1、1.1.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1 1：如果一条直线上的：如果一条直线上的在一个平面内，在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理公理2 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点有其他公共点.这些公共点的集合是经过这个公共这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线点的一条直线.公理公理3 3：经过：经过的三点，有且只的三点，有且只有一个平面有一个平面.基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理9.2 9.2 平面及空间两直线的位置关系平面及空间两直线的位置关系两点两点不在同一
2、条直线上不在同一条直线上2.2.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 （1 1）位置关系的分类）位置关系的分类 异面直线：不同在异面直线：不同在一个平面内一个平面内 （2 2）异面直线所成的角）异面直线所成的角定义：设定义：设a a,b b是两条异面直线，经过空间中任一是两条异面直线，经过空间中任一点点O O作直线作直线a aa a,b bb b,把把a a与与b b所成的所成的 叫做异面直线叫做异面直线a a,b b所成的角所成的角.范围：范围：.共面直线共面直线平行平行相交相交任何任何锐角锐角或直角或直角2,0(3.3.直线与平面的位置关系有直线与平面的位置关系有、三种情况三种情况.4
3、.4.平面与平面的位置关系有平面与平面的位置关系有、两种情况两种情况.5.5.平行公理平行公理公理公理4 4：平行于：平行于 的两条直线互相平行的两条直线互相平行.6.6.定理定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且，那么这两个角相等，那么这两个角相等.平行平行相交相交在平在平面内面内平行平行相交相交同一条直线同一条直线方向相同方向相同1.1.(2010(2010无锡模拟无锡模拟)对于平面对于平面和直线和直线l l，内至少内至少有一条直线与直线有一条直线与直线l l（用（用“垂直垂直”，“平行平行”或或“异面异面”填空）填空）.2.2.空间有
4、四个点，如果其中任意三个点不共线，则空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有经过其中三个点的平面有个个.解析解析 四点共面时，为一个平面；四点不共面时，四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作可作4 4个平面个平面.基础自测基础自测垂直垂直1 1或或4 43.3.有以下四个命题，其中正确的命题的个数是有以下四个命题，其中正确的命题的个数是 .不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点若点A A、B B、C C、D D共面，点共面，点A A、B B、C C、E E共面，则共面，则 A A、B B、C C、D D、E E共面；共面；若直线
5、若直线a a、b b共面，直线共面，直线a a、c c共面，则直线共面，则直线b b、c c共共面；面；依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面.解析解析 只有只有正确正确.1 14.4.如果一个凸多面体是如果一个凸多面体是n n棱锥，那么这个凸多面体的棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有所有顶点所确定的直线共有 条条.这些直线中这些直线中共有共有f f（n n）对异面直线，则）对异面直线，则f f（4 4）=;f f（n n）=.（答案用数字或（答案用数字或n n的解析式表示）的解析式表示）解析解析 n n棱锥有棱锥有n n+1+1个顶点，故可确定个顶点，故可确定
6、 条直线条直线.四棱锥中每一四棱锥中每一条侧棱都和底面上两棱成异面直线，条侧棱都和底面上两棱成异面直线，故故f f（4 4）=4=42=82=8，n n棱锥中每一条侧棱锥中每一条侧棱都和底面上棱都和底面上n n-2-2条棱成异面直线，条棱成异面直线，故故f f（n n）=n n（n n-2-2）.8 82)1(C21nnn2)1(nnn n（n n-2-2）【例例1 1】如图所示，空间四边形】如图所示，空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G分别在分别在ABAB、BCBC、CDCD上，上，且满足且满足AEAEEBEB=CFCFFBFB=21=21，CGCGGDGD=31=31，
