1、 当今世界上许多当今世界上许多科学家正在试探着寻科学家正在试探着寻找找“外星人外星人”，人们，人们为了与外星人取得联为了与外星人取得联系，想了很多办法。系，想了很多办法。我国数学家华罗庚也我国数学家华罗庚也曾提出，若要沟通两曾提出，若要沟通两个不同星球之间的信个不同星球之间的信息交流，最好在太空息交流，最好在太空飞船中带去这样的图飞船中带去这样的图形。形。B BA AC C4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格的边长为观察图甲，小方格的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的面积各为多少？的面积各为多少？正方形正方形A A、B
2、 B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？探索活动一：探索活动一：图图1A的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图1图图2图图3A、B、C面积面积关系关系相传相传2500年前，毕达哥拉斯有年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。直角三角形的某种数量关系。勾股定理的发现勾股定理的发现SA+SB=SCABCABC图图1图图2491392534sA+sB=sCABCA的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长
3、度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图1448图图2图图3A、B、C面积面积关系关系直角三角形直角边上的两个正方形的面直角三角形直角边上的两个正方形的面积的之和，等于斜边上正方形的面积积的之和，等于斜边上正方形的面积.勾股定理的一种叙述形式勾股定理的一种叙述形式1、求下列图中字母所表示的正方形的面积、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625225400A22581B=144S1S2S3S4S5S6S7已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S72ABCD7cm欣赏勾股树图案欣赏勾股树图案A AB B观察上图，直角观察
4、上图，直角三角形三角形的三条边的三条边有什么关系？有什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC CA AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC Ca ab bc ca ab bc cC C探索活动二：探索活动二：a2 +b2=c2SA +SB=SC探索活动三：探索活动三：探索勾股定理的证明探索勾股定理的证明运用这些材料运用这些材料去拼图（不一去拼图（不一定全用），定全用），你能想一种方你能想一种方法证明勾股法证明勾股定理吗？定理吗？abcS S大正方形大正方形=c=c2 2S S大正方形大正方形=4S=4S直角三角形直角三角形+S+S小正方小正方形形 =4 ab+(b-a)=4
5、ab+(b-a)2 2 =b=b2 2+a+a2 221a2+b2=c2探索勾股定理的证明探索勾股定理的证明-赵爽弦图赵爽弦图2002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数届国际数学家大会，它是最高水平的全球性学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界数学科学学术会议，被誉为数学界的的“奥运会奥运会”，这就是本届大会会，这就是本届大会会徽的图案。徽的图案。c2看看毕达哥拉斯的证法看看毕达哥拉斯的证法a2b2证法二、毕达哥拉斯的证法证法二、毕达哥拉斯的证法 a2+b2=c2a2b2a2c2对比两个图形对比两个图形,你能得出什么结你能得出什么结论？论？a2+b2=c2(a+
6、b)2=c2+4(ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2bacS大正方形大正方形=S小正方形小正方形+4S直角三角形直角三角形探索勾股定理的证明探索勾股定理的证明(a+b)(b+a)=c2+2(ab)a2+ab+b2=c2+aba2+b2=c2aabbcc勾股定理有勾股定理有500多种证多种证明方法！明方法！S梯形梯形=S大等腰直角三角形大等腰直角三角形+2S小小直角三角形直角三角形“总统总统”证法证法在在1876年一个周末的傍晚年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外美国华盛顿的郊外,有一位中有一位中年人正在散步年人正在散步,欣赏黄昏的美景欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共他
7、就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德和党议员伽菲尔德.他走着走着他走着走着,突然发现附近的一个小石凳突然发现附近的一个小石凳上上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论时而大声争论,时时而小声探讨而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：在干什么
8、？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多，那么斜边长为多少呢？少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是呀。是呀。”小男孩又问道：小男孩又问道：“如如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平那斜边的平方，一定等于方，一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先先生，你能说出其中的道理吗？生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德
9、一时语塞，无伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。“总统总统”证法的典故证法的典故(a+b)(b+a)=c2+2(ab)a2+ab+b2=c2+aba2+b2=c2aabbcc伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法简洁的证明方法1876年年4月月1日，伽菲尔德在日，伽菲尔德在新英格兰教育日志新英格兰教育日志上上发表了他对勾股定理的这一证法。
10、发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为就称这一证法称为“总统总统”证法。证法。S梯形梯形=S大等腰直角三角形大等腰直角三角形+2S小小直角三角形直角三角形1.1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169x=_、y=_、z=_15572、求出下列直角三角形中未知、求出下列直角三角
11、形中未知边的长度边的长度68x5x13解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：x2=36+64x2=100 x2=62+82 x=10 x2+52=132 x2=132-52x2=169-25x2=144 x=12 x 0 x 0685131012介绍勾股数组介绍勾股数组(6,8,10)(5,12,13)125)5,2,1(勾股定理知识知多点勾股定理知识知多点畅所欲言畅所欲言:1 1、你听说过勾股定理吗？、你听说过勾股定理吗？2 2、说说你所知道的勾股定理知识、说说你所知道的勾股定理知识 勾股定理 如果直角三角形两直角如果直角三角形两直角边分别为边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么那么 即直角三
