1、Wuhan University物理科学与技术学院物理科学与技术学院Mathematical Methods in Physics武武 汉汉 大大 学学Wuhan University第三章 分离变量法The Method of Separation of Variables习 题 课一、正交曲线坐标系中的分离变量*本章内容小结*典型例题分析1Wuhan University2Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量1、求圆环的狄氏问题0),(sin),()(,02112rururrru 00)(2222RmrRRrm)()(),(rRru令：令：00022222RnkR
2、RnZZ)()(2k 02)(rR*3Wuhan University)()2(0)(2m解一、正交曲线坐标系中的分离变量得：mBmAmmsincos)(.，210m解：*)()ln(ln)(2220mmmmmrrrCrrCrRmmmmmrDrCDrCrR00ln)(0m0m4Wuhan University00)()(),(mmmmmrRruu有：由sin),(1rusin),(22222211rrrrrrru一一、正交曲线坐标系中的分离变量;0n222111rrr1,0mm)()ln(ln)(2220mmmmmrrrCrrCrRmBmAmmsincos)(122220sincos)ln(l
3、nmmmmmmmmrrrrr#5Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量2、求解扇形区域中的狄氏问题：)(|0|,0|),(,0fuuuaua令)()(Ru则由式，得：00222RnRRn 0)(0022222RnkRRnZZ)(2k?2n,1,0n6Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量则由式，得：002RRR由式，得：0)(0)(*解：0)(,0)(0)(令：0|,0|0)(0nansin)(,2,1,2nn)(sinsin)()(nanann 0)(0)0(0lXXXXlxnCxXnlnnnsin)(,.2,1,)(27Wuhan Unive
4、rsity一、正交曲线坐标系中的分离变量nnnbbR)(a因为求解02 RRR2n1)(sin),(nnnnCu由式，得：1)(sin)(nnnnaCfdnfaCann)(sin)(2 nnnnDCDCRnRRln00022#8Wuhan University定解问题 3xu,xu20u0,u1lx0,uau0tt0tlx0 xxx2tt(11)xlnt)sinlansinBtlancos(At)u(x,n1nn,sin)(20lndlnlA)12(sin)(20lndlnanB15Wuhan University1 1、求解、求解;0),(),0(0,0)0,(sin3)0,(0,0,2tu
5、tuxxuxxutxuautxxtt1sin)sincos(),(nnnnxnatBnatAtxuxxusin3)0,(xnxAnnsin3sin1)1(0,31nAAn0)0,(xut0sin1nnnxnaB0nB16xattxusincos3),(Wuhan University2、求下列高维波动问题的解：解：0);1,();0,(0);,1,();,0,(0);,1();,0(0)0;,(sinsinsin)0;,(10,10,10,2tyxutyxutzxutzxutzyutzyuzyxuzyxzyxuzyxuauttt17Wuhan University;40)1(0)0(4XX50
6、)1(0)0(5YY60)1(0)0(6ZZ)();()()();,(tTzZyYxXtzyxu令0);1,();0,(0);,1,();,0,(0);,1();,0(0)0;,(sinsinsin)0;,(,2tyxutyxutzxutzxutzyutzyuzyxuzyxzyxuuauttt 00002ZZYYXXTaT)(其中#18Wuhan University 0)1(0)0(0XXXX解,.2,1,sin)(22mmxmaxXmm 0)1(0)0(0YYYY解,.2,1,sin)(22nnynbyYnn 0)1(0)0(0ZZZZ解,.2,1,sin)(22llzlcyZll19Wu
7、han University0)(22222 TlmnaT222222,)(sincos)(lmnaBtAtTmnlmnllnmzlynxmtBtAtzyxulnmmnlmnlsinsinsin)sincos();,(1,zyxzlynxmAlnmmnlsinsinsinsinsinsin1,01lnmmnlzlynxmB,sinsinsin 0mnlB)1,1,1(0,1111lnmAAmnlzyxattzyxusinsinsin3cos);,(20Wuhan University3、求处于一维无限深势阱中的粒子状态。)(sin1)0,(0),(),(),(2),(222axaaxtatat
8、xxttxiEdxdfEdtdfi22220)()aa 0)()(0)(aax解22E记2)2(ann22228anEn)(2sin)(axanCxnntEinnebtf)()(sin1),(2axaeatxtEi)()(),(tfxtx令 0)(0)0(0lXXXXlxnCxXnlnnnsin)(,.2,1,)(2#21Wuhan University00,00tlxxxxtuuctuDuu),(),(),(txwtxvtxu令)1(),(lxcttxw00,0)1(00tlxxxxtvvvlxcDvvlxntTtxvnnsin)(),(1令0)0()()()(222nnnnTtftTlnD
9、tT)2()(222222cdtencetTtlDntlDnn)()()()()()()()(cdxexQexYxQxYxPxYdxxPdxxPncdlnlcltfln2sin)1(2)(01 2222332tlDneDncl)()()(),(tgxltgthtxw#22Wuhan University再见！23Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量一、正交曲线坐标系中的分离变量3、在均匀电场、在均匀电场E中，垂直于电场方向放于半径为中，垂直于电场方向放于半径为a的无限长的无限长直圆柱电介质，介电常数为直圆柱电介质，介电常数为 ，求柱内外的电场。，求柱内外的电场。在介质
10、圆柱未放于前：在介质圆柱未放于前：ExucEucos0,0(）设u在介质圆柱放于后：在介质圆柱放于后：cos),(Eu)1(0,00有限IIuau)2(cos,0EuauIIII)4()3(aIIaIaIIaIuuuucosEu【分析】【分析】【求解】【求解】9*Wuhan University0u 00222RnRRnnBnAnnsincos)(0,0,ln)(00nDCnDCRnnnnn 0)(0022222RnkRRnZZ)(2k 0u柱：柱：极：极：一、正交曲线坐标系中的分离变量一、正交曲线坐标系中的分离变量10Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量)(sinc
11、os()ln(),(1000nnnnnnnIIDCnBnAADCu1100)sincos()sincos()ln(nnnnnnnnnnnncosEuII)6()sincos(cos),(1nnnnIInnEu;0),1(0;0,000nnnE1E1)1(0,00有限IIuaunBnAnnsincos)()5()sincos(2),(10nnnnInBnAAu)2(cos,0EuauIIII0,0,ln)(00nDCnDCRnnnnn#11Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量)3(aIIaIuu1)sincos(cosnnnnnnanaEa)10()9()8()7(01
12、10nnnnnnnnaaBaaAaEaaAA10)sincos(2nnnnnnaBnaAA)5()sincos(2),(10nnnnInBnAAu)6()sincos(cos),(1nnnnIInnEu12Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量111)sincos(cosnnnnnnananE)13()12()11(1111211nnnnnnnnaaBaaAaEA)4(aIIaIuu111)sincos(nnnnnnnaBnnaA)5()sincos(2),(10nnnnInBnAAu)6()sincos(cos),(1nnnnIInnEu13Wuhan University一、正交曲线坐标系中的分离变量cos12),(EuIcos)11(),(2EauIIEaEA21111,12)11()8(0,0)12()9(nnA0,0)13()10(nnB)10()9()8()7(0110nnnnnnnnaaBaaAaEaaAA)13()12()11(1111211nnnnnnnnaaBaaAaEA)5()sincos(2),(10nnnnInBnAAu)6()sincos(cos),(1nnnnIInnEu14
