1、地球物理反演理论地球物理反演理论武汉大学武汉大学 测绘学院测绘学院地球物理反演理论课程组地球物理反演理论课程组Backus-Gilbert反演理论反演理论1，在精确数据情况下连续介质的反演理论，在精确数据情况下连续介质的反演理论2，在观测数据具有误差的情况下连续介质，在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论的反演理论 3，BG线性评价（一）线性评价（一）4，BG线性评价（二）线性评价（二）5，BG反演理论在反褶积中的应用反演理论在反褶积中的应用 Backus-Gilbert反演理论反演理论连续介质的反演理论是反演理论之父连续介质的反演理论是反演理论之父Backus和和Gilbert建立的，
2、目前已形成一套完整、系统的理论（称之为建立的，目前已形成一套完整、系统的理论（称之为BG理论）。理论）。BG理论包括两大部分：第一部分，在连续介质情况下，如理论包括两大部分：第一部分，在连续介质情况下，如何处理数据有限而又有误差的观测数据；第二部分，在何处理数据有限而又有误差的观测数据；第二部分，在连续介质情况下，如何处理解的非唯一性（如何从众多连续介质情况下，如何处理解的非唯一性（如何从众多的非唯一的解中提取观测数据所的非唯一的解中提取观测数据所“给予给予”模型的证实信模型的证实信息），即息），即BGBG评价理论。评价理论。在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论
3、 假定地球物理模型是空间坐标假定地球物理模型是空间坐标 的连续函数，其数据方程可表的连续函数，其数据方程可表示为：示为：rrirriimgmgd00dd,ig m1,2,iM(4.1)(4.1)式中：式中：为观测数据的个数，为观测数据的个数，个观测数据组成一个精确的不完整个观测数据组成一个精确的不完整的数据集，构成的数据集，构成 个积分方程；个积分方程；是观测数据；是观测数据；为核函数；为核函数；为模型；为模型；为参量；而为参量；而 则表示内积则表示内积MMMid iiiggg,mimgi,在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 下面讨论线性积分方程（下面讨论线性
4、积分方程（4.14.1）的解法，即由）的解法，即由 个观测数据个观测数据 如何求取模型如何求取模型Mid m1、最小模型（、最小模型（smallest model）如果需要一个模型参数如果需要一个模型参数 范数为最小的模型，则可选择的目标函范数为最小的模型，则可选择的目标函数如下：数如下：rrmfE0d2（4.2）式中：式中：是任意选择的加权函数。在（是任意选择的加权函数。在（4.14.1）式限制下，用）式限制下，用极小（极小（4.24.2）式可求得）式可求得 f m在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 1、最小模型（、最小模型（smallest model）在
5、（在（4.14.1）式）式 个条件约束下，极小（个条件约束下，极小（4.24.2）式目标函数）式目标函数 的问的问题，就是条件极值问题。从最优化原理可知，如上的条件极值题，就是条件极值问题。从最优化原理可知，如上的条件极值问题必须化为求如下目标函数的无条件极值问题：问题必须化为求如下目标函数的无条件极值问题：0021ddMrriiirriEfmdgm（4.3）式中：式中：为拉格朗日算子。为拉格朗日算子。iME在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 1、最小模型（、最小模型（smallest model）根据变分原理中的欧拉方程，可得：根据变分原理中的欧拉方程，可得
6、：1122MMiiiiiiiga gma ff（4.4）式中：式中：2iia（4.5）将（将（4.4）式代入（）式代入（4.1）式，即得：）式，即得：在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 1、最小模型（、最小模型（smallest model）0021211ddMrkkiirkMMrikkkikrkka gdgfggaa Gf（4.6）式中：式中：（4.7）如果将（如果将（4.4）式代入（）式代入（4.6）式分别改写，则有：）式分别改写，则有：02d,rikikikrggggGfff在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 1、最小模
7、型（、最小模型（smallest model）21Tfma g（4.8）式中：式中：（4.9）dGa12Maaaa12Mgggg111212122212MMMMMMGGGGGGGGGG（4.10）在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 1、最小模型（、最小模型（smallest model）由此可得最小模型的反演步骤如下：首先，根据（由此可得最小模型的反演步骤如下：首先，根据（4.74.7）式）式计算计算 ，并根据（，并根据（4.104.10）式组成矩阵）式组成矩阵 ；其；其次，根据（次，根据（4.94.9）式反演求取列向量）式反演求取列向量 ，这里，这里 ；第三