7、过，过E E、F F、G G的平的平面交面交ADAD于于H H，连结，连结EHEH.（1 1）求）求AHAHHDHD；（2 2）求证：）求证：EHEH、FGFG、BDBD三线共点三线共点.证明线共点的问题实质上是证明点在线上证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理点看作是两平面的公共点，由公理2 2得证得证.典型例题典型例题 深度剖析深度剖析分析分析（1 1）解解 EFEFACAC.EFEF面面ACDACD.而而EFEF平面平面EFGHEFGH，且面且面EFGHEFGH面面ACDA
8、CD=GHGH，EFEFGHGH.而而EFEFACAC，ACACGHGH.=3,=3,即即AHAHHDHD=31.=31.,2FBCFEBAEGDCGHDAH（2 2）证明证明 EFEFGHGH,且且EFEFGHGH，四边形四边形EFGHEFGH为梯形为梯形.令令EHEHFGFG=P P，则，则P PEHEH，而，而EHEH平面平面ABDABD，P PFGFG，FGFG平面平面BCDBCD，面，面ABDABD面面BCDBCD=BDBD，P PBDBD.EHEH、FGFG、BDBD三线共点三线共点.,41,31ACGHACEF跟踪练习跟踪练习1 1 如图，如图，E E、F F、G G、H H分别
9、是分别是空间四边形空间四边形ABAB、BCBC、CDCD、DADA上的点，上的点，且且EHEH与与FGFG交于点交于点O O.求证：求证：B B、D D、O O三点共线三点共线.证明证明 E EABAB，H HADAD，E E平面平面ABDABD，H H平面平面ABDABD.EHEH平面平面ABDABD.EHEHFGFG=O O，O O平面平面ABDABD.同理可证同理可证O O平面平面BCDBCD，O O平面平面ABDABD平面平面BCDBCD=BDBD，即即B B、D D、O O三点共线三点共线.【例例2 2】如图所示，正方体】如图所示，正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C
10、C1 1D D1 1中，中，MM、N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点的中点.问：问：（1 1）AMAM和和CNCN是否是异面直线？是否是异面直线？说明理由；说明理由；（2 2）D D1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直线？是否是异面直线？说明理由说明理由.（1 1）由于）由于MM、N N分别是分别是A A1 1B B1 1和和B B1 1C C1 1中点，中点，可证明可证明MNMNACAC，因此，因此AMAM与与CNCN不是异面直线不是异面直线.（2 2）由空间图形可知由空间图形可知D D1 1B B和和CCCC1 1为异面直线的可能性较为异面直线
11、的可能性较大，判断的方法可用反证法大，判断的方法可用反证法.分析分析解解 （1 1）不是异面直线）不是异面直线.理由：理由：MM、N N分别是分别是A A1 1B B1 1、B B1 1C C1 1的中点的中点.MNMNA A1 1C C1 1，又，又A A1 1A A D D1 1D D，而，而D D1 1D D C C1 1C C，A A1 1A A C C1 1C C，四边形四边形A A1 1ACCACC1 1为平行四边形为平行四边形.A A1 1C C1 1ACAC，得到，得到MNMNACAC，A A、MM、N N、C C在同一个平面内，故在同一个平面内，故AMAM和和CNCN不是不是
12、异面直线异面直线.（2 2）是异面直线，证明如下：）是异面直线，证明如下：假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1在同一个平面在同一个平面D D1 1CCCC1 1内，内，则则B B平面平面CCCC1 1D D1 1，C C平面平面CCCC1 1D D1 1.BCBC平面平面CCCC1 1D D1 1，这与这与ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中BCBC面面CCCC1 1D D1 1相矛盾相矛盾.假设不成立，故假设不成立，故D D1 1B B与与CCCC1 1是异面直线是异面直线.跟踪练习跟踪练习2 2 （20102010扬州模拟）扬州模拟）设设a a、b
13、b、c c是两两是两两异面的三条直线，已知异面的三条直线，已知a ab b,且且d d是是a a、b b的公垂线的公垂线.如果如果c ca a,那么那么c c与与d d的位置关系是的位置关系是 .解析解析 构造正方体构造正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，如图所示，因为如图所示，因为ABAB与与CCCC1 1异面且垂直，异面且垂直，BCBC是它们的公垂线，所以可记是它们的公垂线，所以可记ABAB、CCCC1 1、BCBC分别为分别为a a、b b、d d.因为因为c c与与a a、b b均异面，均异面，且且c ca a,注意到注意到a a侧面侧面ADDADD
