1、第一章 勾股定理 1 探索勾股定理课时1 认识勾股定理 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业学习目标1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探索方法及内在联系各种探索方法及内在联系.（重点）（重点）新课导入 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？新课讲解 知识点1 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称
2、为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.弦弦股股勾勾图图1新课讲解定义：定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b和和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2.数学表达式：数学表达式：在在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则则a2b2c2.定义新课讲解例 1 解：由题意易知，解：由题意易知，AC2BC2AB2，所以所以AC2AB2BC21028236.所以所以AC6 cm.典例分析 在RtABC中，C90，AB10 cm，BC8 cm，求
3、AC的长课堂小结勾股定理勾股定理直角三角形三边关系直角三角形三边关系数学表达式数学表达式a2b2c2C当堂小练1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2当堂小练2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()A5 B6 C7 D25A拓展与延伸1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系2由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些 变形关系式：c2a2b2(ab)22ab(ab)2 2ab；a2c2b2
4、(cb)(cb)等第一章 勾股定理 1 探索勾股定理课时2 验证并应用勾股定理 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业学习目标1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题.（重点）（重点）新课导入 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.新课讲解 知识点1 勾股定理的验证 做一做为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后得到图2、
5、图3.图1图2图3新课讲解1.将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；2.图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪 些表示方式？与同伴进行交流.3.你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？议一议1.常用方法：通过拼图法利用求面积来验证这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的 新课讲解 结论2用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空 隙，面积不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形写出 图形面积的表达式找出等量关系恒等变形
6、推导结论新课讲解新课讲解例 1 典例分析 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形 (1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)说明勾股定理的正确性 新课讲解分析：可以以边长为分析：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼的正方形为基础，一在形外补拼(不不 重叠重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形解：方法一解：方法一(补拼法补拼法)：(1)如图如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为因为大正方形的面积可以表示为(ab)2，也可以表示为也可以表示为c
7、24 ab，所以所以(ab)2c24 ab，a2b22abc22ab.1212新课讲解 所以所以a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方方法二方法二(叠合法叠合法)：(1)如图如图.(2)因为大正方形的面积可以表示为因为大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为也可以表示为 ab4(ba)2，所以所以c2 ab4(ba)2，c22abb22aba2.所以所以a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方新课讲解 知识点2 勾股定理的应用 勾股定理的应用：（1）已知直角三角形的两边长，
8、求其第三边长（2）已知直角三角形的一边，确定其另两边长之间的关系（3）证明含有平方关系的几何关系（4）解决生产、生活中的实际问题新课讲解例 2 典例分析 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？分析：根据题意，可以画出右图，其中分析：根据题意，可以画出右图，其中点点A表示小王所在位置，点表示小王所在位置，点C、点、点B表示表示两个时刻敌方汽车的位置两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路由于小王距离公路400m，因此，因此C是直角，这样就可以由勾是
9、直角，这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了股定理来解决这个问题了.解：由勾股定理，可以得到解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是也就是5002=BC2+4002,所以所以BC=300.敌方汽车敌方汽车10s行驶了行驶了300m，那么它那么它1h行驶的距离为行驶的距离为300660=108000（m）,即它行驶的速度为即它行驶的速度为108km/h.新课讲解课堂小结勾股定理勾股定理验证验证应用应用当堂小练1.用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如 图所示的图形，则下列结论中正确的是()Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2A当堂小练2
10、.两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理求解构造直角三角形，再利用勾股定理求解解：根据题意画出示意图，如图所示，解：根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为两棵树的高度分别为AB8 m，CD2 m，两棵树之间的距离两棵树之间的距离BD8 m，过点过点C作作CEAB，垂足为，垂足为E，连接，连接AC.则则BECD2 m，ECBD8 m，AEABBE826(m)在在RtACE中，由勾股定理，
11、得中，由勾股定理，得AC2AE2EC2，即即AC26282100，所以，所以AC10 m.答：这只小鸟至少要飞答：这只小鸟至少要飞10 m当堂小练拓展与延伸 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业学习目标1.掌握直角三角形的判别条件，并哪个那个进行简单掌握直角三角形的判别条件，