8、，；第三，由（由（4.84.8）式计算连续模型）式计算连续模型 。,1,2,ikGi kMGa1aG d m在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）如果欲求一个如果欲求一个 起伏最小的模型，则可选择起伏最小的模型，则可选择如下的目标函数：如下的目标函数：mm 02drrEfm（4.11）但是，数据方程（但是，数据方程（4.1）式中并不）式中并不包括包括 。为此。为此，对（，对（4.1）式）式进行分部积分，即：进行分部积分，即：m 000ddrrriiiirrrdgmmhmh在精确数据情况下连续介质的反演理
9、论在精确数据情况下连续介质的反演理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）式中式中 0diirhguu iiifm r h rd（4.13）则有：则有：（4.12）00ih r假设：假设：0driirfmh ,imh1,2,iM（4.14）显然，（显然，（4.14）式就是新的数据方程组，可以作为极小（）式就是新的数据方程组，可以作为极小（4.11）式）式的约束条件。的约束条件。在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）和最小模型的求法相同，可得到和最小模型的求法相同，可得到 的最小模
10、型的最小模型 进而求得进而求得 的最平缓模型的最平缓模型 。其步骤如下：。其步骤如下：第一，按（第一，按（4.134.13）式计算）式计算 及及 和和 的内的内积积 ：（4.15）并构成矩阵：并构成矩阵：m m m m if ihf khfikH 0drikikrhhHff在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）（4.16）111212122212MMMMMMHHHHHHHHHH第二：按下式计算向量第二：按下式计算向量 ，FH得：得：1H F在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演
11、理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）（4.17）12MfffF第三：和（第三：和（4.84.8）式类似，计算）式类似，计算 的最小模型的最小模型 ，即：，即：m式中：式中：12M m 21Tmf h式中：式中：12Mhhhh在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 2、最平缓模型（、最平缓模型（flattest model）（4.18）第四：对第四：对 积分，可得积分，可得 的最平缓模型，即：的最平缓模型，即：m m 0drmm uu 由此可见，在求最平缓模型时，是把由此可见，在求最平缓模型时，是把 作为新的观测数据；作为新的观测数据；
12、为新的核函数；为新的核函数；作为新的待求最小模型。从计算过程可知，作为新的待求最小模型。从计算过程可知，求最平缓模型必须先已知在深度求最平缓模型必须先已知在深度 处的模型参数处的模型参数 ，这也是一，这也是一种反演过程中强加的先验信息。种反演过程中强加的先验信息。ifih mr m r在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model）（4.19）类似地，如对（类似地，如对（4.144.14）式再作一次分部积分，则得：）式再作一次分部积分，则得：0driiremk式中：式中：000dd duiiirrrkh uug
13、xx u（4.20）iiiiiiem r krfdm r h rm r kr（4.21）在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model）（4.22）求最光滑模型的目标函数为：求最光滑模型的目标函数为：02drrEfm其限制条件是（其限制条件是（4.19）式。按同样的方法，可得：）式。按同样的方法，可得：21Miiikmf（4.23）00d durrmmxx u（4.24）进而，不难求得最光滑模型进而，不难求得最光滑模型在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑
14、模型（smoothest model）求最光滑模型的计算步骤如下：求最光滑模型的计算步骤如下：第一，按（第一，按（4.214.21）式计算）式计算 及及 和和 的内积的内积 ，并，并组成矩阵组成矩阵 。0driirkkKff（4.25）eK（4.26）第二，按下式计算向量第二，按下式计算向量 ie ikf kfiKK且且1K e在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model）式中：式中：（4.27）12Meeee（4.28）111212122212MMMMMMKKKKKKKKKK12M在精确数据情况下连续介质的
