1、混沌理论及应用混沌理论及应用龙敏龙敏Email:Email:Tel:13973129143Tel:13973129143 1混沌的概念：混沌的概念：混沌（混沌（chaoschaos）又称浑沌，人们通常又称浑沌，人们通常用它来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟的状态，用它来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟的状态，在这个意义上它与无序的概念是相同的。在这个意义上它与无序的概念是相同的。一、混沌的基本概念及特征一、混沌的基本概念及特征21 1确定性确定性 在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，是指方程是指方程(常微分方程、差分方程、时滞微分方程常微分方
2、程、差分方程、时滞微分方程)是非随是非随机的，不含任何随机项。系统的未来机的，不含任何随机项。系统的未来(或过去或过去)状态只与初状态只与初始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内因决定的，与外在因素无关。这是至关重要的一条限制，因决定的，与外在因素无关。这是至关重要的一条限制，所以我们现在讲的混沌也叫所以我们现在讲的混沌也叫“确定性混沌确定性混沌”。正因为确定。正因为确定性的系统出现了复杂行为，也叫内随机性，人们才兴奋起性的系统出现了复杂行为，也叫内随机性，人们才兴奋起来，才一往倾心地钻研混沌。当然，从长远的观点来看，来，才一往倾心
3、地钻研混沌。当然，从长远的观点来看，人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。然而，目前由于公众对混沌还有相当的误解，所以我们严然而，目前由于公众对混沌还有相当的误解，所以我们严格区分是否为确定性至关重要，还不能笼统地从现象的层格区分是否为确定性至关重要，还不能笼统地从现象的层次把一大堆似是而非的东西都称为混沌。总之，混沌概念次把一大堆似是而非的东西都称为混沌。总之，混沌概念的狭义化总比泛化好些。现在我们考虑的混沌主要是一种的狭义化总比泛化好些。现在我们考虑的混沌主要是一种时间演化行为，不直接涉及空间分布变化，所以暂不考虑时间演化行为，
4、不直接涉及空间分布变化，所以暂不考虑偏微分方程。偏微分方程。3例：例：LorenzLorenz系统系统1(1)nnnxaxxLogistic Logistic 映射映射42 2非线性非线性 产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。也就是说，非生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。也就是说，非线性是产生混沌的必要条件。从功能上看，非线性是通过线性线性是产生混沌的必要条件。从功能上看，非线性是通过线性来定义的，设来定义的，设G1G1和和G2G2是任意两个是任意两个(向量向量)函数，函数，a a
5、和和b b是任意两是任意两个常数，若算子乙满足如下叠加原理个常数，若算子乙满足如下叠加原理:L(aGl+bG2)=aL(G1)+bL(G2)L(aGl+bG2)=aL(G1)+bL(G2)，则称则称L L是线性算子，否则是线性算子，否则L L是非线性算子。包含非线性算子的系是非线性算子。包含非线性算子的系统称为非线性系统。应当注意的是线性与非线性也不是绝对分统称为非线性系统。应当注意的是线性与非线性也不是绝对分明的。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非明的。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和线性现象也可以把它视为线
6、性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度不同有关。现在看来，非线性是普遍所关心的变量的时空尺度不同有关。现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线性是不可避免的。因而直接面对非线性是不可避免的。53 3对初始条件的敏感依赖性对初始条件的敏感依赖性 19631963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的并提出了形象的“蝴蝶效应蝴蝶效应”。被冷落了。被冷落了1212年之后，年之后，19751975年数学家吕埃尔和塔肯斯建
7、议了一种湍流发生机制，认为年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的运动就到了维数不高的“奇怪吸引子奇怪吸引子”上。这里所谓上。这里所谓“吸吸引子引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为它就称为“奇怪吸引子奇怪
8、吸引子”。奇怪吸引子上的运动轨道，对。奇怪吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。是相当稳定的。6真实球虚拟球7今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结
9、果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！8后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。9 逻辑斯蒂映射的形式为1(1)nnnxaxx10Example:
10、f(xExample:f(xn+1n+1)=4x)=4xn n(1-x(1-xn n)brown:xbrown:x0 0=0.6=0.6 green:xgreen:x0 0=0.6001=0.600111Example:f(xExample:f(xn+1n+1)=4x)=4xn n(1-x(1-xn n)brown:xbrown:x0 0=0.37=0.37 green:xgreen:x0 0=0.3701=0.370112Example:f(xExample:f(xn+1n+1)=4x)=4xn n(1-x(1-xn n)i)i)系统的变化看似毫无规则，但实际上是有迹可寻的。系统的变化看似毫
