1、1 1特殊和式的极限定积分的概念 主要内容：一、定积分概念的两个现实原型二、定积分的概念三、可积条件四、定积分的性质2 2定积分的起源 积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法涉及这类问题的思想和方法.如：古希腊的如：古希腊的阿基米德阿基米德（公元前（公元前287287212212）用边）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷穷竭法竭法”.3 3 中国魏晋时代的中国魏晋时代的刘徽刘徽
2、在其在其九章算术注九章算术注（公元（公元263263年）中，对于计算圆面积提出了著名的年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆割圆术术”，他解释说：，他解释说：“割之弥细，所失弥少割之弥细，所失弥少.割之又割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”.”这些都是原始的积分思想这些都是原始的积分思想.4 4 16 16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进方法求面积、体积等问题，并不断加以改进.天文天文学家兼数学家学家兼数学家开普勒开普勒的工作是这方面的典型的工作是这方面
3、的典型.他注他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成努力探求计算体积的正确方法，写成测量酒桶体测量酒桶体积的新科学积的新科学一书，他的方法的精华就是用无穷多一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积小元素之和来计算曲边形的面积或体积.5 5a ab bxyo?A原型原型 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念的两个现实原型)(xfy 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线轴轴与与两两直直线线,所所围围成成.()()0),yf xf xxxa xb6 6考考察察下下列列图
4、图形形由由哪哪些些曲曲边边围围成成.A2022xy 00y Asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 7 7 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括概括“分割分割-取近似取近似-求和求和-取极限取极限”的步骤的步骤.将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即 a a,b b 进行分割进行分割(用垂直于用垂直于x x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x记记1.iiixxx 8 8取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区域，
5、用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小区域面积典型小区域面积 iS i().iiiSfx 9 9a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相等1 2 1n n 11().nniiiiiSfx 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来.1010第四步第四步 取极限取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲
6、边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积和越近似于曲边梯形面积.a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 111111()nniiiiiASfx 112233()()()(),nnfxfxfxfxiniixfA )(lim10 1122330lim()()()().nnfxfxfxfx 曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值值为为:曲曲边边梯梯形形面面积积为为当当即即小小区区间间的的最最大大长长度度趋趋近近于于零零时时分分割割无无限限加加细细12,max,(0),nxxx1212原型原型 （求变力所做的功）（求变力所做的功）mFxabFxF 设设质质点点受受力
7、力 的的作作用用沿沿 轴轴由由点点 移移动动至至点点，并并设设 平平行行于于 轴轴(如如图图).如如果果 是是常常量量，则则它它对对质质点点所所作作的的功功为为()FxFF xaxbFmW 如如果果力力 不不是是常常量量，而而是是质质点点所所在在位位置置 的的连连续续函函数数 ，那那么么 对对质质点点 所所做做的的功功应应如如何何计计算算呢呢？mFObxa()F xWF S ().WF baS?W 13130121,1,nna bnaxxxxxb 在在区区间间内内插插入入个个分分点点把把区区间间分分成成 个个小小区区间间长长度度为为11,1,2,;iiiiia bnxxxxxin 在在每每个个
8、小小区区间间上上任任取取一一点点1,iiixx 就就近近似似于于质质点点从从点点位位移移到到 时时力力所所做做的的功功从从而而1()(),iiiiiFxmxxF xW 11()nniiiiiWWFx 解决思路：解决思路：Obxam()F xix1x1 ix1 nx2xix 分割分割以恒力代以恒力代变力变力求和求和()()iF xF 1414 当当即即小小区区间间的的最最大大长长度度趋趋近近于于分分割割无无限限零零细细时时，加加12,max,(0)nxxx01lim().niiiWFx Fm对对质质点点所所做做的的功功取极限取极限似曾相识似曾相识定积分定积分1515 设设是是定定义义在在区区间间
9、上上的的有有界界函函数数 用用点点将将区区间间任任意意分分割割成成 个个子子区区间间这这些些子子区区间间及及其其长长度度均均记记作作在在每每一一子子区区间间上上任任取取一一点点作作 个个乘乘积积的的和和式式012111(),.,(1,2,.),(1,2,.,).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、定积分的定义1().niiifx 定义定义以直代曲以直代曲求和求和1616被积函数被积函数被积表达式被积表达式,a b 为为积积分分区区间间积分上限积分上限积分下限积分下限 如如果果当当同同时时最最大大子子区区间间的的长长度度时时 和和式式并并且
10、且其其极极限限值值与与的的分分割割法法以以及及 的的取取法法无无关关 则则该该极极限限值值称称为为函函数数区区间间在在上上的的定定积积分分 记记作作的的极极限限存存在在1,max0,()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)()lim()nbiianif xxfx d d积分变量积分变量积分和积分和()f xx取极限取极限即即1717注意：注意：()baxfx d d()baf tt d d()baf uu d d(2).i 在在定定义义中中区区间间的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关 而而与