15、反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model）第三，按（第三，按（4.234.23）式计算）式计算 的最小模型的最小模型 ，即：，即：（4.29）（4.30）m m 22111MTiiimkff k式中：式中：12MkkkK在精确数据情况下连续介质的反演理论在精确数据情况下连续介质的反演理论 3、最光滑模型（、最光滑模型（smoothest model）第四，按（第四，按（4.244.24）式计算最光滑模型）式计算最光滑模型 m 由连续介质的最小模型，最平缓模型和最光滑模型的讨论中可由连续介质的最小模型，最平缓模型和最光滑模型的讨论中
16、可以看出：除以观测数据方程作为限制条件外，最小模型无须另外的以看出：除以观测数据方程作为限制条件外，最小模型无须另外的先验信息；而最平缓模型和最光滑模型则不同，前者需要知道在先验信息；而最平缓模型和最光滑模型则不同，前者需要知道在 处的处的 值，后者除值，后者除 外还要知道外还要知道 的值。的值。由于目标函数不同，限制条件各异，连续介质的这三种模型无由于目标函数不同，限制条件各异，连续介质的这三种模型无疑不会完全一致，但都可以拟合观测数据。这再一次证明地球物理疑不会完全一致，但都可以拟合观测数据。这再一次证明地球物理资料反演的非唯一性问题的严重性。资料反演的非唯一性问题的严重性。r m r m
17、 r m r在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 实际观测数据都是含有误差的，只是误差大小及其所遵循实际观测数据都是含有误差的，只是误差大小及其所遵循的规律不同罢了。如何对待和处理有误差的观测数据，是的规律不同罢了。如何对待和处理有误差的观测数据，是BGBG反反演理论的一个重点。演理论的一个重点。为了更清楚地理解这里所讲的内容，先复习一下矩阵的条为了更清楚地理解这里所讲的内容，先复习一下矩阵的条件数的概念。件数的概念。在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 1 1、矩阵的条件数、矩阵的条件数设
18、反演的数据方程：设反演的数据方程：dGm（4.31）中观测数据中观测数据 和核函数和核函数 的误差分别为的误差分别为 和和 ，试问，在这种，试问，在这种条件下会对模型造成多大的误差条件下会对模型造成多大的误差？首先，讨论首先，讨论 的变化引起的的变化引起的 之变化。在线性方程时，有：之变化。在线性方程时，有：dGdGmdmdG m（4.32）对（对（4.31）式和（）式和（4.32）式两端取范数，则有：）式两端取范数，则有：在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 1 1、矩阵的条件数、矩阵的条件数dGm因而因而称矩阵称矩阵 的条件数。的条件数。
19、1mGd1cmddGGmdd（4.33）其中：其中：1c GG（4.34）G在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 1 1、矩阵的条件数、矩阵的条件数其次，讨论核函数其次，讨论核函数 的误差的误差 会引起模型会引起模型 的多大误差，的多大误差，由（由（4.314.31）式知，）式知，G整理后得：整理后得：GGGmmd（4.35）或：或：（4.36）m G mG mm1 mGG mm由（由（4.354.35）式和（）式和（4.364.36）式得：）式得：在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 1
20、1、矩阵的条件数、矩阵的条件数（4.334.33）式和（）式和（4.374.37）式告诉我们，模型的相对误差既与观测数）式告诉我们，模型的相对误差既与观测数据的相对误差和核函数的相对误差成正比，也与矩阵据的相对误差和核函数的相对误差成正比，也与矩阵 的条件的条件数数 有关，即有关，即 越大，越大，或或 引起的引起的 越大。此时称矩越大。此时称矩阵阵 的条件很坏，会给反演带来灾难；相反的条件很坏，会给反演带来灾难；相反 值越小，矩阵的值越小，矩阵的条件数越好，反演结果的稳定性越大。条件数越好，反演结果的稳定性越大。1cmGGGGmmGG（4.37）式中：式中：也是条件数也是条件数cGccdGmG
21、c在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 1 1、矩阵的条件数、矩阵的条件数 不难证明，当不难证明，当 为对称正定矩阵时，其条件数为：为对称正定矩阵时，其条件数为：G（4.38）式中：式中：和和 分别为矩阵分别为矩阵 之最大、最小特征值。之最大、最小特征值。maxminccGGmaxmin在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制设：设：tiiiddd式中：式中：为观测数据的真值；为观测数据的真值；为