11、无规则，但实际上是有迹可寻的。ii)ii)系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的分别（就例如分别（就例如0.60.6和和0.60010.6001仅仅相差六千分之一），仅仅相差六千分之一），在一段时在一段时间的演化后可带来南辕北辙的结果。间的演化后可带来南辕北辙的结果。13典型连续混沌系统典型连续混沌系统ChenChen系统系统14典型连续混沌系统典型连续混沌系统LorenzLorenz系统系统15典型连续混沌系统典型连续混沌系统RRsslerssler系统系统16典型连续混沌系统典型连续混沌系统ChuaChua系统系统17典型离
12、散混沌映射典型离散混沌映射18典型离散混沌映射典型离散混沌映射194 4非周期性非周期性 在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函数数f(x)f(x)，若能找到一个最小正数，若能找到一个最小正数t t满足关系满足关系f(x+t)=f(x)f(x+t)=f(x)，则称，则称f(x)f(x)是周期函数，是周期函数，t t为其周期；否则为其周期；否则f(x)f(x)就是非周期的就是非周期的,非周期性意非周期性意味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。这味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。这样，向着奇怪吸引子演化的系统，从
13、来不以同样的状态重新样，向着奇怪吸引子演化的系统，从来不以同样的状态重新经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是“不可预见不可预见的创新的创新”的发生器。应当注意的是的发生器。应当注意的是“非周期性非周期性”这个概念比这个概念比“混沌混沌要广、要大的多。比如，准周期是非周期的，但要广、要大的多。比如，准周期是非周期的，但不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。混沌运动要求有混沌运动要求有“混合混合”的性质，即的性质，即“对初始条件的敏感依对初始条件的敏感依赖性赖性”。但这并不能因此说混沌
14、运动就是杂乱而无用的，相。但这并不能因此说混沌运动就是杂乱而无用的，相反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周期排列或对称形状。期排列或对称形状。20但是，混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型但是，混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之间存在中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之间存在着着“自相似性自相似性”或或“不尽相似不尽相似”。在观察手段的分。在观察手段的分辨率不高时，只能看到某一个层次的结构；提高分辨率不高时，只能看到某一个层次的结构；提高分辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺
15、度辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺度上的结构。上的结构。21 分叉分叉(bifurcation)(bifurcation)是有序演化理论的基本概念，这是混是有序演化理论的基本概念，这是混沌出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统沌出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为的定态行为(稳定行为稳定行为)可能发生定性的突然改变，即原来的稳可能发生定性的突然改变，即原来的稳定定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分定定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分叉。发生分叉现象的关节点叫做分叉点，在分叉点系统演化发叉。发生分叉现象的关节点叫
16、做分叉点，在分叉点系统演化发生质的变化。动态系统演化中的分叉现象充分说明了量变引起生质的变化。动态系统演化中的分叉现象充分说明了量变引起质变的规律。分叉又是一种阈值行为，只要系统的非线性作用质变的规律。分叉又是一种阈值行为，只要系统的非线性作用强到一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是产生混沌的系统，强到一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是产生混沌的系统，总可以观察到分叉序列。总可以观察到分叉序列。5 5分叉分叉221(1)nnnxaxx2324 以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图，得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍
17、化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。25分形性是指奇怪吸引子的结构具有自相似性和不可微性。它不是分形性是指奇怪吸引子的结构具有自相似性和不可微性。它不是传统欧几里得几何中描述的直线、平面等整形几何形状所具有的传统欧几里得几何中描述的直线、平面等整形几何形状所具有的可微性，而是分维的可微性，而是分维的“分形分形”物，具有结构自相似性和不可微性物，具有结构自相似性和不可微性(不连续性不连续性)。目前所发现的奇怪吸引子，如马蹄铁吸引子、洛伦。目前所发现的奇怪吸引子，如马蹄铁吸引子、洛伦兹吸引子、埃农兹吸引子、埃农(Mi
