1、1.3.1 向量范数向量范数 向量的范数是刻画向量大小的量向量的范数是刻画向量大小的量,又叫向量的又叫向量的模模.(1)(1)正定性:,且 ;|0 x 0|0 xx(2)(2)齐次性:对 ,有 ;|kxkxkR(3)(3)三角不等式:.|xyxy定义定义 Rn 上的实值函数称为向量范数，如果对任意的 x,yRn,它均满足下列3条性质:第1页/共27页定理定理1.1 对对 Rn 中的任一向量中的任一向量则 和 都是向量范数.12|,|1|max|ii nxx 11|niixx221|niixx记,12(,)nxx xxT,3 3种常用的范数种常用的范数满足正定性是显然的满足正定性是显然的.|(1
2、)(1)证明证明 仅证仅证 是向量范数是向量范数.|第2页/共27页121|(,)|max|nii nkxkx kxkxkx(2)(2)对任意的实数对任意的实数 k,有有1|max|ii nkxkx 1122|(,)|nnxyxy xyxy1max|iii nxy 1max|iii nxy 11max|max|iii ni nxyxy 1212(,),(,)nnxx xxyy yy(3)(3)设设,则则证毕第3页/共27页p p-范数范数1|叫1-范数,(列范数);2|叫2-范数,(Euclid(欧几里得)范数);|叫 -范数,(行范数);其中,11,lim|max|.pipi npxx 并且
3、11|npppiixxTx1 ,2 ,8 ,4第4页/共27页任2种范数在刻画收敛性时等价定理定理1.2 对对 Rn 上的任意二种向量范数上的任意二种向量范数|a a,|b b ,均有与向量均有与向量 x 无关的常数无关的常数 m 与与 M (0m0.(2)对任意的数 kR，有11maxmax.xxkAkAxkAxkA第8页/共27页(3)对任意的nn矩阵 A 和 B,有11max()maxxxABAB xAxBx1maxxAxBx11maxmaxxxAxBxAB(4)对任意的nn矩阵 A 和 B,有1max()xABAB x1maxxABx1max.xABxAB证毕第9页/共27页 上式所定
4、义的矩阵范数叫做上式所定义的矩阵范数叫做从属于所给定向量从属于所给定向量范数的矩阵范数范数的矩阵范数,又称为又称为矩阵的算子范数矩阵的算子范数.设给定的向量范数为|p,则从属于向量范数的矩阵范数为:1max.pppxAAx 上式中矩阵范数|A|p 也叫 A的 p-范数.矩阵的p p-范数与向量的p p-范数相容,即,|Ax|p|A|p|x|p .1max (1.2)xAAx第10页/共27页1112max11|max|()|()(2)|max|()列范数范数行范数nijj niTniji njAaAA AAa 1,2,当 时p 定理定理1.41.4（几种常用的范数）几种常用的范数）max()T
5、TA AA A其中，表示的最大特征值。证明证明 对于2-范数,设 n 维向量 x 满足|x|2=1.注意到22()().TTTAxAxAxx A AX因为，ATA是正定或半正定的,故它的全部特征值 i 非负,设12n第11页/共27页设（ATA）相应的规范正交特征向量为 u1,u2,un，因而存在实数 k1,k2,kn，使1,niiixk u并且有22211,nTiixx xk由此可得22(,)TTTAxx A AxA Ax x11,nnTiiiiiiA Ak uk u11,nniiiiiiik uk u第12页/共27页所以max221max().TxAAxA A取 ,则有 ,以及211ma
6、x2,TTAxu A Au1xu21x2max1.niiik1,-范数公式证明证毕第13页/共27页单位矩阵单位矩阵 I 的任何一种算子范数都有的任何一种算子范数都有1max1.xIIxnjiijFaA1,2 还有一种常用的矩阵范数，还有一种常用的矩阵范数，称为称为Frobrnius（佛罗贝尼乌斯）范数，又称为（佛罗贝尼乌斯）范数，又称为Euclid 范数。范数。FF第14页/共27页 几几种常用的相容关系种常用的相容关系.,22222111xAAxxAAxxAAxxAAxF第15页/共27页定理定理1.51.5 设矩阵设矩阵 ARnn 的某种范数的某种范数|A|1，则则 IA 为非奇异矩阵，
7、并且当该种范数为算子为非奇异矩阵，并且当该种范数为算子 范数时，还有下式成立。范数时，还有下式成立。11.1IAA证明证明 假定 IA 奇异，则齐次线性方程组(IA)x=0 有非零解0,.xxAx使第16页/共27页在上式两边同取与所用矩阵范数数相容的向量范数，得xAxAx因 ，故由上式得 。与已知条件矛盾，因而 必非奇异。0 x 1A IA11()()IAIA IA由于111()()()()IA IAIIAA IAI在最后一式两端取范数，得11()()IAIAIA第17页/共27页11()1.AIAI11().1IAA因为 ，故 1A 同理可证11().1IAA证毕第18页/共27页解解 1
8、|3|5|1|9,x 1|1|2|3|,max|5|1|8|,14,|2|0|2|A max|3|,|5|,|1|5,x例例6 设设 ，(3,5,1)Tx 152210382A 求 以及,(1,2,)ppxAp.FA351)5(32222x第19页/共27页|1|5|2|,max|2|1|0|,13,|3|8|2|A 152210382A 222222222123518112,202FA第20页/共27页142142190264268TA A 32det()11295916,TA AI 特征多项式为最大的根为 max102.66,max210.132.A第21页/共27页4321A30,221
9、15,7,6:答案第22页/共27页对于1-1-范数,设 .矩阵A 可表示为11|1niixx12,nAa aa其中,12,.Tjjjn jaaaa111nnjjjjjjAxxxaa1111maxmax.njjjj nj njxaa 定理1.4第1个结论的证明第23页/共27页11re,且 1111maxrrjj nAeaa 于是有 11111111maxmaxmaxnjijxj nj niAAxaa 取 ,它的第r个分量是1,1,显然(0,.,0,1,0,.,0)Tre 对于-范数,设向量 ,又设12(,.,),1Tnxx xxx满足第24页/共27页1111maxmaxnnijjijji ni njjAxa xax 则11max.nijj njax 取 ,其中,sgn,sgn是符号函数,12(sgn,sgn,.,sgn)Trrrnxaaa于是有 ,以及1x1nrjjAxa,所以111maxmax.nijxi njAAxa 111max,nnijr jj njjaa A0 且且第25页/共27页第26页/共27页感谢您的欣赏！第27页/共27页
