1、投资学投资学 第第9章章投资学投资学 第九章第九章债券价值分析债券价值分析投资学投资学 第第9章章本章要点本章要点 债券的特点 债券定价 债券收益率 债券的时间价格 违约风险与债券价格 久期 凸性投资学投资学 第第9章章9.1概述概述 债券的特征债券的特征（教材（教材P248）债券债券 息票息票 债券契约债券契约 零息债券零息债券投资学投资学 第第9章章债券的发行者债券的发行者 财政部财政部 公司公司 市政府市政府 外国政府和公司外国政府和公司投资学投资学 第第9章章债券的条款债券的条款 安全的或非安全的安全的或非安全的 提前赎回条款提前赎回条款 可转换条款可转换条款 卖回条款卖回条款 浮动利
2、率债券浮动利率债券 偿债基金偿债基金投资学投资学 第第9章章债券市场上的创新债券市场上的创新 反向浮动债券反向浮动债券 资产支撑债券资产支撑债券 灾难债券灾难债券 指数债券指数债券TIPS(通货膨胀保护通货膨胀保护债券债券Treasury Inflation Protected Securities)投资学投资学 第第9章章货币时间价值货币时间价值 资金随着时间的变化而发生的增值资金随着时间的变化而发生的增值 产生机理：通货膨胀、风险、使用权转移的补偿产生机理：通货膨胀、风险、使用权转移的补偿 资金时间价值的两种形式：利息和利润资金时间价值的两种形式：利息和利润 资金时间价值存在的客观性资金时
3、间价值存在的客观性 有时表现为资金的机会成本有时表现为资金的机会成本 本金（本金（P）利息（利息（I）利率（利率（r）r=(I/P)*100%投资学投资学 第第9章章 单利法单利法：只以本金作为计算利息的基数：只以本金作为计算利息的基数 复利法复利法：以本金和累计利息之和作为计算利：以本金和累计利息之和作为计算利息的基数息的基数 基本参数：基本参数：P：现值：现值 F：未来值：未来值 r:利率利率 n:计息周期计息周期单利法与复利法投资学投资学 第第9章章终值（将来值）是将当前的一笔资金计算至将来某一时刻的价值。单利终值计算公式 复利终值计算公式)1(0nrPVFVn终值nnrPVFV)1(0
4、投资学投资学 第第9章章现值是把将来某一时刻的资金折算为当前的值现值是把将来某一时刻的资金折算为当前的值。复利现值计算公式复利现值计算公式nnrFVPV)1(0现值投资学投资学 第第9章章我们来看看复利与单利的差异。本金我们来看看复利与单利的差异。本金$100元，利率为元，利率为14%的情况下，的情况下，可以看出自第四年后，复利与单利间本利和的差距越来越大，这是可以看出自第四年后，复利与单利间本利和的差距越来越大，这是因为复利每一期以上一期本利和为计算利息的基础。因为复利每一期以上一期本利和为计算利息的基础。复利与单利的差异年期年期复利复利单利单利010010011141142129.9612
5、83148.15441424168.8961565192.54151706219.49731847250.22691988285.25862129325.194922610370.7221240投资学投资学 第第9章章 由图由图,更清楚地看出复利与单利增加的趋势。更清楚地看出复利与单利增加的趋势。复利与单利之差异复利与单利之差异投资学投资学 第第9章章 计算利息的周期趋近于无穷小，一年内计算利息计算利息的周期趋近于无穷小，一年内计算利息的次数趋近于无穷大，这种计算利息的方法称为的次数趋近于无穷大，这种计算利息的方法称为连续复利。连续复利。连续复利所得的复利价值最大连续复利所得的复利价值最大 常
6、用于数学模型进行经济问题分析常用于数学模型进行经济问题分析 A为本金，为本金，n为年数，为年数，r为年利率为年利率nrnAeFV 连续复利连续复利投资学投资学 第第9章章每年复利、每半年复利、连续复利的利息变动差异每年复利、每半年复利、连续复利的利息变动差异 圖5-6：連續複利1.64870.60.811.21.41.61.8012345年元圖5-4：每年複利本利和1.61050.60.811.21.41.61.8012345年元圖5-5：每半年複利本利和1.62890.60.811.21.41.61.8012345年元投资学投资学 第第9章章习题习题n1、某企业有一张带息期票，面额为、某企业
7、有一张带息期票，面额为12 000元，票元，票面利率为面利率为4%，出票日期，出票日期4月月15日，日，6月月14日到期日到期（共（共60天），则到期利息为多少？到期本利和为天），则到期利息为多少？到期本利和为多少？（单利）多少？（单利）2、某人将、某人将100 000元投资于一个项目，年报酬率元投资于一个项目，年报酬率为为6%，经过一年时间的期终金额为多少？两年，经过一年时间的期终金额为多少？两年呢？三年呢？（复利）呢？三年呢？（复利）3、某人有、某人有26 000元，拟投入报酬率为元，拟投入报酬率为8%的投资的投资机会，经过多少年才可使现有的货币增加一倍？机会，经过多少年才可使现有的货币增
