1、上页下页铃结束返回16.1-1首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数2 2 二元函数的极限二元函数的极限3 3 二元函数的连续性二元函数的连续性第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续上页下页铃结束返回16.1-2首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数一、平面点集一、平面点集二、二、R2上的完备性定理上的完备性定理三、二元函数三、二元函数四、四、n 元函数元函数上页下页铃结束返回16.1-3首页Mathematical Analysis 绵阳师范
2、学院 一、平面点集一、平面点集平面点集的表示：平面点集的表示：r r上页下页铃结束返回16.1-4首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院1 1、常见平面点集、常见平面点集全平面和半平面全平面和半平面(,)|0,x yx (,)|0,x yx 2,.Rx yxy (,),x y xR yR 或或 (,),Sx y axb cyd,a bc d 记为记为上页下页铃结束返回16.1-5首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院 bxaxyyxyyxD ),()(),(21 dycyxxyxyxD ),()(),(21X 型域型域Y 型域型域 上页下页铃结束返回
3、16.1-6首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院2 2、邻域：圆邻域和方邻域、邻域：圆邻域和方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域 22200,x yxxyy 00,.x yxxyy oyxA.oyxA.oyxA.上页下页铃结束返回16.1-7首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院AAU(A,)U0(A,)220200|,yyxxyx 0000,|,yxyxyyxxyx 上页下页铃结束返回16.1-8首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院3 3、内点、外点和界点、内点、外点和界点（1 1）内
4、点）内点:EA 比如比如 D=(x,y)|x2+y2 N 时，时，上页下页铃结束返回16.1-28首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院上页下页铃结束返回16.1-29首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院小结小结 P92 1,（1）（）（2）（）（7）（）（9）,4，10.作业作业上页下页铃结束返回16.1-30首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院二、二、R2上的完备性定理上的完备性定理1 1 点列的极限点列的极限:00lim,nnnPPPP n 说明说明上页下页铃结束返回16.1-31首页Mathematical Anal
5、ysis 绵阳师范学院(2)(2)定义也可以表示为定义也可以表示为 000,0,(,)nnNnNPPP P 有有或或00lim,.nnnPPPPn 或或(5)(5)等价关系等价关系00lim,lim.nnnnxxyy0lim(,)0.nnP P 0limnnPP 上页下页铃结束返回16.1-32首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院证明证明 必要性必要性.充分性充分性.上页下页铃结束返回16.1-33首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院上页下页铃结束返回16.1-34首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院定理定理16.1(16
6、.1(柯西准则柯西准则)证证 必要性必要性.设设0limnnPP ，则由三角不等式则由三角不等式 00,nn pnn pP PP PPP 及点列收敛定义，及点列收敛定义，00,22nnpP PPP 上页下页铃结束返回16.1-35首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院充分性充分性 ,n pnnn pxxP P ,.npnnnpyyP P设设00lim,lim.nnnnxxyy 上页下页铃结束返回16.1-36首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院定理定理16.2(16.2(闭域套定理闭域套定理)上页下页铃结束返回16.1-37首页Mathematic
7、al Analysis 绵阳师范学院由于由于,npnDD 因此因此,nnpnP PD ,nnpnP Pd 从而有从而有.n 0,0lim,1,2,.npnpPPD n 上页下页铃结束返回16.1-38首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院最后证最后证0P的惟一性的惟一性.若还有若还有0,1,2,nPD n 则由则由 00,P P n 0,2nd 00,nnP PPP 上页下页铃结束返回16.1-39首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院定理定理16.3(16.3(聚点定理聚点定理)证证 现用闭域套定理证明现用闭域套定理证明.上页下页铃结束返回16.1
8、-40首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院123.DDD如此下去得到一个闭正方形序列如此下去得到一个闭正方形序列上页下页铃结束返回16.1-41首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院证证 nx ny显然显然和和都是有界数列。都是有界数列。knP,nnnP xy是有界无限点列。是有界无限点列。设设由数列的致密性定理，数列由数列的致密性定理，数列 存在存在 nxknx收敛子列收敛子列 .设设 ，0limknkxx相应相应 也是有界数列也是有界数列.kny再根据数列的致密性定理，再根据数列的致密性定理，knykiny也有收敛的子数列也有收敛的子数列设设
9、，0limkiniyy根据根据16.1习题习题5，有界无限点列，有界无限点列 存在存在 nP收敛的子点列收敛的子点列 .kinP上页下页铃结束返回16.1-42首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院定理定理16.4(16.4(有限覆盖定理有限覆盖定理)上页下页铃结束返回16.1-43首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院三、二元函数三、二元函数x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的函数的两个要素两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.:,fDR Pz上页下页铃结束返回1
10、6.1-44首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院所求定义域为所求定义域为解解 例例5 5 求求 的定义域的定义域222arcsin(3)(,)xyf x yxy 013222yxyx 22242yxyx.,42|),(222yxyxyxD 定义域定义域 是自变量所能取的使算式有意义的一切点集是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.上页下页铃结束返回16.1-45首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院二元函数的图象二元函数的图象上页下页铃结束返回16.1-46首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院二元函数的图形通常是一张曲面二元
11、函数的图形通常是一张曲面.如图如图上页下页铃结束返回16.1-47首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院z=sinxy例如例如2222azyx 例如例如xyzo上页下页铃结束返回16.1-48首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院9、n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点.数组数组(x,y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应R平面点平面点(x,y)全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组数组(x,y,z)一一对应一一对应空间点空间点(x,y,z)全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间
12、)3R上页下页铃结束返回16.1-49首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院上页下页铃结束返回16.1-50首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院n 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设两点为设两点为:),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 上页下页铃结束返回16.1-51首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院n 维空间中邻域概念：维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 nRPPPPPU ,|),(00 上页下页铃结束返回16.1-52首页Mathematical Analysis 绵阳师范学院四、四、n元函数元函数n维向量空间维向量空间
