyzzx dv 0)2
9、(2222 dvzyx2222:azyx xyzoa21 (2)xyzdv 例例计计算算13Oxyzyoz 于于解解关关面面为为对对称称0 xdv 有有 zdvdvzx)(1024020sincosdrrrdd 8 。(,)f x y zxx 为为的的奇奇函函数数（利用球面坐标）（利用球面坐标）2222)2(1xz dvzxyzxy 计计算算，其其中中由由与与例例所所围围成成的的。20,40,10:r143 ze dv例例计计算算z被被积积函函数数仅仅为为解解的的函函数数，2 上上zze dve dv10()2 zD zdxdy e dz1202(1)zz e dz2 。故故采采用用先先重重后
10、后单单法法。222:1 xyz。zD2221:zyxDz zyxozD1xyzo15162214 dvxy例例计计算算解解ABEDACFD 是是以以梯梯形形为为底底，以以梯梯形形为为顶顶的的柱柱体体。,ACFDx梯梯形形所所在在平平面面过过轴轴0yz设设其其方方程程为为xyzoCAFEDB:(1,0,0),(1,1,0),(1,1,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,4)ABCDEF是是由由六六个个顶顶点点组组成成的的三三棱棱锥锥台台。(1,1,2),20Czy又又因因过过点点 得得其其方方程程为为。21;0;20:xxyyz 1721;0;20:xxyyz dvyx221 xdy
11、yxydx022212 2122ln)2ln(dxxxln2。yxdzdyyxdx20022211xyzoCAFEDB182222,zxyzxy 其其中中是是由由所所围围成成的的闭闭区区域域。yzxo11yxo 1111:222222xxyxyxzyx 1:22 yxDxydzzyxfdydxIyxyxxx 222222),(1111()a 在在直直角角坐坐标标系系下下(5,)f x y z dv 例例把把化化成成三三次次积积分分19yzxo1xyD1yxo rrodzzrrfrdrdI2),sin,cos(102 20,10,:2rrzr 20,10:rDxy()b 在在柱柱面面坐坐标标系系
12、下下2222,zxyzxy 是是由由所所围围成成的的闭闭区区域域。2022yxz 2sincos ryzxo2cos:0,02sin42r 2sincos022420sin),(drrrFddI(,)(sincos,sinsin,cos)F rf rrr其其中中()c 在在球球面面坐坐标标系系下下2222,zxyzxy 是是由由所所围围成成的的闭闭区区域域。2122217 xyzdv例例计计算算221 zxyz其其中中是是由由与与所所围围成成的的立立体体。解解 dvzyx1222 21)1()1(222222 dvzyxdvzyx2 oxyz 111 drrrdd cos112020sin)1
13、(4drrrdd 102020sin)1(4 40sin6 d 4034)121cos31cos41(2 d)(126 22例例8 证明曲面证明曲面z=x2+y2+1上任一点的切平面与曲面上任一点的切平面与曲面z=x2+y2所围立体的体积为定值。所围立体的体积为定值。证明证明 设设M0(x0,y0,z0)是曲面是曲面z=x2+y2+1上任意取上任意取 定的一点，定的一点，0)()(2)(200000 zzyyyxxx整理得整理得 1,2,200 yxn该曲面在该曲面在M0点的法向量可取点的法向量可取 切平面与曲面切平面与曲面z=x2+y2的交线在的交线在xoy平面上的投平面上的投影曲线方程为影
14、曲线方程为 012222202000zyxyxyyxx切平面方程：切平面方程：220000221x xy yzxy232200:()()1 xxyy整整理理得得 dxdydzV xyDdxdyyyxx)()(12020 12222)1(vududvvu 10320drrd 20200022122yxyyxxyxDdzdxdyxy2 例例8 证明曲面证明曲面z=x2+y2+1上任一点的切平面与曲面上任一点的切平面与曲面z=x2+y2所围立体的体积为定值。所围立体的体积为定值。2200()()1:xyxxyyD24解解 ttdrrfrt0240)(4lim3204)(4limttftt tdrrr
15、fdd02020sin)(dvzyxfItzyx 222)(222dvzyxfttzyxt 222)(1lim22240 tftft)0()(lim0 )0(f 。1(),(0)0,()1,90 f tff例例设设连连续续求求dvzyxfttzyxt 222)(1lim22240 xyzot2510例例证证明明证明证明 改变积分次序改变积分次序 vudttfdu00)(vdttftv0,)()(xvudvdudttf000)(xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx xvdttftvdv00)()(utut v vvtdutfdt0)(200001()()().2 x
16、vuxf t dt du dvxtf t dtvtvt x2610(P29-1)(),0,f tf t dtA 设设连连续续求求证证证证明明 110)()()()(xdyxFyFyfxfdx 110)()()()(xdyyFxFyFdxxf0()()xf t dtF x 设设()(),F xf x即即是是的的一一个个原原函函数数(0)0,(1),FFA且且则则6)()()(3110Adzzfyfxfdydxyxx yxxdzzfyfxfdydx)()()(11027212201()()()()22AfxAF xFxFxdx 10210102)()(21)()()(2dxxFxfdxxFxfAdxxfA323312122AAAA 。310)(!31dxxf 63A yxxdzzfyfxfdydx)()()(110 110()()()()xF yF xF yF xf x dxd 110()()()()xf x dxF yF x Fy dy 11201()()()2xf xF yF xdx