8、加一倍？（复利）（复利）投资学投资学 第第9章章习题习题n4、某人拟在、某人拟在5年后获得本利和年后获得本利和100 000元，假设投元，假设投资报酬率为资报酬率为10%，他现在应投入多少元？（复利），他现在应投入多少元？（复利）n5、本金、本金100元，投资元，投资5年，名义年利率年，名义年利率8%，每季，每季复利一次，求实际年利率？复利一次，求实际年利率？投资学投资学 第第9章章年金(Annuity)年金(Annuity)：是指在某固定时间的等额金额支是指在某固定时间的等额金额支付。例如：在五年内，每年年底固定付。例如：在五年内，每年年底固定$1000的现的现金流量，则此现金流量就称作年金
9、。年金每期固金流量，则此现金流量就称作年金。年金每期固定支付的金额是以定支付的金额是以PMT来表示。来表示。b b 投资学投资学 第第9章章 3)1(niPMTPMTPMTPMTPMT普通年金終值的概念可以用下列時間線來表示：0 1 2 3 n2)1(niPMT1)1(niPMTnttnniPMTFVA1)1(投资学投资学 第第9章章2)1(iPMT3)1(iPMTniPMT)1(1)1(iPMTPMTPMTPMTPMT普通年金現值的概念可用下列時間線表示：0 1 2 3 nnttniPMTPVA1)1(投资学投资学 第第9章章习题习题 6、拟在、拟在5年后还清年后还清100 000元债务，从
10、现在起每年等额存元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为入银行一笔款项。假设银行存款利率为10%，每年需存，每年需存入多少元？入多少元？7、某人出国、某人出国3年，请你代付房租，每年租金年，请你代付房租，每年租金1 000元，设元，设银行存款利率为银行存款利率为10，他应当现在给你在银行存入多少，他应当现在给你在银行存入多少钱？钱？8、某企业拟购置一台柴油机，更新目前使用的汽油机，、某企业拟购置一台柴油机，更新目前使用的汽油机，每月可节约燃料费用每月可节约燃料费用180元，但柴油机价格较汽油机高出元，但柴油机价格较汽油机高出4500元，问柴油机应使用多少年才合算（假设年利率
11、元，问柴油机应使用多少年才合算（假设年利率12%，每月复利一次）？，每月复利一次）？9、假设以、假设以10%的利率借款的利率借款200 000元，投资于某个寿命为元，投资于某个寿命为10年的设备，每年至少要回收多少现金才是有利的？年的设备，每年至少要回收多少现金才是有利的？投资学投资学 第第9章章永續年金是指年金的支付期數為無限多期，如下：0 1 2 3n.PMT PMT PMTPMT由于永续年金由于永续年金(Perpetuity)(Perpetuity)是无穷多期的，永是无穷多期的，永续年金的终值利率因子在续年金的终值利率因子在n n期数趋近无限大时将会发期数趋近无限大时将会发散，因此永续年
12、金的终值是无穷大的。散，因此永续年金的终值是无穷大的。投资学投资学 第第9章章如果年金的期数为无限多期，则此种年金如果年金的期数为无限多期，则此种年金成为永续年金成为永续年金(Perpetuity)。永续年金。永续年金现值是年金的每期支付额除以每期利率，公现值是年金的每期支付额除以每期利率，公式如下：式如下：iPMTPV利率每期支付金額永續年金 投资学投资学 第第9章章习题习题n10、某老华侨拟在某中学建立一项永久性的奖学、某老华侨拟在某中学建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发金，每年计划颁发10 000元奖金，若利率为元奖金，若利率为10%，先应存入多少钱？先应存入多少钱？n11、如果某优先
13、股，每季分得股息、如果某优先股，每季分得股息2元，而利率元，而利率是每年是每年6%，对于一个准备买这种股票的人来说，对于一个准备买这种股票的人来说，他愿意出多少钱来购买此优先股？他愿意出多少钱来购买此优先股？n12、6年分期付款购房子，每年初付年分期付款购房子，每年初付50 000元，设元，设银行利率为银行利率为10%，该项分期付款相当于一次现金，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？支付的购价是多少？投资学投资学 第第9章章计息次数计息次数 利息通常以年利率（利息通常以年利率（APR）和一定的计息）和一定的计息次数来表示次数来表示 实际年利率（实际年利率（EAR）：每年进行一次计息）：