14、1 1A A1 1，因此侧面，因此侧面ADDADD1 1A A1 1内的任一直线均与内的任一直线均与a a垂直，从图中可以看出，侧面垂直，从图中可以看出，侧面ADDADD1 1A A1 1内的内的A A1 1D D1 1和和A A1 1D D均与均与a a、b b异面，且均与异面，且均与a a垂垂直，所 以 可 记直，所 以 可 记 A A1 1D D1 1或或 A A1 1D D 为为 c c，此 时 由，此 时 由A A1 1D D1 1B B1 1C C1 1BCBC知，知，c cd d；由；由A A1 1D D与与BCBC异面知，异面知，c c与与d d为异面直线为异面直线.综上所述，
15、综上所述，c c与与d d平行或异面平行或异面.平行或异面平行或异面【例例3 3】如图，三棱柱】如图，三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1，底面为边长为底面为边长为2 2的正三角形，侧棱的正三角形，侧棱A A1 1A A底面底面ABCABC，点，点E E、F F分别是棱分别是棱CCCC1 1、BBBB1 1上的点，点上的点，点MM是线段是线段ACAC上的动点，上的动点，ECEC=2=2FBFB=2.=2.当点当点MM在何位置时，在何位置时，BMBM平面平面AEFAEF.解解 方法一方法一 如图，取如图，取AEAE的中点的中点O O，连结，连结OFOF，过，过点点O O作作O
16、MOMACAC于点于点MM，连结，连结BMBM.因为侧棱因为侧棱A A1 1A A底面底面ABCABC，所以侧，所以侧面面A A1 1ACCACC1 1底面底面ABCABC，所以，所以OMOM底面底面ABCABC.又因为又因为ECEC=2=2FBFB=2=2，所以，所以OMOM FBFB ECEC，所以四边形，所以四边形OMBFOMBF为矩形，为矩形，故故BMBM平面平面AEFAEF，此时点，此时点MM为为ACAC的中点的中点.21方法二方法二 如图，取如图，取ECEC的中点的中点P P，ACAC的中点的中点Q Q，连结，连结PQPQ、PBPB、BQBQ.因为因为ECEC=2=2FBFB=2=
17、2，所以，所以PEPE BFBF，所以所以PQPQAEAE、PBPBEFEF，PQPQ平面平面AEFAEF，PBPB平面平面AEFAEF.又又PQPQPBPB=P P，平面平面PBQPBQ平面平面AEFAEF，所以，所以BQBQ平面平面AEFAEF.故点故点Q Q即为所求的点即为所求的点MM，此时点，此时点MM为为ACAC的中点的中点.跟踪练习跟踪练习3 3 如图，如图，DCDC平面平面ABCABC，EBEBDCDC，P P，Q Q分别为分别为AEAE，ABAB的的中点中点.证明：证明：PQPQ平面平面ACDACD.证明证明 因为因为P P，Q Q分别为分别为AEAE，ABAB的中点，所以的中
18、点，所以PQPQEBEB.又又DCDCEBEB，因此，因此PQPQDCDC，PQPQ平面平面ACDACD，DCDC平面平面ACDACD，从而从而PQPQ平面平面ACDACD.【例例4 4】（】（1414分）在正方体分）在正方体ACAC1 1中，中，E E是是CDCD的中点，连接的中点，连接AEAE并延长与并延长与BCBC的延长线交于点的延长线交于点F F，连接，连接BEBE并并延长交延长交ADAD的延长线于点的延长线于点G G，连接，连接FGFG.求证：直线求证：直线FGFG平面平面ABCDABCD且直线且直线FGFG直线直线A A1 1B B1 1.证明证明 由已知得由已知得E E是是CDC
19、D的中点，在正方体中，的中点，在正方体中，由于由于A A平面平面ABCDABCD，E E平面平面ABCDABCD，所以所以AEAE平面平面ABCDABCD.又又AEAEBCBC=F F，从而从而F F平面平面ABCDABCD.同理同理G G平面平面ABCDABCD，所以，所以FGFG平面平面ABCDABCD.7 7分分因为因为EC ABEC AB，故在，故在RtRtFBAFBA中，中，CFCF=BCBC，同理同理DGDG=ADAD.又在正方形又在正方形ABCDABCD中，中，BC ADBC AD，所以，所以CFCF DGDG，所以四边形所以四边形CFGDCFGD是平行四边形，是平行四边形，所以
20、所以FGFGCDCD.又又CDCDABAB，ABABA A1 1B B1 1，所以直线所以直线FGFG直线直线A A1 1B B1 1.1414分分解题示范解题示范21跟踪练习跟踪练习4 4 已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是边分别是边ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.解解 如图，连结如图，连结BDBD.因为因为EHEH是是ABDABD的中位线，的中位线，所以所以EHEHBDBD，EHEH=BDBD.又因为又因为FGFG是是CBDCBD的中位线，的中位线，所
21、以所以FGFGBDBD，FGFG=BDBD，所以所以FGFGEHEH，且，且FGFG=EHEH，所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.2121由于本节内容为立体几何的基础，因此所有的立由于本节内容为立体几何的基础，因此所有的立体几何试题均会有本节内容的体几何试题均会有本节内容的“影子影子”，应给予，应给予重视，对本节内容的考查，常常会以综合性问题重视，对本节内容的考查，常常会以综合性问题的题目出现，但大多为容易题或中档题，预计江的题目出现，但大多为容易题或中档题，预计江苏卷对本节内容的考查会坚持课标与考纲的要求，苏卷对本节内容的考查会坚持课标与考纲的要求，不会有太大的变
