1、1.3.3 函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数21、函数的极值、函数的极值设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；oxyoxy0 x0 x使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点函数的函数的极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值.复 习yxaob yf x0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bf2.如何求函数的极值？如何求函数的极值？x a的左的左侧附近侧附近
2、a a的右的右侧附近侧附近 f(x)0 f(x)减函数减函数增函数增函数极小值 x b的左的左侧附近侧附近 b b的右的右侧附近侧附近 f(x)0 f(x)增函数增函数减函数减函数极大值4 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：3 3最大值与最小值最大值与最小值 （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（
3、1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值.导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值.(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(bf(b)()(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,ba,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)所有极值
4、连同端点函数值进行比较，所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值最大的为最大值，最小的为最小值oxyaboxyaboyoxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)xaby=f(x)在在闭区间闭区间 a,b 上的函数上的函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.例题选讲例题选讲例例1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 yx-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y
5、-0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.列表：列表：列表：列表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576可知函数在可知函数在4,4 上的最大值为上的最大值为 f(4)=76，最小值为最小值为 f(1)=5练习、练习、函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上的最大上的最大值值 为为 ,最小值为最小值为 .分析分析:(1)由由 f (x)=3x+6x9=0,得得x1=3，x2=1 例2：已知函数已知函数(1)求求 的单调减区间的单调减区间(2)若若 在区间在区间 上的最大值为上的最大值
6、为 ,求该区间上的最小值求该区间上的最小值32()39,f xxxxa ()f x()f x 2,2 20所以函数的单调减区间为所以函数的单调减区间为(,1)(3,)，解解:2(1)()369f xxx ()0令f x 23690即xx 13解得:或xx 2(2)()369f xxx 令令 解得解得()0f x 13或xx （舍去）（舍去）-x()f x()f x(2,1)1(1,2)205 a 2 极小值极小值2 a 22 a 2220a2即a 最小值为最小值为527 所以函数的最大值为所以函数的最大值为 ,最小值为最小值为(2)22fa5a 列表：列表：解解:2(1)()33f xx 令令
7、 解得解得()0f x 11或xx 所以函数的极大值为所以函数的极大值为 ，极小值为，极小值为 1、已知函数、已知函数(1)求求 的极值的极值(2)当当 在什么范围内取值时，曲线在什么范围内取值时，曲线 与与 轴总有交点轴总有交点3()3,2,3f xxxa x ()f xxa()yf x 2 a 2 a -+x()f x()f x(2,1)1(1,1)1(1,3)0-2 a 2 a 0极小值极小值极大值极大值 练习练习列表：列表：218即a2a 18a 曲线曲线 与与 轴总有交点轴总有交点x()yf x 20180aa 由（由（1）可知，函数在区间）可知，函数在区间 上的极大值上的极大值为为
8、 ，极小值为，极小值为 ，又因，又因 ，2a(2)2fa(3)18fa 2,3 2a (2)所以函数的最大值为所以函数的最大值为 ，最小值为，最小值为13 0,:1.xxex例 设求证 f()1,0 xxexx证 令()1,xfxe/()(0,),f x在上是增函数()(0)f xf10 xex e1.xx()(,0),f x在上是减函数（0404浙江文浙江文2121）（）（本题满分本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是递
9、增的，求都是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1(f)(xf)(xf例例3求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:4,2,71862)()1(23xxxxxf练习练习:最大值最大值 f(1)=3，最小值最小值 f(3)=61请考察下列函数的最值的存在性请考察下列函数的最值的存在性1-2-211-21-21-21-2讲授新课讲授新课17 练习练习、求函数、求函数f(xf(x)=)=xex 在区间在区间-1-1，11内内的最大值和最小值的最大值和最小值.解解 f(xf(x)=e)=ex x(x+1)0(x+1)0
10、故函数故函数f(xf(x)在区间在区间-1-1，11内的最大值为内的最大值为e e，最小值为，最小值为-1/e.-1/e.1(1),(1),ffee f(x)f(x)在在-1-1，11上是增函数上是增函数.例例 求函数求函数 的值域的值域 xxxxf 4325)(解：解：由由 得得 的定义域为的定义域为 0403xx)(xf43 x()(5)(23)(4)1150324yfxxxxxx所以所以 在在 上单调递增，上单调递增，)(xf 3,4(3)157,yf 最小(4)202 7yf最大 157,2027 所以所以,值域为值域为 另解:初等法经检验，经检验，a=1,b=1时，时，f(x)满足题
11、设的两个条件。满足题设的两个条件。2()xaxbf xx 例例 已知已知 ,x(0,+).(0,+).是否存是否存 在实数在实数a、b,使使 f(x)同时满足下列两个条件同时满足下列两个条件(1)(1)f(x)在（在（0 0，1 1）上是减函数，在）上是减函数，在1 1，+)+)上是增函数；上是增函数；(2)(2)f(x)的最小值是的最小值是3.3.若存在，求出若存在，求出a a，b;b;若不存若不存 在，说明理由。在，说明理由。f(x)在在(0,1)上是减函数，上是减函数，在在1，+)上是增函数上是增函数.(1)0(1)3ff1013bab 11ba解得解得22()xbxx/解 f20 (0,),:sin.xxx练习 设求证 f()sin,(0,).xxx x证 令()cos10,fxx/()(0,),f x在上是减函数()(0)f xfsin0 xx sin.xx21作业 P32 6(3)(4)1(4)