14、每年进行一次计息时的对应利（息）率时的对应利（息）率投资学投资学 第第9章章计息次数的例子 银行A的贷款利率为：年度百分率6.0，按月计息 银行B的贷款利率为：年度百分率5.75，按天计息 哪个银行的实际贷款利率低？投资学投资学 第第9章章 _ 计 息 周 期 计 息 次 数 有 效 年 利 率（%）年 1 10.00000 季 4 10.38129 月 12 10.47131 周 52 10.50648 天 365 10.51558 小 时 8760 10.51703 分 钟 525600 10.51709计息次数的差别计息次数的差别投资学投资学 第第9章章9.2 债券的定价 任何金融工具的
15、价格等于预期现金流量的现任何金融工具的价格等于预期现金流量的现值。值。债券的价值等于将来所支付的利息和面值的债券的价值等于将来所支付的利息和面值的现值之和（假设利息一年一次）：现值之和（假设利息一年一次）：TTTTrFrcrcrcp1111221式中,p：债券价格 c：每次的息票利息 F：债券的面值 rt：贴现率 T：到期日投资学投资学 第第9章章例：息票利率为例：息票利率为8%，面值为，面值为1000元的元的10年期债券，分年期债券，分20次支次支付利息，每次利息支付额为付利息，每次利息支付额为40元，元，假定年利率为假定年利率为6%，该债券的价，该债券的价格为：格为：投资学投资学 第第9章
16、章Price of 8%,10-yr.with yield at 6%77.148,1)03.1(11000)03.1(14020201PPBttB票息Coupon=4%*1,000=40(Semiannual)利率Discount Rate=3%(Semiannual)期限Maturity=10 years or 20 periods面值Par Value=1,000投资学投资学 第第9章章课堂练习 1313、ABCABC公司于公司于20022002年年2 2月月1 1日购买一张票面额日购买一张票面额为为1 0001 000元的债券，票面利息为元的债券，票面利息为8%8%，每年，每年2 2月
17、月1 1日支付一次利息，并于日支付一次利息，并于5 5年后年后1 1月月3131日到期。当日到期。当时的市场利率为时的市场利率为10%10%，请为该债券定价。，请为该债券定价。1414、某公司发行票面金额为、某公司发行票面金额为100 000100 000元，票面元，票面利率为利率为8%8%，期限为，期限为5 5年的债券。该债券每年年的债券。该债券每年1 1月月1 1日，日，7 7月月1 1日各付息一次，到期归还本金。当日各付息一次，到期归还本金。当时的市场利率为时的市场利率为10%10%，计算该债券的价值。若，计算该债券的价值。若市价为市价为92 00092 000元，判断是否买入。元，判断
18、是否买入。投资学投资学 第第9章章零息债券的定价 零息债券的唯一的现金流就是到期后票面零息债券的唯一的现金流就是到期后票面价值的赎回。价值的赎回。因此，面值为因此，面值为F F，贴现率为，贴现率为r r，T T期的零息债期的零息债券的定价公式应为：券的定价公式应为：TrFP1投资学投资学 第第9章章课堂练习 1515、计算、计算8 8年后到期，面值为年后到期，面值为1 0001 000美元的，年市场利率为美元的，年市场利率为8%8%的零息债的零息债券的价格。（考虑一年复利两次）券的价格。（考虑一年复利两次）投资学投资学 第第9章章 到期收益率：是指如果现在购买债券并持有至到期日所获得的平均收益
19、率。到期收益率也就是使未来现金流的现值之和等于交易价格的贴现率。9.3 债券的债券的到期收益率到期收益率 投资学投资学 第第9章章设定：P0：债券价格 C：每年的息票利息 F：债券的面值 y 贴现率 n：年数投资学投资学 第第9章章2021/2(2)(1/2)(1/2)ntntCFPyy若每半年支付1次利息，到期收益率仍以年表示则011(3)11ntntCFPyy若 年付息1次则投资学投资学 第第9章章例子 假设假设3 3年期债券，面值年期债券，面值1,0001,000元，息票利率元，息票利率8 8（每年一次支付）（每年一次支付）市场价格市场价格932.22932.22元元 到期收益率？到期收