22、观测误差。为观测误差。由于由于 是一个统计量，其数值不可能准确地确定，有时是一个统计量，其数值不可能准确地确定，有时连统计规律也不清楚。为理论讨论方便，而又具普遍性，作如连统计规律也不清楚。为理论讨论方便，而又具普遍性，作如下假设：下假设：（1 1）每个）每个 均服从均值为零、方差为均服从均值为零、方差为 的高斯正态分布；的高斯正态分布；（2 2）观测数据的误差是不相关的，即：）观测数据的误差是不相关的，即：cov,0ijdd tidid1,2,iMidid2iij在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介
23、质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制如果以如果以 去除去除 ，即把它变成单位方差，即把它变成单位方差，,iidg miidiiidd（4.39）则则 也服从高斯正太分布，其均值也服从高斯正太分布，其均值 ，方差方差 此时，原始数据方程：此时，原始数据方程：id0iEdVar1id（4.40）将变为：将变为：,iidg m（4.41）在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制式中：式中：iiidd（4.42）式（式（4.414.4
24、1）和无误差观测数据方程完全相同。因此，可按相）和无误差观测数据方程完全相同。因此，可按相同的方法解之，即在（同的方法解之，即在（4.414.41）式）式 个条件限制下求如下目标函个条件限制下求如下目标函数的极小。数的极小。02drrEfmiiigg（4.43）M在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制最小模型解为：最小模型解为：式中：式中：也是一个加权函数；也是一个加权函数；为如下矩阵方程的解：为如下矩阵方程的解：dGa 21Miiigmaf f
25、ia式中：式中：，为列向量；为列向量；为为 阶方阵，其表达式和阶方阵，其表达式和（4.104.10）式相同。）式相同。daGMM在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制 由于由于 是对称正定矩阵，可分解为：是对称正定矩阵，可分解为：式中：式中：1200MTGRR 为为 的第的第 个特征值，且个特征值，且 ，而，而 是是 的特征向量矩阵，且满足：的特征向量矩阵，且满足：G（4.44）iGi120MGRTTRRR RI在观测数据具有误差的情况下连续介质
26、的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制 所以：所以：且且 2Tmf a g11TaG dR R d（4.45）若取若取 ，则有：，则有：1f 11MTTTiiimbd R R gB 式中式中12MbbbB12M（4.46）在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制 且且11Mijijjibr d（4.48）11Mijijjir g而而
27、是矩阵是矩阵 的要素。的要素。jir（4.47）1,2,iMR在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制 m 由（由（4.474.47）和（）和（4.484.48）式看出，）式看出，只与核函数有关，因而只与核函数有关，因而其特征向量其特征向量 也必然只与核函数也必然只与核函数 有关。而有关。而 则不同，它则不同，它是是 和和 之线性组合，因此，它既与核函数也与观测数据之线性组合，因此，它既与核函数也与观测数据 有关。如果，把有关。如果，把 看做修改后
28、的观测数据，看做修改后的观测数据，看做是坐标基，看做是坐标基，则由（则由（4.454.45）式可以看出，模型）式可以看出，模型 就是修改后的观测数据就是修改后的观测数据在坐标基在坐标基 上的投影所组成的上的投影所组成的 维矢量。维矢量。ijirjgibjirjddibiM在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论 2 2、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制、在观测数据具有误差的情况下连续介质的模型构制 mBiib2 iM 和和 的性质：的性质：（1 1）是一组正交函数系是一组正交函数系 模型模型 就是修改后的观测数据向量就是修改后的观测数
29、据向量 与这一正交坐标与这一正交坐标基的线性组合。因此，模型构制的过程，就是正交变化的过程。基的线性组合。因此，模型构制的过程，就是正交变化的过程。（2 2）修改后的观测数据）修改后的观测数据 是统计独立的是统计独立的（3 3）观测数据拟合误差）观测数据拟合误差 的计算的计算ibBG线性评价（一）线性评价（一）对待非唯一性问题，科学家们提出两种不同的战略：一是对待非唯一性问题，科学家们提出两种不同的战略：一是加紧研究新的反演方法，强加各种不同的限制条件，以缩小解加紧研究新的反演方法，强加各种不同的限制条件，以缩小解的非唯一性范围，使解更逼近待求的地球物理模型；另一种是的非唯一性范围，使解更逼近