22、动不会有太大的变动.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望1.1.对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表述用符号准确地表述.2.2.主要题型的解题方法主要题型的解题方法 （1 1）要证明）要证明“线共面线共面”或或“点共面点共面”可先由部分可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即这个平面内（即“纳入法纳入法”）.（2 2）要证明）要证明“点共线点共线”可将线看作两个平面的交可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，线，只要证明
23、这些点都是这两个平面的公共点，根据公理根据公理2 2可知这些点在交线上，因此共线可知这些点在交线上，因此共线.方法规律总结方法规律总结3.3.判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法 （1 1）判定定理：平面外一点）判定定理：平面外一点A A与平面内一点与平面内一点B B的连的连线和平面内不经过该点线和平面内不经过该点B B的直线是异面直线的直线是异面直线.（2 2）反证法：证明两线平行、相交不可能或证明）反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面两线共面不可能，从而可得两线异面.一、填空题一、填空题1.1.（20102010镇江模拟）镇江模
24、拟）空间三条直线空间三条直线a a、b b、c c互相平互相平行，但不共面，它能确定行，但不共面，它能确定个平面，这个平面，这些平面把空间分成些平面把空间分成部分部分.3 37 7定时检测定时检测2.2.（20102010九江调研）九江调研）已知已知a a，b b是异面直线，直线是异面直线，直线c c直线直线a a,则则c c与与b b的位置关系的位置关系（填序号）（填序号）.一定是异面直线一定是异面直线一定是相交直线一定是相交直线不可能是平行直线不可能是平行直线不可能是相交直线不可能是相交直线解析解析 a a,b b是异面直线，直线是异面直线，直线c c直线直线a a.因而因而c c b,b
25、,否则，若否则，若c cb b，则，则a ab b与已知矛盾，因而与已知矛盾，因而c c b b.3.3.（20092009安徽）安徽）对于四面体对于四面体ABCDABCD，下列命题正确，下列命题正确 的是的是（写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号）.相对棱相对棱ABAB与与CDCD所在的直线是异面直线；所在的直线是异面直线；由顶点由顶点A A作四面体的高，其垂足是作四面体的高，其垂足是BCDBCD三条高三条高 线的交点；线的交点；若分别作若分别作ABCABC和和ABDABD的边的边ABAB上的高，则这上的高，则这 两条高的垂足重合；两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四
26、个面的面积任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线 段相交于一点段相交于一点.解析解析 假设假设ABAB与与CDCD不是异面直线，则不是异面直线，则ABAB、CDCD共共面，这与面，这与ABCDABCD是四面体矛盾，故是四面体矛盾，故ABAB、CDCD是异面是异面直线，因此直线，因此正确正确.由于该四面体的相对棱不一定由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此过顶点互相垂直，因此过顶点A A作四面体的高，其垂足不作四面体的高，其垂足不一定是一定是BCDBCD三条高线的交点，故三条高线的交点，故不正确，当不正确，当A
27、BDABD与与ABCABC是全等三角形时，两个平面内是全等三角形时，两个平面内ABAB边上的高的垂足重合边上的高的垂足重合,此时两条高相交，故此时两条高相交，故不正不正确确.由于平面内三角形两边之和大于第三边，类比由于平面内三角形两边之和大于第三边，类比到空间可得四面体的任何三个面的面积之和都大到空间可得四面体的任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，故于第四个面的面积，故正确正确.正确，证明如下：正确，证明如下：设设P P1 1、P P2 2、P P3 3分别是分别是EGEG、FHFH、MNMN的中点，的中点，又设又设 =a a,=,=b b，=c c,则则同理可证同理可证 （a a+b
