1、2.4 2.4 函数的极限的定义与基本理论函数的极限的定义与基本理论一、极限的定义一、极限的定义sin,0.sin0arctan,arctan,0 xyxxyxxyxxxyxx 观观察察函函数数当当时时的的变变化化，当当时时的的变变化化当当时时的的变变化化当当时时的的变变化化问题问题:如何用描述如何用描述?定义定义1 1（邻域）邻域）称称集集合合00(;)|0|oUxxxx 0.x为为点点的的去去心心邻邻域域定义定义2 2（函数极限（函数极限）0()f xx设设在在点点的的去去心心邻邻域域0(;)U xA 内内有有定定义义，为为一一个个实实数数，若若00,|xx 对对存存在在当当0 0 -12
2、0min,0|:xxd dd d d dd d=-),0(0,)(lim0 AAAxfxx或或且且若若性质性质4.(4.(保号性保号性)证明：证明：则则取取,|0,0,20 xxA得得,2|)(|AAxf .23)(20AxfA 00,(;),()0()0).oxUxf xf x 则则存存在在当当时时或或.)(有有相相同同的的符符号号在在该该邻邻域域内内与与所所以以Axf0(;),oxUx 如如果果当当时时 下下列列函函数数满满足足),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2(00AxhAxgxxxx .,)(lim 0Axfxx且且等等于于存存在在那那么么性质性质5(5(夹
3、逼定理夹逼定理)AC例例2 2 求求.sinlim0 xxxxoBD,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxcos1 2sin22x 2)2(2x,22x,02lim20 xx,0)cos1(lim0 xx,1coslim0 xx,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx 0解：如图易得解：如图易得 三、极限的四则运算性质三、极限的四则运算性质.0,)()(lim)3(BBAxgxf其中其中定理定理1 1（函数极限四则运算性质）（函数极限四则运算性质）则则设设,)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(B
4、Axgxf ;)()(lim)2(BAxgxf 3113lim11xxx 例例3 3 计计算算23311132limlim111xxxxxxx 解解：2112lim111xxxxxx 例4 有理函数的极限.,)()(都都是是多多项项式式其其中中有有理理函函数数qpxqxp,)()(lim 0 xqxplxx 考考虑虑.)()(,0)(.1000 xqxplxq 则则如果如果.,0)(,0)(.200极极限限不不存存在在则则如如果果 lxpxq则则可可设设如如果果,0)(,0)(.300 xpxq);0)(,(),()()();0)(,(),()()(01*1001*10 xqNxqxxxqxp
5、Nxpxxxp )1(1lim1xmxmx例例8 8 .,;,)()(;,0 )()()(lim)()(lim 010111000 xqxpxqxpxxxqxplxxxx此时此时tx 1.11)1(lim0 mttmt)11(lim1 nmxxnxm21)1()1()1(lim xmnxnxmmnx201)1(1)1(limmnttntmmnt )1)(1()1()1(lim1 nmmnxxxxnxm)1(tx 例例9 92220)12)1(1()12)1(1(limmnttmmmtntnnntmt ()2332011()22limnntnmmnmntc tc tmnt+-+=L L2121
6、mn.2mn ,)(lim,)(lim000 xtgAxfttxx 设设 .)(lim)(lim00Axftgfxxtt 则则00(;)(),oUtg tx 且且在在内内定理定理2 2（复合函数的极限）（复合函数的极限）证明：证明：.|)(|Atgf,)(lim0Axfxx,0,0 0(;),oxUx 当时当时.|)(|Axf,0 对上述对上述,0 0(;),otUt 当当时时,|)(|0 xtg),()(0 xUtgo ,0,10,0)(uuufyxxxgu1sin)(00lim()0,lim()1,xug xf u0lim().xf g x不不存存在在00(;)().oUtg tx 在内不