30、待求的地球物理模型；另一种是从构制出来的模型中提取所有能拟合观测数据的模型的共同信从构制出来的模型中提取所有能拟合观测数据的模型的共同信息。息。对于第二种战略，最著名、最成功的要算对于第二种战略，最著名、最成功的要算Backus-Gilbert的的线性评价理论。线性评价理论。BG线性评价（一）线性评价（一）1 1、基本理论、基本理论 观测数据方程：观测数据方程：,iidg m1,2,iM启示：任何一个观测值启示：任何一个观测值 都可看成模型都可看成模型 在窗口在窗口 范范围内的平均。那么，围内的平均。那么，个观测数据个观测数据 的平均可否构成某个深度的平均可否构成某个深度 处的模型值处的模型值
31、 呢？呢？首先假设可以求得一组系数首先假设可以求得一组系数 ，使它和核函数，使它和核函数 之线性组合可以构成一个狄拉克之线性组合可以构成一个狄拉克 函数，即：函数，即：id m igMid00m0ia ig 001Miiiag（4.49）BG线性评价（一）线性评价（一）1 1、基本理论、基本理论 再利用再利用 与观测的数据组成另一组线性组合，即：与观测的数据组成另一组线性组合，即：00011,MMiiiiiiadag mm可见，只要在深度可见，只要在深度 能确定一组系数能确定一组系数 ，使之与，使之与 能组成一个能组成一个 函数，则函数，则 与观测数据与观测数据 之线性之线性组合就可以唯一地确
32、定深度组合就可以唯一地确定深度 处模型的值处模型的值 。（4.50）0ia00ia ig0 0iaid00mBG线性评价（一）线性评价（一）1 1、基本理论、基本理论 然而，由于然而，由于 个核函数个核函数 的线性组合是不可能真正的线性组合是不可能真正确定一个确定一个 函数，只能求得与函数，只能求得与 函数近似的函数近似的函数，称之为平均函数函数，称之为平均函数 。显然，平均函数显然，平均函数 越接近于中心位于越接近于中心位于 的的 函数，则函数，则越能准确地确定越能准确地确定 处的模型值处的模型值 ，即有：，即有：M0m ig0 0 00,mAm 00,A 0 0,A（4.51）反之，则反之
33、，则 就越不同于就越不同于 。0m0mBG线性评价（一）线性评价（一）1 1、基本理论、基本理论 如把（如把（4.514.51）式重新改写为：）式重新改写为：则不难理解则不难理解 是模型是模型 在以平均函数在以平均函数 为为窗口的范围内之平均值。窗口的范围内之平均值。显然，这就是我们能从观测数据中提取出来的所有能拟合显然，这就是我们能从观测数据中提取出来的所有能拟合观测数据的模型（含真实模型）所包含的共同信息。观测数据的模型（含真实模型）所包含的共同信息。m 000,drrmAm 0,A 0mBG线性评价（一）线性评价（一）1 1、基本理论、基本理论 平均函数平均函数 应该满足的性质：应该满足
34、的性质：（1 1）是归一化的，即：）是归一化的，即：00,d1rrA 0,A 0（4.52）（2 2）的峰值应在的峰值应在 处。峰的宽度应尽可能窄，最好处。峰的宽度应尽可能窄，最好接近于狄拉克接近于狄拉克 函数，其主叶应该大，边叶应该小，最好均为函数，其主叶应该大，边叶应该小，最好均为正值。正值。0,A BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定（1 1）第一类狄里希来准则）第一类狄里希来准则 由于我们希望平均函数由于我们希望平均函数 尽量接近尽量接近 ，故，故此可以它们的方差为最小作为目标函数，求取待求系数。它可此可以它们的方差为最小作为目
35、标函数，求取待求系数。它可以表示为以下泛函形式，即：以表示为以下泛函形式，即：ia0200,drrEA 0,A 0,A 0（4.53）将式下代入（将式下代入（4.53）式：）式：001,MiiiAag（4.54）可得：可得：BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定（1 1）第一类狄里希来准则）第一类狄里希来准则ia0201dMriiriEa g 0,A 对对 求偏导数，并设其为零，则有：求偏导数，并设其为零，则有：ia0000j10j12g d2dg d0MriirijMrriijrriEa gaag g BG线性评价（一）线性评价（一）2
36、 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定所以有：所以有：ia0,A 设：设：,ijijGg g0j01dgMriijriag g（4.55）则有：则有：dGA（4.56）式中：式中：10200Mgggd10200MaaaA（4.56）BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定ia0,A（4.57）故故1AG d111212122212MMMMMMGGGGGGGGGG 在求得在求得 之后，将其要素之后，将其要素 和和 线性组合，则线性组合，则得平均函数得平均函数 ，进而提取出，进而提取出 。A0ia ig0,A 0mBG线性
