1、1主要内容主要内容 几乎处处收敛几乎处处收敛依概率收敛依概率收敛 依分布收敛依分布收敛r-r-阶收敛阶收敛车贝晓夫不等式车贝晓夫不等式2一、车贝晓夫不等式一、车贝晓夫不等式 Xr设设随随机机(变变马马尔尔量量【引引理理有有可可夫夫不不等等式式)】阶阶绝绝对对矩矩，()rrE XP X X(),F x设设 的的分分布布函函数数为为【证证明明】则则有有：()rrxxdF x -1()rrx dF x =rrE X rE X,0 则则对对任任意意有有()P X ()xdF x 3X-E(X)X 取取r=2r=2，并并以以引引理理代代替替 得得车车贝贝的的晓晓特特殊殊情情况况：夫夫不不等等式式 2X2
2、E X-E(X),0 设设随随机机变变量量 有有 阶阶中中车车贝贝心心矩矩，则则晓晓夫夫不不等等式式对对任任意意()()【定定理理】有有2()()D XP XE X 2X(),()()F xDXxE XdF x 设设 的的分分布布函函数数为为则则有有：【证证明明】2()()()x E XxE XdF x 2()()x E XdF x 2()PXE X2()()D XP XE X 从从而而2()()1D XP XE X ()rrE XP X 4 由车贝晓夫不等式可以看出，若由车贝晓夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|0,0,当方差越小当方差越小时，事件时，事件|X X-
3、E E(X X)|)|发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X X的取值越集中在的取值越集中在E E(X X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个量望值离散程度的一个量 当当D D(X X)已知时，车贝晓夫不等式给出了已知时，车贝晓夫不等式给出了X X与与E E(X X)的偏差小于的偏差小于 的概率的估计值的概率的估计值 车贝晓夫不等式的用途：车贝晓夫不等式的用途：（1 1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2 2）估计事件的概率。）估计事件的概率。2()|()|D XPXE X2)(1|)(|XDXEXP7 例例
4、1 1：设电站供电网有设电站供电网有1000010000盏电灯，夜晚每盏灯开盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为灯的概率均为0.70.7，假定灯的开、关是相互独立的，使，假定灯的开、关是相互独立的，使用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在68006800到到72007200盏之间的概率。盏之间的概率。解解 令令X X表示在夜晚同时开着的灯数目，表示在夜晚同时开着的灯数目，()7000,E Xnp()2100.D Xnpq2680072002100|7000|20010.95200PXPX由车贝晓夫不等式可得由车贝晓夫不等式可得:则则X X服从服从n n=1
5、0000=10000，p p=0.7=0.7的二项分布，这时的二项分布，这时8例例2 2：已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细，每一毫升白细胞数平均是胞数平均是73007300，标准差是，标准差是700.700.利用切比雪夫利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在不等式估计每毫升白细胞数在5200940052009400之间的之间的概率概率 .解解：设每毫升白细胞数为：设每毫升白细胞数为X X依题意，依题意，E E(X X)=7300,)=7300,D D(X X)=700)=7002 2所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(-210
6、0 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|210092)2100()(1XD由车贝晓夫不等式由车贝晓夫不等式 P|X-E(X)|21002)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在5200940052009400之间的概率之间的概率不小于不小于8/9.8/9.10 例例3 3：在每次试验中，事件在每次试验中，事件A A发生的概率为发生的概率为 0.75,0.75,利用车贝晓夫不等式求：利用车贝晓夫不等式求：n n需要多么大时，才能使得需要多么大时，才能使得在在n n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A A出现的频率在出现的频率在0.740.760.7
7、40.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?0.90?解：设解：设X X为为n n 次试验中，事件次试验中，事件A A出现的次数，出现的次数，E E(X X)=0.75)=0.75n n,的最小的的最小的n n.(0.740.76)0.90XPn则则 X X B B(n n,0.75),0.75)所求为满足所求为满足D D(X X)=0.75)=0.750.250.25n n=0.1875=0.1875n n11 =P P(-0.01(-0.01n n X X-0.750.75n n 0.01 0.01n n)2)01.0()(1nXD =P P|X X-E E(X X)|0.01)|