11、与积积分分变变量量的的字字母母无无关关(3)(),(),f xa bf xa b当当函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分存存在在时时称称在在区区间间上上可可积积.xtuxtu1818么么么么方面 Sds绝对是假的01(1)()0,(),lim().niiif xa byf xa bWfxy 连连续续曲曲线线 在在构构成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为函函数数 在在上上的的定定积积分分 即即总结原型和01(2)(),lim().niiixF xmxabWFx 在在方方向向平平行行于于 轴轴的的连连续续变变力力作作用用下下 质质点点沿沿 轴轴从从点点 位位移移到到点点 所所做做的的功功为
12、为定积分的几何意义定积分的几何意义().baf x x d d().baF xx d d2020,0)(xf()baf x xA d d曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xfd d()baf x xA 曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1234()baf xxAAAA d d 定积分的几何意义3A4A2A1A abyxO2121几何意义(),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号 在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号 _ _abyxO2222例例
13、1 1利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义计计算算下下列列积积分分dddd11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的三三角角形形面面积积.0,1,xxyxx 100 x 1x 0y Ayx d d10 x x 11 12 1.22323d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的圆圆面面积积.20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx A2114 2424定理定理 （可积的充分条件）（可积的充分条件）定理定理 （可积的必要条件）（可积的必要条件）三、可积条件可导必连续
14、可导必连续,连续必可积连续必可积,可积必有界可积必有界.若若函函数数在在上上可可积积 则则在在上上有有界界(),(),.f xa bf xa b 若若是是闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数 或或者者是是上上的的单单调调函函数数 或或者者是是上上只只有有有有限限个个间间断断点点的的有有界界函函数数 则则在在上上可可积积.(),(),f xa ba ba bf xa b2525定理定理101li)m()nniiiiiiFkfxx 01lim()niiikfx 01()lim()nbiaif xxfx 且且d d(),(),()().,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上
15、上可可积积为为常常数数 则则在在上上dddd也也可可积积 且且证证(),f xa b在在上上可可积积01lim()niifx 存存在在().bakf xx 所所以以d d四、定积分的性质,()(),F xkf xa b 对对任任意意分分割割 函函数数在在上上的的积积分分和和为为用定积分的定义证明用定积分的定义证明ba k()f xxd d2626()()baf xg xx d d0011lim()lim()nniiiiiifxgx()().bbaaf xxg xxdddd证证01lim()()niiiifgx 定理定理(),()(),()()()().bbbaaaf xg xxf xa bf
16、xgfbxxg xxxa 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积积且且 dddddd()()baf xg xx d d用定积分定义证明用定积分定义证明2727补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）d dd dd d323002()()(),f xxf xxf xx d dd dd d363006()()(),f x xf x xf x x 有有界界函函数数在在上上都都可可积积的的充充要要条条件件是是在在上上也也可可积积 且且 dddddd (),(),()()(),.bcbaacf xxf xx
17、ff xa cc bf xaxxb2660320632abcSacScbS2828abd dd d1.bbaaxxba 定理定理d d203 x d d2033.2x 2929对定积分的补充规定对定积分的补充规定:(1),()0.baabf xx 当当时时 令令d d当当且且d d 存存在在时时令令d dd d(2)(),()().ababababf x xf x xf x x 3030定理（保序性）定理（保序性）推论（保号性）推论（保号性）()()()(),(),().bbaaf xg xa bg xf xg xxf xxbxa 设设与与为为定定义义在在上上dddd的的两两个个可可积积函函数
18、数若若则则()0,(,)0.baf xxf xxa b d d若若则则ab()g x()f x3131定理定理 （有界性）（有界性）ab()f x,(),()()().(),bam Mf xa bf xm baf xxM baa b 设设分分别别是是在在上上的的最最小小值值和和最最大大值值若若在在上上可可积积 则则 d d .3232例例2 2解解利利用用定定积积分分的的有有界界性性估估计计下下列列定定积积分分的的值值dddd4201.(1)sin;(2)(1).x xxx d d，0(1)sin x x 0sin1,0,xx d d0sin x x 0 1,d d0sin x x 0 .0A
19、sinyx 0y 1y 3333d d421(2)(1),xx 21yx4122117,1,4,xx d d421(1)xx 2(41)17(41),d d4216(1)51.xx 2y 17y 3434定理（绝对值不等式）定理（绝对值不等式）(),(),()().,bbaaf xa bf xa bf xxf xx 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积积且且 dddd 4321)(AAAAdxxfba 1234()baf x dxAAAA ()()()f xf xf x用保序性证得用保序性证得abyxO1A2A3A4A3535d d；dd dd d d；例例 曲曲线线与与 轴轴所所围围
20、图图形形的的面面积积可可表表示示为为（）A AB BC CD Ddddd201201201201.(1)(2).(1)(2)(1)(2);.(1)(2).(1)(2)(1)(23.()1)2x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xyx xxx D1023636(),()()().,baf xa ba bf xxfba 若若函函数数在在上上连连续续 则则在在上上至至少少存存在在一一点点使使得得 d d =abxoy定理（积分中值定理）定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释,()().a ba byf xf 在在区区间间上上至至少少存存在在一一点点使使得得以以区区间间为为底底边边 以以曲曲线线为为曲曲边边的的梯梯形形面面积积等等于于同同一一底底边边而而以以为为高高的的一一个个矩矩形形面面积积 )(f3737