37、评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定必须注意：必须注意：由于狄拉克函数之频繁的积分是无限大，目标函数由于狄拉克函数之频繁的积分是无限大，目标函数 是无是无界的，不能直接确定。但庆幸的是，狄拉克函数的微分是有界的，不能直接确定。但庆幸的是，狄拉克函数的微分是有界的，在对目标函数的极小化过程中，其导数是常数。因此，界的，在对目标函数的极小化过程中，其导数是常数。因此，仍然是可以求出加权系数仍然是可以求出加权系数由于由于 是无界的，因此不能用来评价是无界的，因此不能用来评价 的分辨力。的分辨力。但由于但由于 以面积为单位，其主叶越高，宽度就越窄，以面
38、积为单位，其主叶越高，宽度就越窄，边叶也必然越小，因此，可以用主叶峰值的倒数来评价分辨边叶也必然越小，因此，可以用主叶峰值的倒数来评价分辨力的高低。力的高低。ia0,A E0iaE0,A 0,A BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定必须注意：必须注意：实践证明，按第一类狄里希来准则求出的平均函数之边叶，实践证明，按第一类狄里希来准则求出的平均函数之边叶，有正有负。由于负值的出现，使其在有正有负。由于负值的出现，使其在 即即 处处平均函数平均函数 窗口范围内，模型窗口范围内，模型 之平均值的解释之平均值的解释困难增大了。尽管困难增大了。尽
39、管 是唯一的信息，解释人员仍然难是唯一的信息，解释人员仍然难以获得模型以获得模型 在在 附近的确切值。因此，从某种意义讲，附近的确切值。因此，从某种意义讲，这种具有负边叶的平均函数还不如其主叶较宽，但边叶无负这种具有负边叶的平均函数还不如其主叶较宽，但边叶无负值出现。值出现。ia0,A 0m0,A 0 m0m m0BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定（2 2）第二类狄里希来准则）第二类狄里希来准则 采用采用HeavisideHeaviside阶跃函数，而不是阶跃函数，而不是 函数来构筑目标函数。函数来构筑目标函数。在在 处，阶跃函数的定
40、义是：处，阶跃函数的定义是：ia0,A 000dHuu0（4.58）由于核函数的线性组合可以逼近由于核函数的线性组合可以逼近 函数，因此，用核函数的函数，因此，用核函数的不定积分的线性组合，也可以逼近阶跃函数不定积分的线性组合，也可以逼近阶跃函数 ，即：，即：0HBG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定ia0,A 0001dMiiiHaguu（4.59）设：设：0diiruguu（4.60）则：则：001MiiiHau（4.61）001,Miiiag （4.62）BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函
41、数 的确定的确定现在，用现在，用 和和 之差的平方来构筑目标函数，之差的平方来构筑目标函数，即：即：ia0,A 0H并极小之，将（并极小之，将（4.61）式代入上式，则有：）式代入上式，则有：（4.63）0H0200drrEHH 00020010011001dd2dMriiriMMrijijrijMriiriEauHaauuaurBG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定令令ia0,A ,ijijGuu则（则（4.63）式可化为：）式可化为：（4.64）002rijbud0TTrEA GAA B式中式中 如（如（4.564.56）式所示；）式
42、所示；的要素如（的要素如（4.644.64）式所示。）式所示。根据最优化原理，求根据最优化原理，求 相对于相对于 的偏导数，并设其为的偏导数，并设其为零，则得：零，则得：ABETAGAB（4.65）BG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定或或ia0,A 求出向量求出向量 之后，不难根据（之后，不难根据（4.544.54）式和（）式和（4.504.50）式）式求出平均函数求出平均函数 和和 处模型之平均值处模型之平均值 。现在讨论现在讨论 之分辨率。定义分辨率宽度为：之分辨率。定义分辨率宽度为：（4.66）A020012drrWHH （4.6
43、7）1AG B0,A 00m0m显然，显然，越小，说明越小，说明 越接近越接近 ，即分，即分辨率越高；反之，则分辨率越低。辨率越高；反之，则分辨率越低。W 0H0HBG线性评价（一）线性评价（一）2 2、加权系数、加权系数 和平均函数和平均函数 的确定的确定 注意：和第一类狄里希来准则类似，按第二类狄里希来准则注意：和第一类狄里希来准则类似，按第二类狄里希来准则求得的平均值也是最小方差意义上的解，由于目标函数不同，所求得的平均值也是最小方差意义上的解，由于目标函数不同，所以结果也会发生变化。以结果也会发生变化。要知道要知道 在多大程度上反映在多大程度上反映 处处 的值，还必的值，还必须知道平均