7、能少在内不能少 注注10,;()11,.xnf g xxn 例例5 51cos1*sinlimtanlim00 xxxxxxx),1coslim(0由刚才过程可知由刚才过程可知 xxbababxbxaxaxbxaxxx *sin*sinlimsinsinlim00的应用的应用1sinlim0 xxx复合函数求复合函数求极限极限4*)2()2(sinlim2)2(sin2limcos1lim22022020 xxxxxxxxx )2(xt 21)sin(lim2120 tttxxxarcsinlim0txsin 1sinlim0 ttt复合函数求复合函数求极限极限复合函数复合函数求极限求极限xx
8、xarctanlim0tx arctantxtan 1tanlim0 ttt2tan)1(lim1xxx tx 1tx 1)22tan(*lim0ttt tttt2cos*2sinlim0 ttt2cot*lim0 22sin2lim20 ttt0()(;),of xUx 设设函函数数定定义义在在定理定理3(3(海涅定理海涅定理)0000(;),nnxUxxxx 都都有有lim()xaf xA 则 则 的充分必要条件是：的充分必要条件是：.)(limAxfnn 注注:海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系 四、海涅定理和柯西定理证：恒恒有有时时使使当当,0
9、,0,00 xxAxfxx)(lim0.0,0,00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)(Axfn从而有从而有lim().nnf xA 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又.)(Axf不不成成立立，假假设设Axfxx)(lim0*00010,0|:|()|.nnnnNxxxf xAn 但但是是即即找找到到了了一一个个数数列列,|00 xxxxxnnn.)(limAxfnn 结论得证结论得证xy1sin 例例9 9.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 nxnnns
10、inlim1sinlim 而而,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n,0 得证得证证明：证明：,)(lim0Axfxx.2|)(|,00 Axfxx时时当当则则特特别别：取取2,1,|00 ixxi.22)()()()(2121 AxfAxfxfxf,0,0 定理定理4(4(柯西收敛定理柯西收敛定理)*0()(;),of xUx 函数定义在函数定义在lim()xaf xA 则则的充分必要条件是：的充分必要条件是：*1201020120,0,(;),0|,0|:()().oxxUxxxxxf xf x )(lim,00 xxxxxnnnn 满满足足任任取取,N0,*N
11、 对对时时，当当Nnm,|00 xxm|)()(|mnxfxf.)(列列是是Cauchyxfn.)(lim存在存在xnnlxf ,00 xxn.,2211nnnzyxyxyx组成组成将将 00lim,lim().nnnnynnyyxyxf yl 同同理理,任任取取,=00,nnxxxx 对对任任意意收收敛敛于于的的数数列列.)(limlxfnn 都都有有知知定定理理据据,Heine,nnnxyz由由于于是是的的子子列列 所所以以.xylll ),(lim00 xzxznnn 且且lim().nnf zl 所所以以lim().xaf xA 思考题目用海涅定理重新证明：用海涅定理重新证明：函数极限
12、的基本性质（唯一性、保序性）；函数极限的基本性质（唯一性、保序性）；四则运算；四则运算；复合运算性质；复合运算性质；夹逼定理夹逼定理.海涅海涅 (Heine.H.E,1821(Heine.H.E,182118811881）德国数学家，）德国数学家，是高斯、狄利克雷的学生是高斯、狄利克雷的学生.海涅在数学分析及海涅在数学分析及应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致连续定理敛的概念，证明了连续函数的一致连续定理.他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间具有有限开覆盖的性质，较早地掌握了覆盖定具有有限开覆盖的性质，较早地掌握了覆盖定理的意义理的意义.因此，这个定理后来称为海涅一波因此，这个定理后来称为海涅一波菜尔菜尔覆覆盖定理盖定理.数学家介绍数学家介绍 五、小结1 1、极限的定义、极限的定义2 2、函数极限的性质、函数极限的性质3 3、极限的四则运算性质、极限的四则运算性质4 4、海涅定理和柯西定理、海涅定理和柯西定理 作业作业习题2.41.(1),2.(3)(5),3.(3)(5),5,6