8、0.01n n 20001.01875.01nnn18751 P P(0.74(0.74n n X X0.760.76n n)76.074.0(nXP)76.074.0(nXP可改写为可改写为在车贝晓夫不等式中取在车贝晓夫不等式中取n，则，则0.01 =P P|X X-E E(X X)|0.01)|0.01n n 12么么么么方面 Sds绝对是假的187509.011875n解得解得依题意，取依题意，取9.018751n 即即n n 取取1875018750时，可以使得在时，可以使得在n n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A A出现的频率在出现的频率在0.740.760.740.76
9、之间的概率至少为之间的概率至少为0.90.0.90.14二、分布函数弱收敛二、分布函数弱收敛 定义定义1 1：)()(limxFxFnn F(x),n对对于于分分布布函函数数列列如如果果存存在在一一个个非非降降函函数数()F x 使使()()(nFxF xF x在在的的每每一一个个连连续续点点都都成成立立，弱弱收收敛敛于于则则称称()()WnFxF x 记记为为15三、依分布收敛三、依分布收敛 定义定义2 2：的分布函数分别为的分布函数分别为),2,1)(nxFn和和),(xF若在若在的所有连续点的所有连续点 x上都有上都有)()(limxFxFnn 则称随机变量序列则称随机变量序列 nY依分
10、布收敛于随机变量依分布收敛于随机变量Y，简记为简记为LnYY(1,2,)nY n 和随机变量和随机变量Y 设随机变量设随机变量16依分布收敛表示：依分布收敛表示：当当n充分大时，充分大时，nY的分布函数的分布函数)(xFn收敛于收敛于Y 的分布函数的分布函数),(xF它是概率论中它是概率论中较弱的一种收敛性较弱的一种收敛性.17四、依概率收敛四、依概率收敛 定义定义3 3：任意实数任意实数,0 有有或或0|lim YYPnn()nY 和随机变量和随机变量Y()，若对，若对设随机变量序列设随机变量序列1|lim YYPnn则称随机变量序列则称随机变量序列 nY依概率收敛于随机变量依概率收敛于随机
11、变量Y，简记为简记为PnYY 依概率收敛表示：依概率收敛表示：nY 与与Y Y 的绝对误差小于任意小的正数的绝对误差小于任意小的正数 的概率将随着的概率将随着n增大而愈来愈大，直至趋于增大而愈来愈大，直至趋于118五、五、r-r-阶收敛阶收敛lim|0rnnE YY rnnrYYYY则则称称，并并记记为为阶阶收收敛敛于于 定义定义4 4：,rrnnYYYY 设设对对随随机机变变量量及及 有有EEEE0r 其其中中为为常常数数，如如果果 特别的有特别的有1-1-阶收敛又称为平均收敛，阶收敛又称为平均收敛，2-2-阶收敛又称为均方收敛。阶收敛又称为均方收敛。均方收敛一定平均收敛均方收敛一定平均收敛
12、19六、以概率六、以概率1 1收敛（几乎处处收敛）收敛（几乎处处收敛）)(Y，若，若1)()(lim:YYPnn1lim YYPnn或简记为或简记为收敛于随机变量收敛于随机变量Y Y ，nY则称随机变量序列则称随机变量序列以概率以概率1（或几乎处处或几乎处处）.a snYY简简记记为为：Y()n 定定：设设有有随随机机变变量量序序列列和和义义5 5随随机机变变量量20下面定理揭示了四种收敛之间的关系。下面定理揭示了四种收敛之间的关系。nY和随机变量和随机变量定理定理 4.2 设随机变量序列设随机变量序列Y.a snYY(1)若若，则，则;PnYY rnYY(2)若若，则，则;PnYY PnYY
13、.LnYY。(3)若若，则，则rr-几几乎乎处处处处收收敛敛依依概概率率收收敛敛依依分分布布收收敛敛阶阶收收敛敛依依概概率率收收敛敛依依分分布布收收敛敛几几乎乎处处处处收收敛敛和和 阶阶收收敛敛之之间间不不存存在在推推导导关关系系21rnYY(2)若若，则，则;PnYY 0,由由马马尔尔可可夫夫引引理理有有，对对任任意意【证证明明】有有()rnnrE YYP YY ,rnYY又又因因为为则则由由定定义义有有：lim|0rnnE YY 所所以以0|lim YYPnn即即：PnYY 22例题例题11-2-1(200111-2-1(2001，数一），数一）X2(X(X)2)_PE 设设变变量量 的的
14、方方差差为为，根根据据切切比比雪雪夫夫不不等等式式估估计计1 1、222(X)2(X)21(X(X)2)22DDPE 解解；在在车车贝贝晓晓夫夫不不等等式式中中，令令，由由已已知知所所以以2311X(1,2,)11lim()1inniiniiinPXE Xnn 已已知知相相互互独独立立，且且方方差差：有有限限证证明明证证明明1111221111Z,111(Z)()()()=E()111(Z)()()()()niinnniiiiiinnniiiiiiXXnEE XEXEXXnnnDD XDXDXD Xnnn 证证：设设量量明明随随机机变变2122111()1()1,1111 ()1()niinnniiiiiiD ZP ZE ZZXXnPXE XD Xnnn 由由车车贝贝晓晓夫夫不不等等式式，代代入入即即：242211nKn .12 nK 所以上式：所以上式：因为因为,)(KXDi)(1 11 )(11 12211 niiniiniiXDnXEnXnP 1)1lim)(11lim211 nKXEnXnPnniiniin（1P 又又由由概概率率性性质质1)(11lim11 niiniinXEnXnP25