20、益率？22.93211000180180180332YYYY%76.10Y投资学投资学 第第9章章课堂练习 1616、假定债券息票利率为、假定债券息票利率为8%8%，面值，面值为为10001000元，期限为元，期限为3030年，债券售价年，债券售价为为1276.761276.76元。投资者在这个价格购元。投资者在这个价格购入债券，到期收益率是多少？（假入债券，到期收益率是多少？（假设半年付息一次）设半年付息一次）投资学投资学 第第9章章 到期收益率计算中的债券价格是购买日的价到期收益率计算中的债券价格是购买日的价格，格，购买日不一定是债券发行日。购买日不一定是债券发行日。到期收益率能否实际实现
21、取决于到期收益率能否实际实现取决于3个条件：个条件：投资者持有债券到期；投资者持有债券到期；无违约无违约(利息和本金能按时、足额收到）；利息和本金能按时、足额收到）；收到利息能以到期收益率再投资。收到利息能以到期收益率再投资。投资学投资学 第第9章章9.4 持有期收益率 很多投资者并不打算持有债券至到期日，很多投资者并不打算持有债券至到期日，因此，他们更关心在某一特定持有期间因此，他们更关心在某一特定持有期间内 的 债 券 收 益 率，即 持 有 收 益 率内 的 债 券 收 益 率，即 持 有 收 益 率（HPRHPR）。）。持有收益率持有收益率=%100112nPCPP投资学投资学 第第9
22、章章 30年到期，年利息为年到期，年利息为80元，现价为元，现价为1000元，到期收益为元，到期收益为8%，一年后，债券价格，一年后，债券价格涨为涨为1050元，到期收益将低于元，到期收益将低于8%，而持，而持有期收益率高于有期收益率高于8%131000)10001050(80HPR例子例子投资学投资学 第第9章章到期收益率到期收益率&持有期收益率持有期收益率 到期收益率（到期收益率（YTM）是对债券整个有效）是对债券整个有效期内平均回报率的一个描述期内平均回报率的一个描述 持有期收益率（持有期收益率（HPR）是对任何时间期）是对任何时间期间收入占该时间区间期初价格的百分比间收入占该时间区间期
23、初价格的百分比的一个描述。的一个描述。投资学投资学 第第9章章 本期收益率本期收益率 持有期收益率持有期收益率 到期收益率到期收益率 期望收益率的计算期望收益率的计算%100购买价格年利息收入本期收益率投资学投资学 第第9章章价格与到期收益具有反向相关关系。价格与到期收益具有反向相关关系。对于固定的收入流，要使得投资者的到期对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率越高，投资者购买债券的价格就必收益率越高，投资者购买债券的价格就必须越低，这样投资回报才越高。须越低，这样投资回报才越高。当到期收益率为当到期收益率为0时，债券的价格正好时，债券的价格正好等于它的所有现金流的和。等于它的所有现金流的
24、和。比如票面利率为比如票面利率为10的曲线，每年为的曲线，每年为10元，元，一共一共30年，得到年，得到300点，再加上点，再加上100元的面元的面值，得到的价格为值，得到的价格为400元。元。9.5 债券价格与到期收益率债券价格与到期收益率投资学投资学 第第9章章价格表示为到期收益率的函数。价格表示为到期收益率的函数。图中价格表示为面值（图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的元）的倍数；所有债券的期限为期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可以看出以看出4个特征。个特征。投资学投资学 第第9章章当到期收益率和票面利率相等时，债券当到
25、期收益率和票面利率相等时，债券的价格正好等于其面值。的价格正好等于其面值。例如票面利率为例如票面利率为10%的曲线，当到期收益的曲线，当到期收益率为率为10%时，其中的价格正好等于时，其中的价格正好等于100元。元。这两者相等的原因在于，每年的利息支付这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于正好等于10%的收益，从而每年的价格保的收益，从而每年的价格保持不变，均为持不变，均为100元。元。当到期收益率越来越大时，债券的价格当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。趋于零。投资学投资学 第第9章章例题例题 某公司债券的面值为某公司债券的面值为100元，现距离到期日为元，现距离到期日为15年，