18、chel Henon)(Michel Henon)吸引子、若斯勒吸引子、若斯勒(Otto ROssler)(Otto ROssler)吸引子等都具有分形性。所以分形并非纯数学抽象的产物，而是吸引子等都具有分形性。所以分形并非纯数学抽象的产物，而是对普遍存在的复杂几何形态的科学概括。自然界中分形体无处不对普遍存在的复杂几何形态的科学概括。自然界中分形体无处不在，如起伏蜿蜒的山脉、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸线等在，如起伏蜿蜒的山脉、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸线等等。它与混沌的内随机性、对初始条件的敏感依赖性有本质联系。等。它与混沌的内随机性、对初始条件的敏感依赖性有本质联系。所以我们说：所
19、以我们说：“混沌本质上是非线性动力系统在一定控制参数混沌本质上是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的对初始条件具有极度敏感依赖性的回复性的非周期范围内产生的对初始条件具有极度敏感依赖性的回复性的非周期性行为状态性行为状态”。6.6.分形分形26分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序结结构构：由不由不断断的的图图形形迭代迭代而而成成利利用用简简单单的的规则规则让让系系统统复复杂杂；从复杂不可解的系统中找到简单美妙的秩序。从复杂不可解的系统中找到简单美妙的秩序。27分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序古典欧式几何：重视实际可
20、测的量值 例如：长度、深度、厚度深度、厚度 分形：无法单纯用整数维度来描述28分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序七七十十年代的年代的数学数学家畢諾特家畢諾特 曼曼德布洛特德布洛特(Benoit(Benoit Mandelbrot)Mandelbrot)提出提出一一个个问问题：题：毛毛线线团的团的维维度是多少？度是多少？AnswerAnswer：看你的：看你的观点观点而而异异 29分分形形(fractal)(fractal)混沌世界的秩序混沌世界的秩序远距离來看，线团凝聚成点，维度为零；再近一点，看出来毛线团点据球形的空间，维度扩展成三；再走近一些，看出毛线
21、团是由一根根毛线所构成，他的维度为一，And then?数据结果视观测者与其对象而改变。这种概念也正是这个世纪物理学的中心思想。毛毛线线的的维维度度?30分形几何的基本思想31 欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体：一维空间：线段，有长度，没有宽度；二维空间：平行四边形，有周长、面积；三维空间：球，表面积、体积；自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：人有高度、山有海拔高度等。32 有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？33英国的海岸线地图34 当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线
22、来近似。因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。35 得到的结论是：海岸线的长度是多少：决定与尺子的长短。海岸线的长度是无限的！而显然海岸线的面积为零；而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。海岸线什么有界？（长度、面积、体积显然无界）。36Koch 曲线37天空中的云朵植物的叶子38自然界中的分形山星 云39星 云40二、混沌在通信中的应用二、混沌在通信中的应用41混沌同步混沌同步混沌系统
23、的同步是指一个系统的混沌轨道收敛于另一个混沌系统的轨道，它们之间步调一致。42 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现4445464748495051ShannonShannon“好的混合变换通常是两个简单的非可交换运好的混合变换通常是两个简单的非可交换运算的乘积。比如算的乘积。比如HopfHopf已经证明，如做馅皮的生已经证明，如做馅皮的生面
24、团可以通过下面的一系列操作进行混合：面面团可以通过下面的一系列操作进行混合：面团首先被揉搓成一个扁面皮，然后将它折叠，团首先被揉搓成一个扁面皮，然后将它折叠，再搓揉，再折叠，如此往复。一个混合变换中再搓揉，再折叠，如此往复。一个混合变换中的函数应该是复杂的，它的所有变量都应敏感，的函数应该是复杂的，它的所有变量都应敏感，对任何一个变量来说，一个很小的变化都应引对任何一个变量来说，一个很小的变化都应引起输出的显著不同。起输出的显著不同。”52混沌与密码学的关系混沌与密码学的关系随机随机密钥流密钥流产生器产生器混沌与流密码学混沌与流密码学流密码的核心流密码的核心产生产生不可预测不可预测的混沌序列的
25、混沌序列 混沌混沌53混沌与密码学的关系混沌与密码学的关系混沌与分组密码学混沌与分组密码学混淆和扩散混淆和扩散 分组密码分组密码 混沌混沌对密钥敏感对密钥敏感 对明文敏感对明文敏感增加信源的熵增加信源的熵反复压缩和拉伸的混沌变换反复压缩和拉伸的混沌变换混沌对初始条件和参数的敏感混沌对初始条件和参数的敏感 混沌具有遍历性的性质混沌具有遍历性的性质 混沌具有拓扑传递性混沌具有拓扑传递性 54混沌与密码学的关系混沌与密码学的关系单向函数单向函数混沌与公钥密码学混沌与公钥密码学 公钥密码公钥密码已知部分结构重构出已知部分结构重构出全部高维混沌系统；全部高维混沌系统；未知部分参数同步两未知部分参数同步两
26、个超混沌系统或时空个超混沌系统或时空混沌系统；混沌系统；混沌混沌553.3.混沌掩盖混沌掩盖56混沌掩盖574.4.混沌开关混沌开关58混沌开关595.5.混沌调制混沌调制60混沌调制61混沌在图像加密中的应用原图像加密后图像62混沌在图像加密中的应用正确解密图像错误解密图像63信息伪装：信息伪装：64作业作业65一、函数迭代 给定一函数 以及初始点 ，定义数列 称为函数 的迭代序列。满足 的点 称为 的不动点不动点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点吸引点。如果所有附近的)(xf0 x,.1,0),(1kxfxkkkx)(xfuuf)(ufuu66
