1、W Y第章 6-1第章 6-2第章 6-3iirmaxmin)()(maxmaxxxfriii)()(iiixxfr)()(maxmin)()(maxbxaxxfxxfHbxa第章 6-4nnxxspanHH,1nkkkxax0)()()(maxxxfbxa,baxo)()(max)()(00 xxfxxfbxa第章 6-512.114xxxtg7918.00429.01第章 6-6arctgx第章 6-7可假定最大偏差值为可假定最大偏差值为E，则有：，则有：arctgx第章 6-8为最佳一致逼近一次式而为极值点xxtgEatgaaaaEaaEaatgEaaaxxaaarctgxxRRERER
2、ERx7854.00356.0 0356.00356.0)(21117854.04 011401111)()()(0)(,)1()(,)0(11101112101010121210第章 6-9)()(maxxxfbxa)()(maxxxfbxa)()(maxmin)()(maxxxfxxfbxaHbxa)()(maxxxfbxa)()(max)()(maxminxxfxxfbxabxaH第章 6-10第章 6-11第章 6-12nkkknxaxP0)(1,2,1,0 0)()()()()()(22nkxPxfbxaxExPxfknkkknknk第章 6-13)(21)()(max)(21)()
3、()(21)()(020211mMxPxfmMxPxfmMxPxfbxao且偏差222)(212120mMyyyyyxP所以，第章 6-14第章 6-15(3)(2)(1)(,3)(0)()()()(10110110210201111111EbaabfExaaxfEaaaafbxxxxaxxbxaxaxfaxfxPxfaxP：又由推论由于：也可参见下屏例，几何意义如引例，最小偏差值代入任一个方程中可求有联立中且代入为直线斜率即：由11,)2()()(2)()()(22)()()2)(1()1()()()()()()()()3()1(1011101111011111010Eaaxaxabafbf
4、xfafxaaxPxaaxfafaxaxfabafbfbabfafabaabfaaaaf第章 6-16xxf)(16)021)()(1212 axxPxfxx定定号号）(041)21()()(4111 xaxxPxf1121)()(axxPxf 第章 6-17EaPf 01)0()0(EaaPf 1011)1()1()17(1100aaa (18)22100 xxaaa ExaaxxPxf 2102212)()(16)02112 ax第章 6-18xxf)(81)(1 xxPxy xyxy81xy41xy10.581)(1xxPy第章 6-19 对定义在任意区间a,b上的函数f(x)，作变换：
5、即可将定义在a,b上的f(x)，化为定义在-1，1上的函数g(t)：)()22()(tgtababfxf因此，下面仅对区间-1，1进行讨论。切比雪夫插值法切比雪夫插值法是将切比雪夫多项式的性质与插值结是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：想是：上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。tababx22第章 6-20以切比雪夫多项式以切比雪夫多项式Tn+1(x)的的n+1个零点：个零点：为节点构造为节点构造f(x)的的n次插值多项式次插值多项式 n(x)，而以，而以 n
6、(x)作为作为n次最佳一致逼近多项式的近似。次最佳一致逼近多项式的近似。),1,0()1(212cosnknkxk 定理定理6.7（切比雪夫性质切比雪夫性质）设）设H为最高项系数为为最高项系数为1的的n次多项式的集合，则有次多项式的集合，则有)(maxmin2)(max11111xPxTnxHPnnxn第章 6-21111112)(max)(maxnnxnxxTxP 由切比雪夫多项式的性质，在由切比雪夫多项式的性质，在-1，1上在上在n+1个偏差点个偏差点（极值点）：（极值点）：),2,1,0()1()(nkxTkkn 证明证明）用反证法）：假设存在用反证法）：假设存在 使得使得：HxPn)(
7、因为因为 于是于是 令令：1)(xTn121)(nnxP)()(21)(1xPxTxQnnn处有：处有：nkxkcos定理定理6.7（切比雪夫性质）证明（切比雪夫性质）证明第章 6-220)(2)(010 xPxQnn0)(2)(111xPxQnn0)(2)(012xPxQnn 即在即在n+1个偏差点处个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函轮流取上负值，因此由连续函数介值定理，数介值定理，在在-1，1上应具有上应具有n个零点。个零点。但但：和和Pn(x)都是最高次项系数为都是最高次项系数为1的的n次多项次多项式，式，Q(x)作为它们的差，至少是作为它们的差，至少是n-1次多项式，不可能次