26、债券的票面利率为年，债券的票面利率为10，每半年付息一次。，每半年付息一次。若该债券的现价为若该债券的现价为105元，求到期收益率。元，求到期收益率。解：利用公式（解：利用公式（2）有）有30301100 5100105(1/2)(1/2)Matlab y=0.0934ttyy解得（用程序）投资学投资学 第第9章章9.6 债券属性与价值分析债券属性与价值分析 到期时间到期时间若其他条件不变，则债券的到期时间越长，债若其他条件不变，则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。券价格的波动幅度越大。息票率的影响息票率的影响若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之若息票率大于市场利率，债券溢价发行
27、，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。折价发行，最终债券的价格收敛到面值。平价发行，则：到期收益率当期收益率票面利率平价发行，则：到期收益率当期收益率票面利率折价发行，则：到期收益率折价发行，则：到期收益率当期收益率当期收益率票面利率票面利率溢价发行，则：到期收益率溢价发行，则：到期收益率当期收益率当期收益率票面利率票面利率投资学投资学 第第9章章可赎回条款：该条款的存在，降低了该类可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。债券的内在价值。当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。行
28、人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。市场利率高时，赎市场利率高时，赎回风险可忽略不计，回风险可忽略不计，两种债券的价差可两种债券的价差可以忽略。以忽略。投资学投资学 第第9章章税收待遇：税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高故其价格较高流动性流动性:债券的流动性与债券的内在价值呈正比债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。例关系。债券的流动性越大，价格越高债券的流动性越大，价格越高违约风险越高，投资收益率也越高违约风险越高，投资收益率也越高违约风险高，则信用等级低，价格低违约风险高，则信用
29、等级低，价格低 投资学投资学 第第9章章9.7 马儿凯尔（马儿凯尔（Malkeil）定理）定理 由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的（无套利条件），则内在价值若市场是有效的（无套利条件），则内在价值价格。价格。在市场有效的前提下，在市场有效的前提下，Malkeil的的5个定理总结了个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。债券价格（现值）与这些因素的关系。11(1)(1)(1)nnttntttCCFPViii投资学投资学 第第9章章 定理定理
30、1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。：债券价格与市场利率具有反向相关关系。定理定理2：若利率不变，则债券的到期时间与债券价格若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。的波动幅度之间成正相关关系。11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)1(1)nntnntntnntnntnnntnnnnCCFPViiiF kF kFiiiF kF kF kFPViiiikikiF kFFkFiiiii证明：当时，有，则11,nnnnPVPVikPVPV从而。同理，当时，。因此，同样的市场利率变化给长期债券造成的波动更
31、剧烈原因：原因：长期长期债券由于期债券由于期限长，利率限长，利率对其价格的对其价格的作用大。作用大。投资学投资学 第第9章章 定理定理3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。但增加的速度递减。n2年与年与n+1年的差异小于年的差异小于n1年与年与n年之间的差异年之间的差异(1)(1)nnnF kFPVii,111(1)(1)(1)n nnnnF kF kFPViii,2122(1)(1)(1)(1)n nnnnnF kF kF kFPViiii证明：分别观察证明：分别观察n年期、年期、n+1年期和年期和n2年期债券投资者年期债券投