12、角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.222cbaacb 我国是最早了解勾股定理的国家之一。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五即于三，股等于四，那么弦就等于五即“勾三、勾三、股四、弦五股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的。它被记载于我国古代著名的数学著作数学著作周髀算经周髀算经中。在这本书中的中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。另一处，还记载了勾股定理的一
13、般形式。因此勾股定理也命名为因此勾股定理也命名为商高定理商高定理。B BA AC CS SA A+S+SB B=S=SC C1 1、正方形、正方形A A、B B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？探索活动一：探索活动一：等腰直角三角形等腰直角三角形直角边上的两个正方形直角边上的两个正方形的面积之和，等于斜边上正方形的面积的面积之和，等于斜边上正方形的面积.对于任意的对于任意的直角三角形直角三角形都都有这样的性质吗？自己在有这样的性质吗？自己在方格本探索方格本探索A AB BC C图甲图甲2.2.小方格的边长为小方格的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积
14、各为多少？S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？边长边长 对应正方对应正方形面积形面积C C探索活动二：探索活动二：3 3SA=9SB=16SC=254 45 5直角三角形直角边上的两个正方形的面直角三角形直角边上的两个正方形的面积的之和，等于斜边上正方形的面积积的之和，等于斜边上正方形的面积.勾股定理的一种叙述形式勾股定理的一种叙述形式对于任意的对于任意的三角形三角形有这有这样的性质吗？样的性质吗？ABCD7cm 2如图，所有的四边形都是如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形，所有的三角形
15、都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为最大的正方形的边长为7cm,则正方形则正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。49勾股定理的普遍叙述形式勾股定理的普遍叙述形式直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别为为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么222cbaacb定理：定理：经过证明被确认是正经过证明被确认是正确的命题叫做定理。确的命题叫做定理。这个图案就是我国三国时期吴国数学家赵爽在这个图案就是我国三国时期吴国数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽
16、弦图赵爽弦图”,它表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明它表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。才智，它是我国数学的骄傲。我国数学家赵爽是用拼图法验我国数学家赵爽是用拼图法验证证“勾股定理勾股定理”的。的。思考思考:你能验证吗？你能验证吗？赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法赵爽的证法ac b2+a2=c2babc赵爽的证法赵爽的证法cab如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为斜边为c，那么，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾勾股股
17、弦弦勾股定理(毕达哥拉斯定理)（gougu theorem）在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为半部分称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较，较长的直角边称为长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.勾勾股股 1945年，人们在研究古巴比伦人遗年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有面竟然刻有15组能构成直角三角形三边组能构成直角三角形三边的数（即勾股数），其年代远在商高
18、之的数（即勾股数），其年代远在商高之前。前。当今世界上许多当今世界上许多科学家正在试探着寻科学家正在试探着寻找找“外星人外星人”，人们，人们为了与外星人取得联为了与外星人取得联系，想了很多办法。系，想了很多办法。我国数学家华罗庚也我国数学家华罗庚也曾提出，若要沟通两曾提出，若要沟通两个不同星球之间的信个不同星球之间的信息交流，最好在太空息交流，最好在太空飞船中带去这样的图飞船中带去这样的图形。形。读一读读一读 勾股世界勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三前，周朝数学家商高就提出，
19、将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学。它被记载于我国古代著名的数学著作著作周髀算经周髀算经中。在这本书中的另一处，还记载了勾中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。股定理的一般形式。1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。边的数，其年代远在商高之前。相传二千
20、多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。一枚纪念邮票。ABC图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积9 99 91818SA+SB=SC图乙图乙对于任意的对于任意的直角直角三角形三角形都有这样都有这样的性质吗？自己的性质吗？自己在方格本探索在方格本探索2、本节课我们掌握哪些数学技巧？、本节课我们掌握哪些数学技巧？1、本
21、节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？勾股定理的有关典故；勾股定理的推勾股定理的有关典故；勾股定理的推导；勾股定理的证明。导；勾股定理的证明。从特殊到一般的探索方法及借助于从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。结合思想。分成四人小组，分成四人小组，每个小组课前每个小组课前准备好准备好4个全等个全等的直角三角形和的直角三角形和以直角三角形各以直角三角形各边为边长的边为边长的3个个正方形（如右图）正方形（如右图）探索活动三：探索活动三：a2b2c2 a2+b2=c2无字证明无字证明青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出 abc青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出 你还想知道勾股定理的其它证法吗？请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。
