1、常见数列求和的 四种方法.2数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、通 项 分 析 法.3数列求和一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：dnaSnnaannn2)1(12)(1等比数列的求和公式：nS1naqqan1)1(1)1(q)1(q还有一些常用公式：6)12)(1(2222321nnnn请看下面例子：.4数例1 求数列 的前n项和，32116181412197531分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为
2、2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121)12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 归纳出：奇数列的前n项和2)12531nn（2121列求和1.5二、错 位 相 减 法 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下：1、在 的两边同时乘于公比qnnaaaS212、两式相减；左边为 ，右边q的同次式相减nSq)1（3、右边去掉最后
3、一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数列求和.6例2 求数列 的前n项和 nn212167854321，分析：该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列12 nn21这里等比数列的公比 q=21解：nnnS212272523214321432212232252321nnnnnS21两式相减：1432212222222222121)1(nnnnS所以：nS212121121211)1n（1212nn运算整理得：nnnS2323数列求和2.7例3 设 求数列 的前n项和 0annaaaaa,4,3,2,432nS分析：这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等
4、于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行 解：1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列，且等比数列与，差数列此时，该数列可看作等,32132两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减：132)1(nnnnaaaaaSa所以：nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得：anaaaannnS11)1(1212)1()1(aaannann数列求和2.8三、裂 项 相 消 法 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”
5、成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得nS3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的 式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和.9例4 求数列 的前n 项和。)13)(23(11071741411nn，分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：)13)(23(1107174141
6、1nnnS)13)(23(3107374341331nn)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1(1312311017171414131nn)1(13131n13 nn数列求和3.10例5 求数列 的前n项和)12)(12()2(7565343122222nnn，nS分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：)12)(12(1)
7、12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn数列求和3.11)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn（）（共 n 项)()()1(12112151313121nnn)1(12121nn12)1(2nnn数列求和3.12例6 已知 求 S!33!22!1nnS分析：由阶乘的性质可知：)!1()1(!kkk所以：!)!1(!kkkk于是该和式求值可用“裂项相消法”
8、!)!1()!3!4()!2!3()!1!2(nn!33!22!1nnS解：1)!1(n数 列求和3.13四、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。请 看 下 面 例 子数列求和.14例7 求数列 的前n项和1222221221211n，分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：12
9、222121)21(112kkkka通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。12112n从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析，确定解题方向就方便了解：)12()12()12(21nnS)111()222(2nnn21)21(2221nn数列求和4.15例8 求和 1)2(3)1(21nnnnS分析：这个数列是数列1，2，3.n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。kknkknkak2)1(k
10、取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列kknk,2解：naaaaS321)21()21()21(222nnnnnnn2)1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn数列求和4.16例9 求数列 前n项和,165434322aaaaaaaaa)0(aSn分析：由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项 2211kkkkkaaaaa0akaak 时，当1011kaa时，当)(为偶数为奇数）kk时，当1|aaaakkka1121通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了时当1a该数列是自然数列，求和容易。时，当1a2nnSn为偶数时n
11、为奇数时21nnS1|a当)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS,0,1,0,1,0,1此时的和式，转化为求数列的通项公式解：时；当1akak)1(21nnSn时；当1a01ka)()(为偶数为奇数nn2)1(121nSnn时；当1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa数列求和4.17)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak326kC(k 取1，2，3、n)所以：3
12、23534336666nnCCCCS)(632353433nCCCC1114433knknknCCCCC由436nC!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44C45C46C数列求和4.18)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak)2)(1()1()3)(2)(1(41kkkkkkkk所以：)43215432()4321(4141oSn)2)(1()1()3)(2)(1(41kkkkkkKk)3)(2)(1(41nnnn每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。对例10的两种解法进行归纳可以清
13、楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。数列求和4.19例11 设等差数列 的前n项为 ，且 ，若 ，求数列 的前n项和 nanS)()(221NnSnannnnSb)1(nbnT分析：由已知该数列是等差数列且已知 ，所以必能求出通项和前n项和 这样确定 就没问题了。221)(nanSnSnbnnnTbS,现在分析怎样求1、111asn时，11221,)(aaSnan解出的方程就构成关于2、nnaaannaannnSaaSannn再求出解出通项的方程所以构成关于是等差数列由,)(,2212)(2)(113、nnnnnnTbSSb再研究就解决了求出由.,)1(现在来边解题
14、边研究解：22111)(11asan时，当11a解得：2)1(nannnSa为等差数列，2212)1(221)(,)(nnnaananS得代入121naann或解得：21,1211nSnaaannn矛盾，与但2)1()1(nSbnnnn于是，22222)1(4321nTnn数列求和4.2022222)1(4321nTnn分析：0;0)1(2nnnnTnTnnb为奇数时，为偶数时，可知：由通项公式所以：求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。)(2Nmmnn为偶数时，设当)12()2()34()12(222222mmTTmn)14(73m)12(2)143(mmmm2nm 2)1(nn),2,1,0(12取为奇数时，设当mmnn12212mmmnbTTT2)12()12(mmm21nm2)1(221nnnnn2)1()1(nnTnn所以：数列求和4