32、资者最后最后1年、年、2年和年和3年现金流的现值年现金流的现值投资学投资学 第第9章章,111(1)(1)(1)n nnnnnF kFFPVPViii,2,1221(1)(1)(1)n nn nnnnF kFFPVPViii由于由于则有则有,2,1,1111n nn nn nnPVPVPVPVi原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增重要性程度下降。所以，债券价格受利
33、率影响虽然加大，但增速递减。速递减。投资学投资学 第第9章章 定理定理4：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。格下降的幅度。证明：任取证明：任取t时刻现金流时刻现金流Ct的折现值，的折现值，只要证明每个时刻只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。,(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()1,1()()()2()()ttttttttttttttttttCCCCCCudii
34、iiiiiiiaaaudaiaiaaaaaiaiaiai 令再令由于投资学投资学 第第9章章2/2220,()()1()()()21 12ttttttudiiaaaaiaiaiaaudaiaiududPVPV 又由于则有从而即，对于任意 时刻，则所有现金流的现值也满足投资学投资学 第第9章章 定理定理5：除折现债券和永久债券外，息票率：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。越低的债券受市场利率的影响越大。息票率越低，付本金前所有利息收入的现值息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。值
35、的比重越大。本金是现金流最主要的组成部分，其现值本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝对数）受利率的影响最大。（绝对数）受利率的影响最大。1.由由1、2即有定理即有定理5。投资学投资学 第第9章章习题习题 17、某附息债券、某附息债券1996年年9月月1日发行，期限为日发行，期限为10年，年，票息利率为票息利率为12%，面值为，面值为100元。目前（元。目前（1998年年9月月1日）资金利率为日）资金利率为7%，求该债券现在的价格为，求该债券现在的价格为多少？如果利率降为多少？如果利率降为5%，其价格又为多少？某，其价格又为多少？某一投资者以一投资者以140元的价格购买到元的价格购买到 该债
36、券，其到该债券，其到 期期收益率为多少？收益率为多少？18、某单利债券、某单利债券1992年年7月月1日发行，期限为日发行，期限为8年年，票面利率为票面利率为12%，面值为，面值为100元。目前（元。目前（1998年年7月月1日）资金利率为日）资金利率为5%，求该债券现在的价格？，求该债券现在的价格？有一投资者现在以有一投资者现在以110元的价格购元的价格购 买到该债券，买到该债券，问其到期收益率为多少？问其到期收益率为多少？投资学投资学 第第9章章9.8 久期和凸性久期和凸性 市场利率的升降对债券投资的总报酬具有市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利影响：债券
37、本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。得），利息收入和再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（疫（Interest rate immunization），即使得），即使得债券组合对利率变化不敏感。债券组合对利率变化不敏感。投资学投资学 第第9章章收益收益Yield价格价格Price久期久期Duration来自凸性的价格差来自凸性的价格差Pricing Error from convexity久期和凸性久期和凸性Duration and Convexity投资学投
38、资学 第第9章章9.8.1久期久期(Duration)的概念的概念 定义定义 根据债券的每次息票利息或本金根据债券的每次息票利息或本金支付时间支付时间的的加权平均加权平均来计算的平均到期时间。它的主来计算的平均到期时间。它的主要用途是说明息票式债券的实际期限要用途是说明息票式债券的实际期限 公式公式TtttTttttPyCFPtyCFD1001)1/()1/(投资学投资学 第第9章章例子例子 例如，某债券当前的市场价格为例如，某债券当前的市场价格为950.25美美元，收益率为元，收益率为10%，息票率为，息票率为8%，面值，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。美元，三年后到期，一次性