28、b+c c），），（a a+b b+c c）,三点三点P P1 1、P P2 2、P P3 3重合，即四面体相对棱的中点相重合，即四面体相对棱的中点相交于一点交于一点.答案答案 ABACAD11EPAEAP)(41)(41)(21212121cbaADACABAEAGABEGAB412AP413AP4.4.（20102010马鞍山模拟）马鞍山模拟）给出下列命题：给出下列命题：若平面若平面内的直线内的直线a a与平面与平面内的直线内的直线b b为异面直为异面直线，直线线，直线c c是是与与的交线，那么直线的交线，那么直线c c至多与至多与a a、b b中的一条相交；中的一条相交；若直线若直线a
29、a与与b b为异面直线，直线为异面直线，直线b b与与c c平行，则直线平行，则直线a a与与c c异面；异面；一定存在平面一定存在平面和异面直线和异面直线a a、b b同时平行同时平行.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是.解析解析 错，错，c c可以与可以与a a、b b均相交；均相交；错，因为错，因为a a与与c c也可能相交；也可能相交；对，可以将两异面直线对，可以将两异面直线a a与与b b平移到平移到空间内任意一点处，确定一个平面，该平面可以与空间内任意一点处，确定一个平面，该平面可以与a a、b b同时平行，并且这样的平面有无数多个同时平行，并且这样的平面有无数多个.5.5.
30、（20102010常州调研）常州调研）若若P P是两条异面直线是两条异面直线l l、m m外的任外的任意一点，则下列说法错误的有意一点，则下列说法错误的有 （填序号）（填序号）.过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都平行都平行过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都垂直都垂直过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都相交都相交过点过点P P有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与l l、m m都异面都异面解析解析 对于对于，若过点，若过点P P有直线有直线n n与与l l,m m都平行，则都平行，则l lm m，这与，这
31、与l l,m m异面矛盾；异面矛盾；对于对于，过点，过点P P与与l l、m m都垂直的直线，即过点都垂直的直线，即过点P P且与且与l l、m m的公垂线段平行的那一条直线；的公垂线段平行的那一条直线；对于对于,过点过点P P与与l l、m m都相交的直线有一条或零条；都相交的直线有一条或零条；对于对于，过点，过点P P与与l l、m m都异面的直线可能有无数条都异面的直线可能有无数条.6.6.（20102010苏州模拟）苏州模拟）已知已知a a、b b为不垂直的异面直为不垂直的异面直线线,是一个平面，则是一个平面，则a a、b b在在上的射影可能是上的射影可能是两条平行直线；两条平行直线；
32、两条互相垂直的直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；同一条直线；一条直线及其外一点一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是则在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）（写出所有正确结论的编号）.解析解析 、对应的情况如下：对应的情况如下：用反证法证明用反证法证明不可能不可能.7.7.（20092009全国全国改编）改编）已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 1=2=2ABAB，E E为为AAAA1 1的中点，则异面直的中点，则异面直线线BEBE与与CDCD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为.
33、解析解析 如图，连结如图，连结A A1 1B B，则，则A A1 1B BCDCD1 1故异面直线故异面直线BEBE与与CDCD1 1所成的角即为所成的角即为BEBE与与A A1 1B B所成的角所成的角.设设ABAB=a a,则则A A1 1E E=a a,A A1 1B B=a a,BEBE=a a.在在A A1 1BEBE中，由余弦定理得中，由余弦定理得coscosA A1 1BEBE=52BABEEABABE1212122.1010352252222aaaaa101038.8.（20092009广东揭阳调研）广东揭阳调研）如图如图,在正四棱在正四棱柱柱ABCDABCD-A A1 1B
34、B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别是分别是ABAB1 1、BCBC1 1的中点，则以下结论中成立的是的中点，则以下结论中成立的是（填序号）（填序号）.EFEF与与BBBB1 1垂直垂直EFEF与与BDBD垂直垂直EFEF与与CDCD异面异面EFEF与与A A1 1C C1 1异面异面解析解析 连结连结A A1 1B B，E E是是ABAB1 1中点，中点，E EA A1 1B B，EFEF是是A A1 1BCBC1 1的中位线，的中位线，EFEFA A1 1C C1 1，故故不成立不成立.答案答案 9.9.（20092009山东聊城山东聊城5 5月模拟）月模拟）如图如图