8、多项式，不可能有有n个零点，所以个零点，所以定理得证定理得证。)(xQ)(211xTnn 定理定理6.7证明（续）证明（续）第章 6-23 因此，对于因此，对于-1，1上的上的f(x)，若以，若以Tn+1(x)的的n+1个个零点作零点作n次插值多项式次插值多项式 n(x)，其插值余项为：，其插值余项为：)()!1()()()()(1)1(xnfxxfxRnnnn定理定理6.7说明，在说明，在H中的中的 最大绝对值最小，故最大绝对值最小，故对表达式：对表达式：仅当仅当 x0,x1,xn 取为取为Tn+1(x)的零点时达到最小值的零点时达到最小值2 n。)(211xTnn)()(max)(max1
9、011111nxnxxxxxxxx第章 6-24此时误差为：时当,)(21)(11xTxnnn)!1(22)1()()()(1)1(nMnxTfxRnnnnn 这表明以这表明以 n(x)作作n次插值多项式，比次插值多项式，比采用其它采用其它n+1个节点插值所产生的误差个节点插值所产生的误差都要小，因而都要小，因而n次切比雪夫插值多项式次切比雪夫插值多项式可作为可作为n次最佳一致逼近多项式的近似。次最佳一致逼近多项式的近似。第章 6-25:)2()(11的零点求ababxTxTnnnknkababxk,1,0 )1(212cos22).(),1,0)(,(xnkxfxnkk为节点作插值多项式以第
10、章 6-2645.14)4(3323)(323)5.1(245.5!4)()(21)(,)()(!3)0(2)0()0()0()(0)(1 exfxRxxxxPexkxfxfxfxffxPTaylorxxfxk其误差为：故：因为多项式为：处的三阶在）（解第章 6-27xxxxxxxxxxN2732.105745.03877.1 6488.1)5.0(139.2)1)(5.0(3877.1)(23325.14)4(3)5.1(245.5)(!4)()(exfxR第章 6-280571.06929.075.087cos25.125.1463.0287.075.085cos25.125.1037.1
11、287.075.083cos25.125.14429.16929.075.08cos25.125.13210 xxxx，)(3xT第章 6-295.13)4(32331935.5!42)()(01433.03028.10451.03809.1 )037.1)(463.0)(0571.0(3809.1 )463.0)(0571.0(1953.2)0571.0(6633.106046.0)(efxRxxxxxxxxxx其误差为：第章 6-30 11152234，在求多项式xxxxf)()(3xpxf)(21)(213xpxf)(21)(213xpxf定理定理6.7)(21)(213xpxf11，在
12、)(4xT)(2)()(43xTxfxp)81(215224234xxxxx43723xx第章 6-31)()()(1xTaxfxpnnn 为其中)(xTn次多项式仍然是换为将令nxfxfxftbabax)(),()(,22)(1)(1tPnttfn 次最佳一致逼近多项式的关于变量)2()(11abbaabxpxpnnW Y第章 6-32第章 6-33 上机练习题：不同拟合模型的比较上机练习题：不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出二乘拟合函数，并求出偏差平方和偏差平方和Q，比较拟合曲，比较拟合曲线的优劣。线的优
13、劣。方案方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式：拟合函数取为如下形式的三次多项式：3322101)(xaxaxaaxF方案方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式用离散正交多项式求三次拟合多项式 方案方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式用离散正交多项式求四次拟合多项式 方案方案IV 拟合函数取为如下形式的函数：拟合函数取为如下形式的函数：10sin)(xbaxF第章 6-34x00.20.61.01.31.61.71.81.9y0 2.5 4.0 5.7 3.5 2.0 1.02.03.5x2.22.32.52.62.93.13.43.84.1y4.07.07.59.910.911.913.513.011.9x4.44.74.84.95.05.15.3 y9.06.54.01.50.0 2.5 5.0