39、偿还本金。72.73 166.122811.40 3950.252.78(D 年）投资学投资学 第第9章章久期：现金流现值翘翘板的支点久期：现金流现值翘翘板的支点时间时间现值现值久期：久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！次现金流发生时间加权平均的结果！投资学投资学 第第9章章久期的计算举例久期的计算举例投资学投资学 第第9章章久期的重要性久期的重要性l 久期比到期期限更能准确衡量利率风险久期比到期期限更能准确衡量利率风险l 债券到期期限越长债券到期期限越长久期越长久期越长债券价格波动越大债券价格波动越大风险性越高风险性越高
40、l 久期与票面利率及还本付息次数呈反向关系久期与票面利率及还本付息次数呈反向关系 l 具有赎回条款的债券，因为未来的现金流量可能具有赎回条款的债券，因为未来的现金流量可能提前流入，所以使久期缩短。提前流入，所以使久期缩短。l 久期使衡量债券价格波动幅度的指标久期使衡量债券价格波动幅度的指标投资学投资学 第第9章章久期的性质久期的性质 零息债券的久期等于到期期限零息债券的久期等于到期期限 附息债券的久期一定小于到期期限附息债券的久期一定小于到期期限 无限期附息债券的久期无限期附息债券的久期=(1+y)/y=(1+y)/y 债券的到期日不变时，债券的久期随着息票利率债券的到期日不变时，债券的久期随
41、着息票利率的降低而延长。的降低而延长。当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长。时间的增长而增长。其它因素不变，到期收益率越低，债券的久期越其它因素不变，到期收益率越低，债券的久期越长长 久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大大同样利率变化引起的债券价格变化越大投资学投资学 第第9章章久期的性质图示久期的性质图示投资学投资学 第第9章章久期的应用久期的应用l债券价格上涨债券价格上涨(下跌下跌)幅度幅度(%)=到期收益率到期收益率下跌下跌(上涨上涨)幅度幅
42、度(%)该债券目前的久期该债券目前的久期l如果平常行情变动不大如果平常行情变动不大，YTM变化变化1个基个基点点，债券价格变化可以用债券价格债券价格变化可以用债券价格 久期久期 1个基点个基点(0.01%)估算估算。但如果债券市场出但如果债券市场出现大行情现大行情，久需要考虑债券凸性值才能计久需要考虑债券凸性值才能计算正确的损益算正确的损益。DdyDydyPdP)1(投资学投资学 第第9章章Macaulay久期定理久期定理 定理定理1：只有无息债券的：只有无息债券的Macaulay久期等久期等于它们的到期时间。于它们的到期时间。11122/(1)(1)00./(1)(1)(1)(1)TTttt
43、tttTTTtCCDtyyCCTCCyyyyT证明：投资学投资学 第第9章章 定理定理2：附息债券的：附息债券的Macaulay久期小于它久期小于它们的到期时间。们的到期时间。1112211221/(1)(1)12./(1)(1)(1)(1)./(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCT CTCTCTyyyy证明：投资学投资学 第第9章章 定理定理3：在到期时间相同的条件下，息票率：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。越高，久期越短。*/1/(1)(1)01,1dP PDDdyydP PdP dyyDyDdyPyPDD 证明：由
44、于，所以（）当若债券的贴现率 不变，则当息票率上升时债券的价格 上升，从而由（）可知久期 下降，则修正久期也下降。投资学投资学 第第9章章 定理定理4：在息票率不变的条件下，到期时期：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。越长，久期一般也越长。Malkeil定理定理2 定理定理5：久期以递减的速度随到期时间的增：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。加而增加。Malkeil 定理定理3220,0DDTT投资学投资学 第第9章章*/1/(1)(1)011ydP PDDdyydP PdP dyyDyDdyPDD 证明：由于，所以（）由（）可知，若到期收益率 上升，则有久期 上升，则