44、函数须知道平均函数 的形态、分辨率的宽度的形态、分辨率的宽度 。只有结合只有结合 ，和和 ，才有可能给，才有可能给 接近接近 的程度作出明确的回答。的程度作出明确的回答。ia0,A 0m0 m0,A W 0m0,A W 0m0mBG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 BGBG展伸准则抛开了展伸准则抛开了 函数或阶跃函数的形态，考虑的是平均函数或阶跃函数的形态，考虑的是平均函数函数 的矩，比如说二阶矩。设目标函数：的矩，比如说二阶矩。设目标函数：0220012,drrEAW 0,A（4.68）并在并在 的归一化条件：的归一化条件：00,d1rrA（4.69）的约束之下求
45、目标函数（的约束之下求目标函数（4.68）式之极小。）式之极小。0,A BG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 在（在（4.684.68）式中，）式中，实际上是权函数。当实际上是权函数。当 时，权很小；当时，权很小；当 远离远离 时，权很大。然而，欲求的是目标时，权很大。然而，欲求的是目标函数函数 之极小，其结果必然是突出了之极小，其结果必然是突出了 处之平均函数值，处之平均函数值，使平均函数更接近于使平均函数更接近于 函数。函数。根据条件极致原理，引入拉格朗日算符，将（根据条件极致原理，引入拉格朗日算符，将（4.684.68）式的条）式的条件极值问题，化为无条件极值
46、问题。即求泛函：件极值问题，化为无条件极值问题。即求泛函：20000E00 0022000112,d1dMrriirriEAag（4.70）的无条件极值问题的无条件极值问题BG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 若将（若将（4.704.70）式写成：）式写成：00001111MMMijijiiijiESaaau（4.71）并将（并将（4.71）式写成矩阵，则有：）式写成矩阵，则有：若设：若设：020012drijijrSgg（4.72）1TTEA SAA U（4.73）BG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 式中：式中：11012010210
47、2202010200MMMMMMSSSSSSSSSS（4.74）12MuuuU（4.75）BG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 设：设：则得：则得：（4.76）0TESAUA1AS U又因：又因：1TA U（4.77）将（将（4.76）式转置，并带入上式得：）式转置，并带入上式得：11TU S U故：故：11T U S U（4.78）BG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 将（将（4.784.78）式代入（）式代入（4.764.76）式，得：）式，得：再将（再将（4.79）式代入（）式代入（4.50）式和（）式和（4.54）式，得：）式，得
48、：（4.79）1110TTTmA dU SU S Ud（4.80）和和1110,TTT AA gU SU S Ug式中：式中：111TAU S US U（4.81）12TMggggBG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 由（由（4.794.79）式可以看出，由于）式可以看出，由于 只与核函数有关，所以平只与核函数有关，所以平均函数均函数 必然只决定于核函数。而必然只决定于核函数。而 不仅与核函不仅与核函数有关，而且还与观测数据数有关，而且还与观测数据 有关。从（有关。从（4.804.80）式可知，凡是）式可知，凡是拟合观测数据的模型，都具有相同的平均值拟合观测数据的模
49、型，都具有相同的平均值 。A0,A 0md0mBG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 讨论：讨论：按（按（4.684.68）式计算的）式计算的 ，可以近似地表示平均函数的分辨宽，可以近似地表示平均函数的分辨宽度。当平均函数度。当平均函数 集中在集中在 附近时，其值与平均函数的附近时，其值与平均函数的分辨宽度重合很好。记分辨宽度重合很好。记 ，则，则 的大小和分的大小和分辨率成反比。而辨率成反比。而 越小，则分辨率越高。越小，则分辨率越高。由由BGBG展伸准则求出的平均函数的宽度，一般比狄里希来准则求展伸准则求出的平均函数的宽度，一般比狄里希来准则求出的平均函数的要宽，
50、但其边叶要小，不存在负值，则相应的出的平均函数的要宽，但其边叶要小，不存在负值，则相应的 的方差较小。的方差较小。0,A 0E0,SAE0,SA0,SA0mBG线性评价（一）线性评价（一）3 3、BGBG展伸准则展伸准则 讨论：讨论：基于基于BGBG展伸准则工作时，由于每一个展伸准则工作时，由于每一个 的加权系数都不相同，的加权系数都不相同，从而大大增加了计算内积矩阵（从而大大增加了计算内积矩阵（4.724.72）式和解方程（）式和解方程（4.794.79）式的）式的工作量，从而增加了计算成本。工作量，从而增加了计算成本。定义定义 时，应加一系数时，应加一系数1212。综上所述，综上所述，BG