35、是一个几何体的平面展开图，其中四是一个几何体的平面展开图，其中四边形边形ABCDABCD为正方形，为正方形，E E、F F分别为分别为PAPA、PDPD的中点，在此几何体中，给出下面的中点，在此几何体中，给出下面三个结论：三个结论：直线直线BEBE与直线与直线CFCF是异面直线；是异面直线；直线直线BEBE与直线与直线AFAF是异面直线；是异面直线；直线直线EFEF平面平面PBCPBC.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是.解析解析 由已知，原几何体为正四棱锥由已知，原几何体为正四棱锥P P-ABCDABCD，EFEFADADBCBC，B B、C C、E E、F F四点共面四点共面.错，错
36、，对对.又又EFEFBCBC，BCBC平面平面PBCPBC，EFEF平面平面PBCPBC，EFEF平面平面PBCPBC，故，故对对.答案答案 二、解答题二、解答题10.10.（20102010淮安模拟）淮安模拟）在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，E E为为ABAB的中点，的中点，F F为为A A1 1A A的中点，的中点，求证：（求证：（1 1）E E、C C、D D1 1、F F四点共面；四点共面；（2 2）CECE、D D1 1F F、DADA三线共点三线共点.证明证明 （1 1）分别连结）分别连结EFEF、A A1 1B B、D D
37、1 1C C.E E、F F分别是分别是ABAB和和AAAA1 1的中点，的中点，EF AEF A1 1B B.又又A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1 BCBC，四边形四边形A A1 1D D1 1CBCB为平行四边形为平行四边形.A A1 1B BCDCD1 1，从而，从而EFEFCDCD1 1.EFEF与与CDCD1 1确定一个平面确定一个平面.E E、F F、D D1 1、C C四点共面四点共面.2121（2 2）EF CDEF CD1 1，直线直线D D1 1F F和和CECE必相交必相交,设设D D1 1F FCECE=P P.P PD D1 1F F且且D D1 1
38、F F平面平面AAAA1 1D D1 1D D，P P平面平面AAAA1 1D D1 1D D.又又P PECEC且且CECE平面平面ABCDABCD，P P平面平面ABCDABCD，即即P P是平面是平面ABCDABCD与平面与平面AAAA1 1D D1 1D D的公共点，的公共点，而平面而平面ABCDABCD平面平面AAAA1 1D D1 1D D=ADAD，P PADAD.CECE、D D1 1F F、DADA三线共点三线共点.2111.11.（20102010南通模拟）南通模拟）定线段定线段ABAB所在的直线与定平面所在的直线与定平面相交，相交，P P为直线为直线ABAB外的一点，且外
39、的一点，且P P不在不在内，若直内，若直线线APAP、BPBP与与分别交于分别交于C C、D D点，求证：不论点，求证：不论P P在什在什么位置，直线么位置，直线CDCD必过一定点必过一定点.证明证明 设定线段设定线段ABAB所在直线为所在直线为l l,与平面与平面交于交于O O点，点，即即l l=O O.由题意可知，由题意可知，APAP=C C，BPBP=D=D，CC，DD.又又APBP=P,APBP=P,APAP、BPBP可确定一平面可确定一平面且且CC，DD.CD=CD=.AA，BB,ll,O,O.OO，即，即OCD.OCD.不论不论P P在什么位置，直线在什么位置，直线CDCD必过一定
40、点必过一定点.12 12（20102010丽水一模）丽水一模）已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD，点，点E E、F F、G G、H H、MM、N N分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA、ACAC、BDBD的中点的中点.求证：三线段求证：三线段EGEG、FHFH、MNMN交于一点且被交于一点且被该点平分该点平分.证明证明 如图所示，如图所示，连接连接EFEF、FGFG、GHGH、HE.HE.EE、F F、G G、H H分别为分别为ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，的中点，EFHGEFHG，EHFGEHFG，四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.设设EGEGFHFH=O O，则则O O平分平分EGEG、FHFH.同理，四边形同理，四边形MFNHMFNH是平行四边形，是平行四边形，设设MNMNFHFH=O O，则则O O平分平分MNMN、FHFH.点点O O、O O都平分线段都平分线段FHFH，点点O O与点与点O O重合，重合，MNMN过过EGEG和和FHFH的交点，即三线段的交点，即三线段EGEG、FHFH、MNMN交交于一点且被该点平分于一点且被该点平分.