45、修正久期也上升。定理定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。益率越低，久期越长。投资学投资学 第第9章章久期久期/价格关系价格关系Duration/Price Relationship不同债券价格对市场利率变动的敏感性不同债券价格对市场利率变动的敏感性不一样。债券久期是衡量这种敏感性最不一样。债券久期是衡量这种敏感性最重要和最主要的标准。久期等于利率变重要和最主要的标准。久期等于利率变动一个单位所引起的价格变动。如市场动一个单位所引起的价格变动。如市场利率变动利率变动1，债券的价格变动，债券的价格变动3，则久，则久期是期是3。投资学
46、投资学 第第9章章久期法则久期法则(见教材见教材P291)Rules for Duration久期法则久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期：零息票债券的久期等于它的到期时间。时间。久期法则久期法则2：到期日不变时，债券的久期随着：到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。息票利率的降低而延长。投资学投资学 第第9章章久期法则久期法则Rules for Duration久期法则久期法则3：当息票利率不变时，债券的久期：当息票利率不变时，债券的久期通常随着债券到期时间的增长而增长。通常随着债券到期时间的增长而增长。久期法则久期法则4：在其他因素都不变，债券的到期：在其他因素都不变，债券
47、的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。收益率较低时，息票债券的久期较长。投资学投资学 第第9章章久期法则久期法则Rules for Duration(contd)久期法则久期法则5：无限期限债券的久期为：无限期限债券的久期为久期法则久期法则6：稳定年金的久期由以下等式给出：稳定年金的久期由以下等式给出：1)1(1TyTyyyy)1(投资学投资学 第第9章章久期法则久期法则Rules for Duration(contd)久期法则久期法则7：公司息票债券的久期等于：公司息票债券的久期等于 c:为每个支付期的息票利率为每个支付期的息票利率 yycycTyyyT 1)1()()1(1投资学投资学
48、第第9章章久期法则久期法则Rules for Duration(contd)久期法则久期法则8：由于息票债券是以面值出：由于息票债券是以面值出售的，计算久期的法则售的，计算久期的法则7 可以简化成如可以简化成如下形式下形式投资学投资学 第第9章章利用久期度量风险利用久期度量风险*/dP PdPDDdydyP *()()dPDdyP22*22()()()dPDdyDdyP例子：假设一个例子：假设一个10年期零息债券，年期零息债券，10年期即期利率为年期即期利率为8且具有且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？的波动，则该债券价格的波动率为？10()0.948.7%10.08dPP投资学投
49、资学 第第9章章久期的缺陷久期的缺陷 久期对利率的敏感性进行测量实际上只考久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。而实际上，市场的实际情况是非线性的。所有现金流都只采用了一个折现率，也即所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。实。用用3个月的即期利率来折现个月的即期利率来折现30年的债券显然是年的债券显然是不合理的不合理的投资学投资学 第第9章章9.8.2 凸性凸性 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券
50、价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。从数学上给予解释从数学上给予解释2221(1)111(1)(1)Ttttt tCdDd PcdyP dyPyy投资学投资学 第第9章章曲线的形状，譬如价格曲线的形状，譬如价格-收益关系的形状是收益关系的形状是凸的，价格凸的，价格-收益曲线的曲率就称作债券的收益曲线的曲率就称作债券的凸性。凸性一般被认为是债券的理想特征凸性。凸性一般被认为是债券的理想特征：当债券收益下降时，债券价格以更大的：当债券收益下降时，债券价格以更大的曲率增长；当债券收益