27、点都远离它，则它是排斥点排斥点。例如，0 与 1 是 的不动点。0 是吸引点，1是排斥点。如果则点集 形成一个 k k 循环循环。称为 k 周期点周期点。k称为周期周期。2)(xxf13221)(.,)(,)(uufuufuufkkuuu,.,211u67类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点预周期点。如 1 是 的预周期点。迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关，而且与初值的选择有关。例如，对于迭代12xukx)(xf121kkxx68 当初值 时，迭代序列收敛，否则发散。10 x69二、二次函数的迭代 对二次函数对二次函数 做做迭代迭代:迭
28、代的几何直观图迭代的几何直观图,1,0),1(1kxxaxkkk40 a0 x)(0 xf)(1xfxy)1()(xxaxf70练习练习 1 1 对几组不同的参数值 （如 )以及不同的初值 ，观察迭代是否收敛。练习练习 2 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。a,5.0a0 x8.0a5.2,2,6.1,1a71练习练习 3 3 找出一个参数 使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？练习练习 4 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗
29、？对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证）akkakk6.34.3a46.3 a72练习练习 5 5 如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？练习练习 6 6 根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些值对应吸引的不动点？哪些值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。73 不动点的计算不动点的计算 从 得到 及)1(xxax0 xaax/)1(74 吸引的不动点与排斥的不动点吸引的不动点与排斥的不动点 定理定理设 是 的不动点，如果在 附近有 ，则 是 的吸引的不动点；否则，是 的排
30、斥的不动点。由于 故当 0a1时，为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1a3,为排斥点，(a-1)/a为吸引点。x)(xfx1|)(|xfx)(xfx)(xfaaafaf2)/)1(,)0(75 2 2 周期点周期点 得)1(1)(1()(2xaxxxaxffx,/)1(,021aaxx3,2/)321(24,3aaaaax76三、Feigenbaum图 将区间（0,4 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。a04.0a),(,),(),(1005251xaxaxaa77练习练习 7 7 观
31、察Feigenbaum图。（1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？（2）从某一点 开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？（3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？（4）上述分支过程是否一直进行下去？1a2a78是否存在极限分支点?（5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？练习练习 8 8 在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3 的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？a79四、混沌的特性 对初值的敏感性对初值的敏感性练习练习 9
32、 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1,在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01,0.001,0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？,1,0),1(41kxxxkkk80 非随机性非随机性 仍然考虑迭代练习练习 10 10 从不同的初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？,1,0),1(41kxxxkkk)1,0(0 x81五、其它函数的迭代 锯齿函数锯齿函数 练习练习 11 11 锯齿函数的迭代对初值
33、是否敏感？找出锯齿函数的周期点。12/1122/102)(xxxxxS82 帐篷函数帐篷函数 练习练习 12 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏感？找出帐篷函数的周期点。12/1)1(22/102)(xxxxxT83 其它函数的迭代其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数 的迭代行为相比较。axxfxaxfxxfaxaxf42)(.4)sin()(.32)(.2)()(.1)1()(xxaxf84六、听一听混沌练习练习 1 13 3 选取初值 （如 ），由迭代产生迭代序列 ，根据 的大小确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序列。0 x1.00 x,1,0),1(41kxxxkkk,1,0,kxkkx85