12、并哪个那个进行简单运算运算.（重点）（重点）2.掌握勾股定理的概念，探索常用勾股数的规律掌握勾股定理的概念，探索常用勾股数的规律.（重点）（重点）新课导入问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？答：在一个直角三角形中两直角边的平方和答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等等于斜边于斜边的平方的平方新课讲解 知识点1 直角三角形的判定 合作探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.回答这样两个问题:1.这三组数都满足 a2+b2=c2
13、吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.72425513121781501801501209060300180150120906030新课讲解新课讲解讨论 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2+b2=c2,那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形.结论从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？新课讲解例 1 典例分析一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件
14、中A和DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？ABCDABCD3451213(a)(b)新课讲解解：在解：在ABD中，中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以所以ABD是直角三角形，是直角三角形，A是直角。是直角。在在BCD中，中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以，所以BCD 是直角三角形，是直角三角形，DBC是直角。因此这个零件是直角。因此这个零件符合要求。符合要求。新课讲解讨论 满足满足a2+b2=c2的的三个三个正整数正整数,称为称为勾股数勾股数.结论如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三
15、角形吗？知识点2 勾股数2.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。412243解解:ABE，DEF，FCB均为直角三角形均为直角三角形 由勾股定理知由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25 BE2+EF2=BF2 BEF是直角三角形是直角三角形新课讲解例典例分析课堂小结一直是直角三角形吗一直是直角三角形吗直角三角想的判定直角三角想的判定勾股数勾股数当堂小练1.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90，继续航行70海里，则距出发地
16、250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？解解:由题意画出相应的图形由题意画出相应的图形AB=240海里海里,BC=70海里海里,AC=250海里海里;在在ABC中中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702=BC2即即AB2+BC2=AC2ABC是是Rt答答:船转弯后船转弯后,是沿正西方向航行的是沿正西方向航行的。ABC北北2.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？解：解：是直角三角形是直角三角形不是直角三角形不是直角三角形当堂小练拓展与延伸同学们还能找出哪些勾股数呢？第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 目 录CONTENTS2 新课导入3 新课讲解4 课堂小
17、结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 学习目标学习目标1.利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离.（重点）（重点）2.应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.（难点）（难点）新课导入两点之间两点之间,线段最短线段最短 从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由 新课讲解 知识点1 勾股定理 合作探究 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？B BA A 蚂蚁蚂蚁AB的路线的路线BAAdABAAB
18、BAO新课讲解ABABAArOh怎样计算AB？侧面展开图 在RtAAB中，利用勾股定理可得:其中AA是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半(r)22ABAAA B新课讲解 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3，则:BAA3O12侧面展开图侧面展开图123AAB新课讲解新课讲解知识点2 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？所以所以AD和和AB垂直垂直（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm，AD边垂直于AB边吗？为什么？解：解：AD
19、+AB=900+1600=2500BD=2500所以所以AD+AB=BD所以三角形所以三角形ABD是直角三角形是直角三角形新课讲解（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？新课讲解新课讲解例 1 典例分析甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正走上午10：00，甲、乙两人相距多远？新课讲解分析：分析：如图已知如图已知A是甲、乙是甲、乙的出发点，的出发点，10:00甲到达甲到达B点点,乙到达乙到达C点则：点则：AB=26=12(km)AC=
20、15=5(km)在在RtABC中中AB+AC=144+25=169BC=13(km)课堂小结勾股定理应用勾股定理应用确定立体图形上的最短路线确定立体图形上的最短路线利用勾股定理及其逆定理利用勾股定理及其逆定理解决实际问题解决实际问题1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离3220BA解解:AB2=152+202+=625=252 AB=25答：沿答：沿AB走最近，最近距离为走最近，最近距离为25当堂小练2.有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？你能尝试画出
21、你能尝试画出示意图吗示意图吗?当堂小练解解:设伸入油桶中的长度为设伸入油桶中的长度为x m,则最长时则最长时:x2=1.52+22x=2.5最长是最长是2.5+0.5=3(m)最短是最短是1.5+0.5=2(m)答答:这根铁棒的长应在这根铁棒的长应在23m之间之间当堂小练在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？拓展与延伸设水池的水深设水池的水深AC为为x尺，则这根芦苇长为尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，）尺，在直角三角形在直角三角形ABC中，中，BC=5尺尺由勾股定理得由勾股定理得:BC2+AC2=AB2即即 52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，x=12，x+1=13 答：水池的水深答：水池的水深12尺，这根芦苇长尺，这根芦苇长13尺尺解：解：拓展与延伸
